EPÓNIMOS

 

Hermann Minkowski
Hermann Minkowski
Información personal
Nacimiento	22 de junio de 1864 Kaunas, Lituania (antiguamente Aleksotas, Imperio Ruso)
Fallecimiento	12 de enero de 1909 (44 años) Gotinga (Reino de Prusia)
Causa de muerte	Apendicitis
Sepultura	Friedhof Heerstraße
Residencia	Alemania
Familia
Padre	Lewin Minkowski
Cónyuge	Guste Minkowski
Hijos	2
Educación
Educado en	Universidad de Königsberg
Supervisor doctoral	Carl Ferdinand von Lindemann
Alumno de	Ernst Kummer Leopold Kronecker Karl Weierstraß Hermann von Helmholtz Gustav Kirchhoff Woldemar Voigt
Información profesional
Área	Matemáticas
Conocido por	Desarrollar la teoría geométrica de los números Colaboraciones en la teoría especial de la relatividad
Empleador	Universidades de Bonn, Gotinga, Königsberg y Zúrich
Estudiantes doctorales	Constantin Carathéodory y Dénes Kőnig
Alumnos	Albert Einstein y Walther Ritz
Obras notables	espacio-tiempo de Minkowski desigualdad de Minkowski Diagrama de Minkowski suma de Minkowski dimensión de Minkowski-Bouligand Teorema de Brunn–Minkowski funcional de Minkowski teorema de Minkowski métrica de Minkowski Segundo Teorema de Minkowski
Miembro de	Academia de Ciencias de Gotinga
Distinciones	Premio de matemáticas de la Academia de Ciencias Francesa (1883)
Firma
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Hermann Minkowski (22 de junio de 1864 - 12 de enero de 1909) fue un matemático y físico alemán que desarrolló la teoría geométrica de los números. Sus trabajos más destacados los realizó en las áreas de la teoría de números, la física matemática y la teoría de la relatividad.^[1]

Vida personal y familia

Hermann Minkowski nació en la localidad de Aleksotas, en la Gobernación de Suwałki, en el Reino de Polonia, que desde 1864 formaba parte del Imperio ruso, hijo de Lewin Boruch Minkowski, un comerciante que subvencionó la construcción de la sinagoga coral de Kovno,^[2][3][4] y de Rachel Taubmann, ambos judíos.^[5] Hermann era hermano menor del investigador médico Oskar (nacido en 1858).^[6] Según distintas fuentes, la nacionalidad de Minkowski se describe alternativamente como alemana,^[7][8][9] polaca,^[10][11][12] lituano-alemana,^[13] o rusa.

Para escapar de la persecución de los judíos en el Imperio ruso, la familia se trasladó a Königsberg en 1872,^[14] donde el padre se dedicó a la exportación de trapos y, más tarde, a la fabricación de juguetes de hojalata con mecanismo de cuerda (dirigía su empresa Lewin Minkowski & Son junto con su hijo mayor, Max).^[15]

Minkowski estudió en Königsberg y enseñó en Bonn (1887–1894), en Königsberg (1894–1896) y en Zürich (1896–1902), y finalmente en Göttingen desde 1902 hasta su muerte en 1909. Se casó con Auguste Adler en 1897, con quien tuvo dos hijas; el ingeniero eléctrico e inventor Reinhold Rudenberg fue su yerno.

Minkowski murió de apendicitis en Göttingen el 12 de enero de 1909. Max Born pronunció el discurso fúnebre en nombre de los estudiantes de matemáticas de Göttingen.^[16] El obituario que David Hilbert escribió sobre Minkowski ilustra la profunda amistad que unía a ambos matemáticos:

El asteroide del cinturón principal 12493 Minkowski y las matrices M llevan su nombre en honor a Minkowski.

Carrera profesional

Minkowski nació en Aleksotas, Imperio ruso (actualmente Kaunas, Lituania), en el seno de una familia judía y cursó sus estudios en Alemania en las universidades de Berlín y Königsberg, donde realizó su doctorado en 1885. Durante sus estudios en Königsberg en 1883 recibió el premio de matemáticas de la Academia de Ciencias Francesa por un trabajo sobre las formas cuadráticas. Impartió clases en las universidades de Bonn, Gotinga, Königsberg y Zúrich. En Zúrich fue uno de los profesores de Einstein.^[17]

Exploró la aritmética de las formas cuadráticas sobre n variables, y sus investigaciones en este campo le llevaron a considerar las propiedades geométricas de los espacios n dimensionales. En 1896 presentó su geometría de los números, un método geométrico para resolver problemas en teoría de números.

En 1902 se incorporó al departamento de matemáticas de las universidad de Gotinga colaborando de cerca con David Hilbert.

En 1907 se percató de que la teoría especial de la relatividad, presentada por Einstein en 1905 y basada en trabajos anteriores de Lorentz y Poincaré, podía entenderse mejor en una geometría no euclidiana sobre un espacio cuatridimensional, desde entonces conocido como espacio de Minkowski, en el que el tiempo y el espacio no son entidades separadas sino variables íntimamente ligadas en el espacio de cuatro dimensiones del espacio-tiempo. En este espacio de Minkowski la transformación de Lorentz adquiere el rango de una propiedad geométrica del espacio. Esta representación sin duda ayudó a Einstein en sus trabajos posteriores que culminaron con el desarrollo de la relatividad general.^[17]

La base matemática del espacio de Minkowski también se puede encontrar en el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico ya conocido en el siglo XIX, porque las isometrías (o movimientos) en el espacio hiperbólico se pueden relacionar con las transformaciones de Lorentz, que incluyeron contribuciones de Wilhelm Killing (1880, 1885), Henri Poincaré (1881), Homersham Cox (1881), Alexander Macfarlane (1894) y otros (véase Historia de las transformaciones de Lorentz).

En su discurso de inauguración de la 80 reunión de la Asamblea general alemana de científicos naturales y físicos el 21 de septiembre de 1908 pronunció una frase que ahora es célebre:

Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo por separado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan solo una unión de ambos puede representar la realidad.

EPONIMOS : Suma de Minkowski, Desigualdad de Minkowski, Espacio-tiempo de Minkowski, Diagrama de Minkowski, Teorema de Minkowski.

En geometría, la suma de Minkowski es una operación sobre las partes de un espacio vectorial. A dos partes A y B asocia su conjunto suma, formado por la suma de los elementos de A y B:

${\displaystyle A+B=\{\mathbf{a}+\mathbf{b}|\mathbf{a}\in A,\mathbf{b}\in B\}}$

La suma de dos compactos es compacta, así es posible restringir la operación a este conjunto, que puede ser provisto con una distancia llamada distancia de Hausdorff. La suma de Minkowski es entonces una operación continua. Además, respeta la convexidad, es decir, que la suma de dos convexos es convexa. La medida de la suma de dos convexos verifica una mayoración, denominada la desigualdad de Brunn-Minkowski.

La suma de Minkowski interviene en muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas. Esta herramienta es la base de muchas demostraciones de teoremas isoperimétricos para determinar la parte del espacio de mayor volumen posible dada como restricción la magnitud de su frontera. En la geometría euclidiana, se tienen las esferas de dimensión n. La suma de Minkowski también está involucrada al contar el número de caras de un poliedro, resolver preguntas de mosaicos o aun para estudiar la geometría de los convexos. Se aplican, por ejemplo, en cristalografía por razones de teselaciones del espacio, en economía para optimizar el potencial de producción de un grupo de empresas, o aun para estudiar las mezclas.

Preámbulo

Ejemplos

El conjunto A de la izquierda es un triángulo cuyas coordenadas de sus vértices son (0, -1), (0,1) y (1.0). A la derecha se muestra un triángulo B similar, orientado de manera diferente. Las coordenadas son (0,0), (1, -1) y (1.1). Si los conjuntos A y B son dos tripletas, se tiene:

A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}

Si A y B son los triángulos rojos, se forma un hexágono, ilustrado en la parte inferior derecha.

En general, la suma de dos polígonos es todavía un polígono. Esta propiedad es verdadera para un poliedro de cualquier dimensión.

Uno puede notar la analogía entre la suma de Minkowski y la convolución. Figurativamente, se puede obtener la superficie de la suma de dos conjuntos A + B cubriendo B de pintura y haciendo recorrer a su centro la superficie A. Por esta razón, la suma de Minkowski es a veces llamada convolución de A y B.

Evidentemente, la suma de un conjunto A y un singleton {b} corresponde a la traslación de A por el vector b.

La suma de Minkowski de conjuntos. La suma de de los cuadrados Q₁=[0, 1]² y Q₂=[1, 2]² es el cuadrado Q₁+Q₂=[1, 3]².

Es algo más complejo darse cuenta de que la suma de dos cuadrados es de nuevo un cuadrado. En general, si C es un conjunto convexo, simétrico con respecto al origen, la suma C + C es igual al convexo 2C, aquí 2C significa la homotecia de razón 2. La prueba es algo más sutil, es análoga al lema preliminar usado en la prueba del teorema de Minkowski. Para realizar esto, se puede observar que cada elemento de 2C es un elemento de C + C, recíprocamente sea u + v un elemento de C + C, se escribe también como el doble de 1/2(u + v), o este elemento es en C.

Podemos citar un último ejemplo, que se encuentra en la demostración de teoremas isoperimétricos. Sean C un conjunto compacto convexo de un plano euclídeo y P un polígono convexo cuyos vértices están todos en la frontera de C y cuya arista más grande es de una longitud mayorada por ε. Entonces, la suma de Minkowski de P y del disco con centro el vector nulo y radio ε contiene al conjunto compacto convexo C. Esta propiedad es un paso para establecer que, para un perímetro dado, el disco es la figura de mayor superficie.

En análisis matemático, la desigualdad de Minkowski establece que los espacios L^p son espacios vectoriales con una norma. Sea ${\displaystyle S}$ un espacio medible, sea ${\displaystyle 1\le p\le \mathrm{\infty }}$ y sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ elementos de ${\displaystyle L^p(S)}$. Entonces ${\displaystyle f+g}$ es de ${\displaystyle L^p(S)}$, y se tiene

${\displaystyle \Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p}$

con la igualdad para el caso si y sólo si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son positivamente linealmente dependientes (lo que significa que ${\displaystyle f=\lambda g}$ o ${\displaystyle g=\lambda f}$ para alguna ${\displaystyle \lambda \ge 0}$).

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en ${\displaystyle L^p(S)}$.

Al igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski puede especificarse para sucesiones y vectores a base de hacer:

${\displaystyle {\left(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p\right)}^{1/p}\le {\left(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p\right)}^{1/p}+{\left(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p\right)}^{1/p}}$

para todos los números reales (o complejos) ${\displaystyle x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n}$ y donde ${\displaystyle n}$ es el cardinal de ${\displaystyle S}$ (el número de elementos de ${\displaystyle S}$).

Demostración

Primero se demuestra que f + g tiene una p -norma finita si f y g ambas la tienen. Esto se sigue de que

${\displaystyle |f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p)}$

En efecto, usando el hecho de que ${\displaystyle h(x)=x^p}$ es una función convexa sobre ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{+}}$ (para ${\displaystyle p}$ mayor que 1) y, por tanto, que, si a y b son ambos positivos, entonces

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\right)}^p\le \frac{1}{2}{a}^p+\frac{1}{2}{b}^p}$

tenemos que

${\displaystyle (a+b{)}^p\le 2^{p-1}{a}^p+2^{p-1}{b}^p}$

Ahora, se puede hablar legítimamente de ${\displaystyle (\Vert f+g{\Vert }_p)}$ . Si es cero, entonces se cumple la desigualdad de Minkowski. Podemos suponer, pues, que ${\displaystyle (\Vert f+g{\Vert }_p)}$ no es cero. Usando la desigualdad de Hölder,

${\displaystyle \Vert f+g{\Vert }_p^p=\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu }$

${\displaystyle \le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu }$

${\displaystyle =\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu }$

${\displaystyle \stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le }\left({\left(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{1/p}+{\left(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{1/p}\right){\left(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu \right)}^{1-\frac{1}{p}}}$

${\displaystyle =(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}}$

De donde se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por ${\displaystyle \frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f+g{\Vert }_p^p}}$. ${\displaystyle }$

Representación esquemática del espacio de Minkowski, mostrando sólo dos de las tres dimensiones espaciales.

En física matemática, el espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski) es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones y curvatura nula, usada para describir los fenómenos físicos en el marco de la teoría especial de la relatividad de Einstein. El modelo fue desarrollado por el matemático alemán Hermann Minkowski.

En el espacio de Minkowski pueden distinguirse tres dimensiones espaciales ordinarias y una dimensión temporal adicional, de tal manera que todas juntas forman una 4-variedad y así representar al espacio-tiempo.

Definición

El espacio-tiempo de Minkowski es una variedad lorentziana de curvatura nula e isomorfa a ${\displaystyle {\mathcal{M}}_0=({\mathbb{R}}^4,\mathit{\eta })}$ donde el tensor métrico puede llegar a escribirse en un sistema de coordenadas cartesianas como:

(1)${\displaystyle \eta =-d{x}^0\otimes d{x}^0+d{x}^1\otimes d{x}^1+d{x}^2\otimes d{x}^2+d{x}^3\otimes d{x}^3}$

O en forma matricial explícita, respecto a la misma base:

(2)

De todas maneras, es común renombrar las coordenadas en términos de las coordenadas espaciales y el tiempo usados en la mecánica newtoniana, es decir: ${\displaystyle (x^0,x^1,x^2,x^3)\mapsto (ct,x,y,z)}$, con lo cual el tensor métrico se escribe simplemente como:

(3)${\displaystyle \eta =-c^{2}dt\otimes dt+dx\otimes dx+dy\otimes dy+dz\otimes dz}$

Propiedades

Contenido material

El tensor de curvatura de Riemann del espacio-tiempo de Minkowski es idénticamente nulo, razón por la cual se dice que el espacio-tiempo es plano. Así el resto de tensores y escalares de curvatura resultan nulos, siendo también nulo el tensor de Einstein, que es igual al contenido material. Por tanto, el espacio-tiempo de Minkowski representa un universo vacío.

Físicamente, el espacio-tiempo de Minkowski puede emplearse como una aproximación local del espacio-tiempo en regiones razonablemente pequeñas y en presencia de materia, siempre que esta no llegue a gravitar por sí misma. Este hecho queda recogido en el principio de equivalencia.

Geodésicas

Cualquier línea recta constituye una geodésica, ya que el tensor de curvatura se anula. Tomando coordenadas cartesianas, las geodésicas vienen dadas simplemente por:

(4)${\displaystyle \ddot{t}=0\ddot{x}=0\ddot{y}=0\ddot{z}=0}$

Que corresponden a líneas rectas:

(5)${\displaystyle t(\tau )=t_0+\frac{\tau }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}x(\tau )=x_0+\frac{v_x\tau }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}y(\tau )=y_0+\frac{v_y\tau }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}z(\tau )=z_0+\frac{v_z\tau }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$

Donde:

${\displaystyle (v_x,v_y,v_z)}$ son las componentes de la velocidad de una partícula.

${\displaystyle \tau }$, es el tiempo propio de la partícula que viaja según la geodésica.

Grupo de isometría

El grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowski es precisamente el grupo de Poincaré, que admite diversos subgrupos, entre ellos:

• El grupo de Lorentz
• El grupo de rotaciones
• El grupo de traslaciones que es isomorfo a ${\displaystyle {\mathbb{R}}^4}$, en particular cualquier campo vectorial constante es un vector de Killing, que genera un grupo uniparamétrico de isometrías.

Representación pseudoeuclídea

El espacio-tiempo de Minkowski admite un tratamiento pseudoeuclídeo, lo que significa que bajo la aplicación sobre los complejos dada por:

(7)${\displaystyle X=(ct,x,y,z)\mapsto \tilde{X}=(ict,x,y,z)}$

y tratando las coordenadas resultantes como vectores de un espacio euclídeo de cuatro dimensiones, se reproducen los resultados geométricos típicos del espacio-tiempo de Minkowski. Si en esa representación se trata todo como escalares complejos, y se construyen a partir del producto escalar euclídeo las magnitudes escalares de la teoría, éstas resultan invariantes. Además se cumple que:

(8)${\displaystyle U^{\alpha }{V}_{\alpha }=\tilde{U}\cdot \tilde{V}\mathrm{\forall }U,V\in T{\mathcal{M}}_0}$\nabla_{\alpha} V^{\beta} = \partial_{\alpha} V^{\beta} + \Gamma^{\beta}_{\alpha \gamma} V^{\gamma}

Es más, todos los cuadrivectores y cuadritensores antisimétricos de segundo orden admiten una representación compleja de ese tipo, con similares propiedades de invariancia a (4):

La línea del universo (ruta amarilla) de un fotón, que está en la ubicación x=0 en el momento ct=0

El diagrama de Minkowski, también conocido como diagrama de espacio-tiempo, fue desarrollado en 1908 por Hermann Minkowski y proporciona una ilustración de las propiedades del espacio y del tiempo en la teoría de la relatividad especial. Permite obtener una comprensión cualitativa de los fenómenos correspondientes, como la dilatación del tiempo y la contracción de Lorentz, sin necesidad de ecuaciones matemáticas.

Son gráficos bidimensionales que representan eventos que suceden en un universo que consiste en una dimensión espacial y una dimensión temporal. A diferencia de un gráfico de distancia-tiempo habitual, la distancia se muestra en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical. Además, las unidades de medida del tiempo y del espacio se eligen de tal manera que un objeto que se mueve a la velocidad de la luz se representa siguiendo un ángulo de 45° con respecto a los ejes del diagrama.

De esta manera, cada objeto, como un observador o un vehículo, traza una cierta línea en el diagrama, que se llama su línea de universo. Además, cada punto del diagrama representa una cierta posición en el espacio y el tiempo, y se denomina evento, independientemente de que ocurra algo relevante allí.

Conceptos básicos

Gráficos de posición en función del tiempo

Ejemplo de un gráfico espacio-tiempo

En el estudio de la cinemática unidimensional, los gráficos de posición frente al tiempo (también llamados gráficos de distancia-tiempo, o gráficos d-t) proporcionan un medio útil para describir el movimiento. Las características específicas del movimiento de los objetos se muestran mediante la forma y la pendiente de las líneas.^[1] En la figura adjunta, el objeto observado se aleja del origen a una velocidad uniforme de 1.66 m/s durante seis segundos, se detiene durante cinco segundos, y luego regresa al origen durante un período de siete segundos a una velocidad no constante.

Diagramas espacio-tiempo

En su nivel más básico, un diagrama de espacio-tiempo es simplemente un gráfico de tiempo frente a la posición, con las direcciones de los ejes de un gráfico d-t habitual, intercambiadas entre sí. De esta forma, el eje vertical se refiere a los valores de la coordenada temporal, y el eje horizontal indica el valor de la coordenada espacial. Especialmente cuando se usan en teoría de la relatividad especial (TRE), los ejes temporales de un diagrama espacio-tiempo se escalan por la velocidad de la luz c, y por lo tanto, son frecuentemente etiquetados como ct. Esto cambia la dimensión de la cantidad física con la que se mide el <Tiempo> por una <Longitud>, de acuerdo con la dimensión asociada a los ejes espaciales, que se etiquetan frecuentemente como x.

Configuración estándar

Diagrama galileano de dos marcos de referencia en configuración estándar

Para facilitar la comprensión de cómo se comparan las coordenadas del espacio-tiempo, medidas por observadores en diferentes marcos de referencia, es útil trabajar con una configuración simplificada. Interpretando cuidadosamente los diagramas, es posible simplificar las matemáticas inherentes al movimiento sin pérdida de generalidad en las conclusiones que se alcanzan. Dejando a un lado el componente temporal por el momento, dos sistemas de referencia inerciales (es decir, dos marcos situados en el espacio tridimensional convencional), S y S'(pronunciado "S prima"), cada uno con los observadores O y O' en reposo en sus respectivos marcos, pero observando al otro moverse con velocidades ±v, se dice que se hallan en una configuración estándar, cuando:

• Los ejes x, y, z del marco S están orientados en paralelo a los respectivos ejes de coordenadas asociados al cuadro S'.
• El marco S′ se mueve en la dirección x del marco S con una velocidad constante v según se mide desde el marco S.
• La posición de los orígenes de los marcos S y S' coincide para el tiempo t=0 en el cuadro S y t′=0 en el cuadro S′.^[2]: 107

Esta configuración espacial se muestra en la figura adjunta, en la que las coordenadas temporales se anotan por separado, al igual que las cantidades t y t'.

En un paso adicional de simplificación, a menudo es posible considerar solo la dirección del movimiento observado e ignorar las otras dos componentes espaciales, permitiendo que x y ct se representen en diagramas espaciotemporales bidimensionales, como se ha comentado anteriormente.

Diagramas de Minkowski

El término diagrama de Minkowski se refiere a una forma específica de diagrama de espacio-tiempo que se usa con frecuencia en la relatividad especial. El término se usa tanto en un sentido genérico como particular. En general, un diagrama de Minkowski es una representación gráfica bidimensional de una parte del espacio-tiempo de Minkowski, generalmente donde el espacio se ha reducido a una sola dimensión. Las unidades de medida en estos diagramas se toman de manera tal que el cono de luz en un evento consiste en las líneas de pendiente más o menos uno que pasan a través del punto de la gráfica asociado a ese evento.^[3] Las líneas horizontales corresponden a la noción usual de eventos simultáneos para un observador estacionario con respecto al origen.

Un diagrama de Minkowski particular ilustra el resultado de una transformación de Lorentz. La transformación de Lorentz relaciona dos marcos de referencia, cuando un observador estacionario en el evento (0, 0) realiza un cambio de velocidad en el eje x. El nuevo eje de tiempo del observador forma un ángulo α con el eje de tiempo anterior, con α < π4 (es decir, α < 45°). En el nuevo marco de referencia, los eventos simultáneos se sitúan en líneas rectas paralelas a una línea recta inclinada con el ángulo α respecto a las líneas de simultaneidad anteriores. Este es el nuevo eje x. Tanto el conjunto original de ejes como el conjunto de ejes en desplazamiento tienen la propiedad de que son ortogonales con respecto al espacio-tiempo de Minkowski o al producto con punto relativista.

Sea cual sea la magnitud de α, la línea t=x forma el bisector del universo observable.^[4]

Por ejemplo, las unidades de medida del espacio y del tiempo en los ejes pueden tomarse como uno de los pares siguientes:

• Unidades de ~ 30 centímetros de longitud y nanosegundos.
• Unidades astronómicas e intervalos de unos 8 minutos y 19 segundos (499 segundos)
• Años luz y años
• Segundos luz y segundos

De esta manera, las trayectorias de la luz se representan mediante líneas paralelas a la bisectriz entre los dos ejes, es decir, líneas rectas con pendiente 1, o lo que es lo mismo, inclinadas 45°.

Un conjunto en ℝ² que satisface las hipótesis del teorema de Minkowski

En matemáticas, el teorema de Minkowski^[1] afirma que cualquier conjunto convexo de ℝⁿ simétrico respecto al origen y con volumen mayor que 2ⁿ contiene un punto de retículo no nulo. El teorema fue demostrado por Hermann Minkowski en 1889 y se convirtió en la base de la rama de la teoría de números llamada geometría de números.

Formulación

Supóngase que L es un retículo con determinante d(L) en el espacio vectorial real de dimensión n, ℝⁿ, y S es un subconjunto convexo de ℝⁿ simétrico respecto el origen, es decir, que si x pertenece a S entonces -x también pertenece a S. El teorema de Minkowski declara que si el volumen de S es estrictamente mayor que 2ⁿ d(L), entonces S contiene al menos otro punto de la retícula además del origen. De hecho, dado que S es simétrico, contendrá al menos tres puntos del retículo: el origen y ±x donde x ∈ L \ 0.

Ejemplo

El ejemplo más sencillo de un retículo es el conjunto ℤⁿ de todos los puntos con coeficientes enteros; su determinante es 1. Para n = 2, el teorema afirma que una figura convexa en el plano euclideo simétrica respecto el origen y con área mayor que 4 encierra al menos un punto de la retícula además del origen. La cota del área es importante: Si S es el interior del cuadrado con vértices (±1, ±1) entonces S es simétrico, convexo y su área es exactamente 4, pero el único punto de la retícula que contiene es el origen. Esta observación es general para hipercubos de dimensión n.

Demostración

El siguiente argumento permiter probar el teorema de Minkowski para el caso específico de L = ℤ².

Prueba del caso ${\mathbb{Z}}^2$:

Considérese la aplicación

${\displaystyle f:S\to {\mathbb{R}}^2/2L,(x,y)\mapsto (xmod2,ymod2)}$

Intuitivamente, esta aplicación corta el plano en cuadrados de 2 por 2, y luego apila los cuadrados uno encima del otro. Claramente, f (S) tiene un área menor o igual a 4, porque este conjunto se encuentra dentro de un cuadrado de 2 por 2. Supóngase que introduciendo una contradicción f podría ser una función inyectiva, lo que significa que las piezas de S recortadas por los cuadrados se apilan sin superponerse. Debido a que f conserva el área localmente, esta propiedad de no superposición haría que conservara el área para todo S, por lo que el área de f (S) sería la misma que la de S, que es mayor que 4. Ese no es el caso, por lo que la suposición debe ser falsa: f no es inyectiva, lo que significa que existen al menos dos puntos distintos p₁, p₂ en S que f asigna al mismo punto: f (p₁) = f (p₂).

Debido a la forma en que se definió f, la única forma en que f (p₁) puede ser igual a f (p₂) es tomar p₂ con el fin de igualar p₁ + (2i, 2j) para algunos enteros i y j, no ambos cero.

Es decir, las coordenadas de los dos puntos difieren en dos enteros pares.

Como S es simétrico con respecto al origen, −p₁ también es un punto en S. Dado que S es convexo, el segmento rectilíneo entre −p₁ y p₂ se encuentra completamente en S y, en particular, el punto medio de ese segmento se encuentra en S. En otras palabras,

${\displaystyle \frac{1}{2}\left(-p_1+p_2\right)=\frac{1}{2}\left(-p_1+p_1+(2i,2j)\right)=(i,j)}$

es un punto en S. Pero este punto (i, j) es un punto entero y no es el origen ya que i y j no son ambos cero. Por lo tanto, S contiene un punto entero distinto de cero.

Observaciones:

• El argumento anterior prueba el teorema de que cualquier conjunto de volumen contiene dos puntos distintos que se diferencian por un vector reticular. Este es un caso especial del teorema de Blichfeldt.^[2]
• El argumento anterior destaca que el término $2^{n}det(L)$ es el covolumen de la retícula $2L$.
• Para obtener una demostración para redes generales, basta probar el teorema de Minkowski solo para ${\mathbb{Z}}^n$; esto se debe a que cada retícula de rango completo se puede escribir como $B{\mathbb{Z}}^n$ para alguna aplicación lineal $B$, y las propiedades de ser convexo y simétrico con respecto al origen se conservan mediante transformaciones lineales, mientras que el covolumen de $B{\mathbb{Z}}^n$ es $|det(B)|$ y el volumen de un cuerpo escalado exactamente por $\frac{1}{det(B)}$ bajo una aplicación de $B^{-1}$.

Aplicaciones

Acotación del vector más corto

El teorema de Minkowski da un límite superior para la longitud del vector distinto de cero más corto. Este resultado tiene aplicaciones en criptografía de celosía y teoría de números.

Teorema (cota de Minkowski en el vector más corto): Sea $L$ una red. Luego hay un $x\in L\setminus \{0\}$ con $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\left|det(L)\right|}^{1/n}$. En particular, por la comparación estándar entre las normas $l_2$ y $l_{\mathrm{\infty }}$, $\Vert x{\Vert }_2\le \sqrt{n}{\left|det(L)\right|}^{1/n}$.

Demostración

Observaciones:

• La constante en el límite $L^2$ se puede mejorar, por ejemplo, tomando la bola abierta de radio como $C$ en el argumento anterior. La constante óptima se conoce como constante de Hermite.
• La cota dada por el teorema puede ser muy flexible, como se puede ver al considerar la red generada por $(1,0),(0,n)$.
• Aunque el teorema de Minkowski garantiza un vector reticular corto dentro de un cierto límite de magnitud, encontrar este vector es en general un problema computacional difícil. Encontrar el vector dentro de un factor garantizado por el límite de Minkowski es denominado el Problema vectorial de Minkowski (MVP),^[3] y se sabe que la aproximación SVP se reduce a él usando una retícula dual y sus propiedades de transferencia. El problema computacional también se conoce a veces como HermiteSVP.^[4]
• El algoritmo de reducción de bases LLL puede verse como una versión algorítmica débil pero eficiente del límite de Minkowski en el vector más corto. Esto se debe a que una $\delta$ de base reducida $b_1,\dots ,b_n$-LLL para $L$ tiene la propiedad de que $\Vert b_1\Vert \le {\left(\frac{1}{\delta -.25}\right)}^{\frac{n-1}{4}}det(L{)}^{1/n}$; pueden consultarse estas notas de la conferencia de Micciancio para obtener más información al respecto. Como se explica en el texto titulado The LLL Algorithm^[4] las pruebas de límites en la constante de Hermite contienen algunas de las ideas clave del algoritmo de reducción LLL.

Aplicaciones a la teoría de números

Números primos que son sumas de dos cuadrados

Una implicación difícil del teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados se puede probar utilizando el límite de Minkowski en el vector más corto.

Teorema: Todo número primo con $p\equiv 1\mathrm{mod}4$ se puede escribir como suma de dos cuadrados.

Demostración

Además, la perspectiva de la retícula brinda un enfoque computacionalmente eficiente para el teorema de Fermat sobre sumas de cuadrados:

Algoritmo

Primero, debe recordarse que encontrar cualquier vector distinto de cero con una norma menor que $2p$ en $L$, la retícula de la prueba, da una descomposición de $p$ como una suma de dos cuadrados. Dichos vectores se pueden encontrar de manera eficiente, por ejemplo, utilizando el algoritmo LLL. En particular, si $b_1,b_2$ es una base reducida de $3/4$-LLL, entonces, por la propiedad de que $\Vert b_1\Vert \le (\frac{1}{\delta -.25}{)}^{\frac{n-1}{4}}\text{det}(B{)}^{1/n}$, . Por lo tanto, al ejecutar el algoritmo de reducción de base de retícula LLL con $\delta =3/4$, se obtiene una descomposición de $p$ como una suma de cuadrados. Téngase en cuenta que debido a que cada vector en $L$ tiene un múltiplo normal al cuadrado de $p$, el vector devuelto por el algoritmo LLL en este caso es, de hecho, el vector más corto.

Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

El teorema de Minkowski también es útil para probar el teorema de los cuatro cuadrados, que establece que todo número natural se puede escribir como la suma de los cuadrados de cuatro números naturales.

Teorema de Dirichlet sobre aproximación racional simultánea

El teorema de Minkowski se puede utilizar para demostrar Teorema de Dirichlet sobre la aproximación racional simultánea.

Teoría algebraica de números

Otra aplicación del teorema de Minkowski es el resultado de que cada clase en el grupo de clases de ideales de un cuerpo de números algebraicos K contiene un ideal integral de norma que no excede un cierto límite, dependiendo de K, llamado cota de Minkowski: la finitud del número de clases de un cuerpo numérico algebraico se sigue de este hecho inmediatamente.

 

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