EPÓNIMOS

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Hendrik Antoon Lorentz
Lorentz en 1921
Información personal
Nacimiento	18 de julio de 1853 Arnhem, Países Bajos
Fallecimiento	4 de febrero de 1928 (74 años) Haarlem, Países Bajos
Sepultura	Algemene Begraafplaats Kleverlaan
Residencia	Países Bajos
Nacionalidad	Neerlandesa
Lengua materna	Neerlandés
Familia
Cónyuge	Aletta Catharina Kaiser
Hijos	Geertruida de Haas-Lorentz
Educación
Educado en	Universidad del Norte (Colombia)
Tesis doctoral	Over de theorie der terugkaatsing y breking van het licht (1875-Universidad de Leiden)
Supervisor doctoral	Pieter Rijke
Información profesional
Área	Óptica, teoría electromagnética
Conocido por	Aportes a la teoría de la relatividad especial Efecto Zeeman
Cargos ocupados	Rector de la Universidad de Leiden (1899-1900)
Empleador	Universidad del Norte (Colombia)
Estudiantes doctorales	Adriaan Daniel Fokker, Johannes Droste, Geertruida de Haas-Lorentz y Hendrika Johanna van Leeuwen
Obras notables	Covariancia de Lorentz teoría del éter de Lorentz factor de Lorentz fuerza de Lorentz grupo de Lorentz transformación de Lorentz contracción de Lorentz fuerza de Abraham-Lorentz
Miembro de	Academia de Ciencias de la Unión Soviética Academia de Ciencias de Francia Real Academia de las Ciencias de Suecia Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias Academia de Ciencias de Rusia Academia Prusiana de las Ciencias Accademia Nazionale delle Scienze detta dei XL Academia de Ciencias de Baviera Academia Rumana Academia de Ciencias de Gotinga Academia Nacional de los Linces (desde 1902) Academia de Ciencias de Turín (desde 1903) Real Sociedad de Londres (desde 1905) Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos (desde 1906) Sociedad Filosófica Estadounidense (desde 1906)
Distinciones	Premio Nobel en 1902 Medalla Rumford en 1908 Medalla Copley en 1918
Firma
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Albert Einstein visitando a Lorentz en Leiden en 1921.

Hendrik Antoon Lorentz (Arnhem, Países Bajos, 18 de julio de 1853 - Haarlem, 4 de febrero de 1928) fue un físico neerlandés galardonado con el Premio Nobel de Física del año 1902.

Biografía

Hendrik Lorentz nació en Arnhem, Gelderland, Países Bajos, hijo de Gerrit Frederik Lorentz (1822–1893), un horticultor acomodado, y Geertruida van Ginkel (1826–1861). En 1862, tras la muerte de su madre, su padre se casó con Luberta Hupkes. A pesar de haber sido criado como protestante, era un librepensador en asuntos religiosos y asistía regularmente a misa católica en su iglesia local francesa^[1] De 1866 a 1869, asistió a la Hogere Burgerschool en Arnhem, un nuevo tipo de escuela superior pública, recientemente fundada por Johan Rudolph Thorbecke. Sus resultados en la escuela fueron ejemplares, no solo destacó en Ciencias Físicas y Matemáticas, sino también en Inglés, Francés y Alemán. Después de estudiar educación secundaria en su ciudad, en 1870 consiguió superar los exámenes de Lenguas Clásicas, un requisito indispensable en aquellos momentos para poder acceder a la universidad^[2]

Lorentz estudió Física y Matemáticas en la Universidad de Leiden, donde estuvo fuertemente influenciado por la enseñanza del profesor de astronomía Frederik Kaiser; fue su influencia la que lo llevó a convertirse en físico. Después de obtener una licenciatura, regresó a Arnhem en 1871 para impartir clases nocturnas de Matemáticas, pero continuó sus estudios en Leiden, además de su puesto docente. En 1875, Lorentz obtuvo un doctorado con Pieter Rijke con una tesis titulada Over de theorie der terugkaatsing en breking van het licht ("Sobre la teoría de la reflexión y refracción de la luz"), en la que refinó la teoría electromagnética de James Clerk Maxwell.^[3]

El 17 de noviembre de 1877, con solo 24 años de edad, Lorentz fue designado para la recién creada cátedra de Física Teórica en la Universidad de Leiden. El puesto se había ofrecido inicialmente a Johannes van der Waals, pero aceptó un puesto en la Universiteit van Amsterdam.^[2] El 25 de enero de 1878, Lorentz pronunció su conferencia inaugural sobre De moleculaire theoriën in de natuurkunde ("Las teorías moleculares en física"). En 1881, se convirtió en miembro de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos.^[4]

Durante los primeros veinte años en Leiden, Lorentz estuvo interesado principalmente en la teoría electromagnética de la electricidad, el magnetismo y la luz. Después de eso, amplió su investigación a un área mucho más amplia, sin dejar de centrarse en la física teórica. Lorentz hizo importantes contribuciones en campos que van desde la hidrodinámica hasta la relatividad general. Sus contribuciones más importantes se produjeron en el área del electromagnetismo, la teoría del electrón y la relatividad.^[2]

Lorentz teorizó que los átomos podrían consistir en partículas cargadas y sugirió que las oscilaciones de estas partículas cargadas eran la fuente de luz. Cuando un colega y antiguo alumno de Lorentz, Pieter Zeeman, descubrió el efecto Zeeman en 1896, Lorentz aportó su interpretación teórica. El trabajo experimental y teórico fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1902. El nombre de Lorentz está asociado con la ecuación de Lorentz, la fuerza de Lorentz, la distribución de Lorentz, el modelo del oscilador de Lorentz y la transformación de Lorentz.

Lorentz fue director de investigación en el Instituto Teyler, de Haarlem, de 1885 a 1888.

Investigaciones científicas

Gracias a su cargo en la universidad en 1890 nombró a Pieter Zeeman asistente personal, induciéndolo a investigar el efecto de los campos magnéticos sobre las fuentes de luz, descubriendo lo que hoy en día se conoce con el nombre de efecto Zeeman.

Se le deben importantes aportes en los campos de la termodinámica, la radiación, el magnetismo, la electricidad y la refracción de la luz. Formuló conjuntamente con George Francis FitzGerald una teoría sobre el cambio de forma de un cuerpo como resultado de su movimiento; este efecto, conocido como "contracción de Lorentz-FitzGerald", cuya representación matemática es conocida por el nombre de transformación de Lorentz, fue una más de las numerosas contribuciones realizadas por Lorentz al desarrollo de la teoría de la relatividad.

Fue el primero en formular las bases de la teoría de la relatividad junto a Henri Poincaré y Maxwell.

Fue ganador del Premio Nobel de Física en 1902, junto con su pupilo Pieter Zeeman, «por su investigación conjunta sobre la influencia del magnetismo en la radiación, originando la radiación electromagnética».

También fue premiado con la Medalla Rumford en 1908 y la Medalla Copley en 1918.

Fue el presidente de los cinco primeros Congresos Solvay, es decir, de todos los que se celebraron antes de su fallecimiento.

EPÓNIMO : 

Trayectoria bajo la fuerza de Lorentz de una partícula cargada en un campo magnético constante, según el signo de la carga eléctrica.

Fuerza sobre una partícula cargada.

Fuerza sobre una corriente.

En física (específicamente en electromagnetismo), la fuerza de Lorentz es la fuerza ejercida por el campo electromagnético que recibe una partícula cargada o una corriente eléctrica.

Forma clásica

Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz sobre esa partícula viene dada por:

${\displaystyle \mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times \mathbf{B}+\mathbf{E}),}$

donde ${\displaystyle \mathbf{v}}$ es la velocidad de la carga, ${\displaystyle \mathbf{E}}$ es el vector intensidad de campo eléctrico y ${\displaystyle \mathbf{B}}$ es el vector inducción magnética. La expresión siguiente está relacionada con la fuerza de Laplace o fuerza sobre un hilo conductor por el que circula corriente:

${\displaystyle \mathbf{F}={\int }_{L}I\cdot d\mathbf{l}\times \mathbf{B}}$

donde ${\displaystyle L}$ es la longitud del conductor, ${\displaystyle I}$ es la intensidad de corriente y ${\displaystyle \mathbf{B}}$ la inducción magnética. A pesar de ser una consecuencia directa de ella, esta última expresión históricamente se encontró antes que la anterior, debido a que las corrientes eléctricas se manejaban antes de que estuviese claro si la carga eléctrica era un fluido continuo o estaba constituida por pequeñas cargas discretas.

Variaciones de esta fórmula básica describen la fuerza magnética sobre un alambre conductor de corriente (a veces llamada Fuerza de Laplace), la fuerza electromotriz en un bucle de alambre que se mueve a través de un campo magnético (un aspecto de la ley de inducción de Faraday), y la fuerza sobre una partícula cargada en movimiento.^[1]

Los historiadores sugieren que la ley está implícita en un artículo de James Clerk Maxwell, publicado en 1865.^[2] Hendrik Lorentz llegó a una derivación completa en 1895,^[3] identificando la contribución de la fuerza eléctrica unos años después de que Oliver Heaviside identificara correctamente la contribución de la fuerza magnética.^[4]

Formas alternativas

Forma integral

Si los campos eléctrico ${\displaystyle \mathbf{E}}$ y magnético ${\displaystyle \mathbf{B}}$ no son modificados por la presencia de la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente ${\displaystyle \mathbf{J}}$, y las dos últimas no son modificadas por dichos campos, la fuerza de Lorentz se puede expresar como:

${\displaystyle \mathbf{f}={\int }_V(\rho \mathbf{E}+\mathbf{J}\times \mathbf{B})dV}$

Como en general esto no es cierto, la resolución de las fuerzas resultantes requiere el uso de consideraciones energéticas y la resolución de ecuaciones diferenciales derivadas de las ecuaciones de Maxwell.

Forma tensorial

En teoría de la relatividad conviene escribir las leyes físicas en forma explícitamente tensorial. Eso implica que las magnitudes que se transforman vectorialmente como, por ejemplo, la velocidad o la densidad de corriente, deben ser representadas por cuadrivectores. La fuerza de Lorentz escrita en forma explícitamente tensorial es:

${\displaystyle f_{\alpha }=\sum _{\beta =0}^{3}q{F}_{\alpha \beta }{u}^{\beta }}$ (expresión tensorial relativista)

Donde:

${\displaystyle (f_{\alpha }),(f_0,f_1,f_2,f_3)=(\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{v}/c,f_x,f_y,f_z)}$ son las componentes del cuadrivector fuerza.

${\displaystyle (u^{\beta }),(u_0,u_1,u_2,u_3)=\gamma (c,v_x,v_y,v_z)}$ son las componentes del cuadrivelocidad, siendo ${\displaystyle \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(v_x^2+v_y^2+v_z^2)/c^2}}}$ el factor de Lorentz.

${\displaystyle (F_{\alpha \beta })}$ son las componentes del tensor de campo electromagnético cuyas componentes se relacionan con la parte eléctrica y magnética del campo así:

Fuerza de Lorentz y tercera ley de Newton

La fuerza magnética que se ejercen dos partículas en movimiento no satisface el principio de acción-reacción o tercera ley de Newton, es decir, la fuerza ejercida por la primera partícula sobre la segunda no es igual a la fuerza ejercida por la segunda partícula sobre la primera.^[5] Esto se puede comprobar por cálculo directo considerando dos cargas puntuales. La fuerza de la partícula 1 sobre la partícula 2 es, utilizando la Ley de Biot-Savart:

${\displaystyle {\mathbf{F}}_{12}=q_2{\mathbf{v}}_2\times {\mathbf{B}}_1=\frac{\mu q_2{q}_1}{4\pi }\frac{\left({\mathbf{v}}_2\times ({\mathbf{v}}_1\times ({\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1))\right)}{d^3}}$

Donde los ${\displaystyle {\mathbf{r}}_i}$ son los valores de posición respectivos, ${\displaystyle {\mathbf{v}}_i}$ las velocidades lineales respectivas, q_i las cargas respectivas, d la distancia entre las dos partículas y ${\displaystyle {\mathbf{B}}_i}$ los campos magnéticos. Análogamente la fuerza de la partícula 2 sobre la partícula 1 es:

${\displaystyle {\mathbf{F}}_{21}=q_1{\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{B}}_2=\frac{\mu q_2{q}_1}{4\pi }\frac{\left({\mathbf{v}}_1\times ({\mathbf{v}}_2\times ({\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2))\right)}{d^3}}$

Empleando la identidad ${\displaystyle \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c}}$ puede verse que la primera fuerza está en el plano formado por ${\displaystyle {\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2}$ y ${\displaystyle {\mathbf{v}}_1}$ que la segunda fuerza está en el plano formado por ${\displaystyle {\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2}$ y ${\displaystyle {\mathbf{v}}_2}$.

Historia

Teoría de Lorentz de los electrones. Fórmulas para la fuerza de Lorentz (I, fuerza ponderomotriz) y las ecuaciones de Maxwell para la divergencia del campo eléctrico E (II) y del campo magnético B (III), La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants, 1892, p. 451. V es la velocidad de la luz.

Los primeros intentos de describir cuantitativamente la fuerza electromagnética se realizaron a mediados del siglo XVIII. Se propuso que la fuerza sobre los polos magnéticos, por Johann Tobias Mayer y otros en 1760,^[6] y los objetos cargados eléctricamente, por Henry Cavendish en 1762,^[7] obedecían a una ley de la inversa del cuadrado. Sin embargo, en ambos casos la prueba experimental no fue completa ni concluyente. No fue hasta 1784 cuando Charles-Augustin de Coulomb, utilizando una balanza de torsión, pudo demostrar definitivamente mediante experimentos que esto era cierto.^[8] Poco después del descubrimiento en 1820 por Hans Christian Ørsted de que una aguja magnética es actuada por una corriente voltaica, André-Marie Ampère ese mismo año fue capaz de idear mediante experimentación la fórmula de la dependencia angular de la fuerza entre dos elementos de corriente.^[9][10] En todas estas descripciones, la fuerza se describía siempre en términos de las propiedades de la materia implicada y de las distancias entre dos masas o cargas, más que en términos de campos eléctricos y magnéticos.^[11]

El concepto moderno de campo eléctrico y magnético surgió por primera vez en las teorías de Michael Faraday, en particular en su idea de líneas de fuerza, a la que más tarde dieron una descripción matemática completa Lord Kelvin y James Clerk Maxwell.^[12] Desde una perspectiva moderna es posible identificar en la formulación de 1865 de Maxwell de sus ecuaciones de campo una forma de la ecuación de fuerza de Lorentz en relación con las corrientes eléctricas,^[2] aunque en la época de Maxwell no era evidente cómo se relacionaban sus ecuaciones con las fuerzas sobre objetos cargados en movimiento. J. J. Thomson fue el primero en intentar derivar de las ecuaciones de campo de Maxwell las fuerzas electromagnéticas sobre un objeto cargado en movimiento en términos de las propiedades del objeto y de los campos externos. Interesado en determinar el comportamiento electromagnético de las partículas cargadas en rayos catódicos, Thomson publicó un artículo en 1881 en el que daba la fuerza sobre las partículas debida a un campo magnético externo como^[4][13]$${\displaystyle \mathbf{F}=\frac{q}{2}\mathbf{v}\times \mathbf{B}.}$$Thomson derivó la forma básica correcta de la fórmula, pero, debido a algunos errores de cálculo y a una descripción incompleta de la corriente de desplazamiento, incluyó un factor de escala incorrecto de la mitad delante de la fórmula. Oliver Heaviside inventó la notación vectorial moderna y la aplicó a las ecuaciones de campo de Maxwell; también (en 1885 y 1889) corrigió los errores de la derivación de Thomson y llegó a la forma correcta de la fuerza magnética sobre un objeto cargado en movimiento.^[4][14][15]

Finalmente, en 1895,^[3][16] Hendrik Lorentz derivó la forma moderna de la fórmula de la fuerza electromagnética que incluye las contribuciones a la fuerza total de los campos eléctrico y magnético. Lorentz comenzó abandonando las descripciones maxwellianas del éter y la conducción. En su lugar, Lorentz hizo una distinción entre la materia y el éter e intentó aplicar las ecuaciones de Maxwell a escala microscópica. Utilizando la versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell para un éter estacionario y aplicando la mecánica lagrangiana (véase más adelante), Lorentz llegó a la forma correcta y completa de la ley de fuerza que ahora lleva su nombre.^[17][18]

Importancia de la fuerza de Lorentz

Mientras que las modernas ecuaciones de Maxwell describen cómo las partículas cargadas eléctricamente y las corrientes o partículas cargadas en movimiento dan lugar a campos eléctricos y magnéticos, la ley de la fuerza de Lorentz completa esa imagen describiendo la fuerza que actúa sobre una carga puntual q en movimiento en presencia de campos electromagnéticos.^[19][20] La ley de la fuerza de Lorentz describe el efecto de E y B sobre una carga puntual, pero esas fuerzas electromagnéticas no son la imagen completa. Las partículas cargadas están posiblemente acopladas a otras fuerzas, en particular la gravedad y las fuerzas nucleares. Así, las ecuaciones de Maxwell no están separadas de otras leyes físicas, sino que están acopladas a ellas a través de las densidades de carga y de corriente. La respuesta de una carga puntual a la ley de Lorentz es un aspecto; la generación de E y B por corrientes y cargas es otro.

En los materiales reales, la fuerza de Lorentz es inadecuada para describir el comportamiento colectivo de las partículas cargadas, tanto en principio como en términos de cálculo. Las partículas cargadas en un medio material no sólo responden a los campos E y B, sino que también generan estos campos. Para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas deben resolverse complejas ecuaciones de transporte, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes. Véanse, por ejemplo, la magnetohidrodinámica, la dinámica de fluidos, la electrohidrodinámica, la superconductividad o la evolución estelar. Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estas cuestiones. Véanse, por ejemplo, las relaciones de Green-Kubo y la función de Green (teoría de muchos cuerpos).

Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teoría de la relatividad especial, son un conjunto de relaciones que dan cuenta de cómo se relacionan las medidas de una magnitud física obtenidas por dos observadores diferentes. Estas relaciones establecieron la base matemática de la teoría de la relatividad especial de Einstein, ya que las transformaciones de Lorentz precisan el tipo de geometría del espacio-tiempo requeridas por la teoría de Einstein.

Matemáticamente el conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forman el grupo de Lorentz.

Historia

Véase también: Historia de la Relatividad Especial

Históricamente las transformaciones de Lorentz fueron introducidas por Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928), que las había introducido fenoménicamente para resolver ciertas inconsistencias entre el electromagnetismo y la mecánica clásica. Lorentz había descubierto en el año 1900 que las ecuaciones de Maxwell resultaban invariantes bajo este conjunto de transformaciones, ahora denominadas transformaciones de Lorentz. Al igual que los demás físicos, antes del desarrollo de la teoría de la relatividad, asumía que la velocidad invariante para la transmisión de las ondas electromagnéticas se refería a la transmisión a través de un sistema de referencia privilegiado, hecho que se conoce con el nombre de hipótesis del éter. Sin embargo, tras la interpretación por parte de Albert Einstein de dichas relaciones como transformaciones de coordenadas genuinas en un espacio-tiempo tetradimensional la hipótesis del éter fue puesta en entredicho.

Las transformaciones de Lorentz fueron publicadas en 1904 pero su formalismo matemático inicial era incorrecto. El matemático francés Poincaré desarrolló el conjunto de ecuaciones en la forma consistente en la que se conocen hoy en día. Los trabajos de Minkowski y Poincaré mostraron que las relaciones de Lorentz podían interpretarse como las fórmulas de transformación para rotación en el espacio-tiempo cuatridimensional, que había sido introducido por Minkowski.

Forma de las transformaciones de Lorentz^[1]

Las transformaciones de Lorentz relacionan las medidas de una magnitud física realizadas por dos observadores inerciales diferentes, siendo el equivalente relativista de la transformación de Galileo utilizada en física hasta aquel entonces.

La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales.

De las coordenadas

Una de las consecuencias de que —a diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica— en mecánica relativista no exista un tiempo absoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre dos sucesos, como las distancias efectivas medidas por diferentes observadores en diferentes estados de movimiento son diferentes. Eso implica que las coordenadas de tiempo y espacio medidas por dos observadores inerciales difieran entre sí. Sin embargo, debido a la objetividad de la realidad física las medidas de unos y otros observadores son relacionables por reglas fijas: las transformaciones de Lorentz para las coordenadas.

Para examinar la forma concreta que toman estas transformaciones de las coordenadas se consideran dos sistemas de referencia inerciales u observadores inerciales: ${\displaystyle O}$ y ${\displaystyle \overline{O}}$ y se supone que cada uno de ellos representa un mismo suceso S o punto del espacio-tiempo (representable por un instante de tiempo y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de coordenadas diferentes:

${\displaystyle S_O=(t,x,y,z)S_{\overline{O}}=(\overline{t},\overline{x},\overline{y},\overline{z})}$

Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan el mismo punto del espacio-tiempo, estas deben ser relacionables de algún modo. Las transformaciones de Lorentz dicen que si el sistema ${\displaystyle \overline{O}}$ está en movimiento uniforme a velocidad ${\displaystyle V}$ a lo largo del eje X del sistema ${\displaystyle O}$ y en el instante inicial (${\displaystyle t=\overline{t}=0}$) el origen de coordenadas de ambos sistemas coinciden, entonces las coordenadas atribuidas por los dos observadores están relacionadas por las siguientes expresiones:

${\displaystyle \overline{x}=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\overline{t}=\frac{t-\frac{Vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\overline{y}=y\overline{z}=z}$

O equivalentemente por las relaciones inversas de las anteriores:

${\displaystyle x=\frac{\overline{x}+V\overline{t}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}t=\frac{\overline{t}+\frac{V\overline{x}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}y=\overline{y}z=\overline{z}}$

Donde ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz en el vacío. Las relaciones anteriores se pueden escribir también en forma matricial:

Donde se ha introducido para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz:

${\displaystyle \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\beta =\frac{V}{c}}$

La transformación de Lorentz anterior toma esa forma en el supuesto de que el origen de coordenadas de ambos sistemas de referencia sea el mismo para t = 0; si se elimina esta restricción la forma concreta de las ecuaciones se complica. Si, además, se elimina la restricción de que la velocidad relativa entre los dos sistemas se dé según el eje X y que los ejes de ambos sistemas de coordenadas sean paralelos, las expresiones de la transformación de Lorentz se complican más aún, denominándose la expresión general transformación de Poincaré.

Para el momento y la energía

El requerimiento de covariancia de la teoría de la relatividad requiere que cualquier magnitud vectorial de la mecánica newtoniana venga representada en mecánica relativista por un cuadrivector o cuadritensor en teoría de la relatividad. Así, el momento lineal requiere ser ampliado a un cuadrivector llamado cuadrivector energía-momento o cuadrimomento, que viene dado por cuatro componentes, una componente temporal (energía) y tres componentes espaciales (momentos lineales en cada dirección coordenada):

${\displaystyle \mathbf{P}=(P^0,P^1,P^2,P^3)=\left(\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z\right)}$

Cuando se examina los cuadrimomentos medidos por dos observadores inerciales, se encuentra que ambos miden componentes diferentes del momento según su velocidad relativa a la partícula observada (algo que también sucede en mecánica newtoniana). Si se denota al cuadrimomento medido por dos observadores inerciales ${\displaystyle O}$ y ${\displaystyle \overline{O}}$ con sistemas de coordenadas cartesianas de ejes paralelos y en movimiento relativo según el eje X, como los que se consideraron en el apartado anterior, los cuadrimomentos medidos por ambos observadores están relacionados por una transformación de Lorentz dada por:

${\displaystyle {\overline{p}}_x=\frac{p_x-E\frac{V}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\overline{E}=\frac{E-V{p}_x}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{\overline{p}}_y=p_y{\overline{p}}_z=p_z}$

Y la transformación inversa viene dada similarmente por:

${\displaystyle p_x=\frac{{\overline{p}}_x+\overline{E}\frac{V}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}E=\frac{\overline{E}+V{\overline{p}}_x}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{p}_y={\overline{p}}_y{p}_z={\overline{p}}_z}$

O equivalentemente en forma matricial los dos conjuntos anteriores de ecuaciones se representan como:

Donde se ha introducido de nuevo para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz.