EPÓNIMOS

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Anna Pávlova
Información personal
Nombre de nacimiento	Anna Pávlovna Pávlova
Nombre en ruso	Анна Павловна (Матвеевна) Павлова
Nacimiento	12 de febrero de 1881 San Petersburgo, Imperio Ruso
Fallecimiento	23 de enero de 1931 (49 años) La Haya, Países Bajos
Causa de muerte	Neumonía
Sepultura	Crematorio de Golders Green
Nacionalidad	rusa
Religión	Cristianismo ortodoxo
Familia
Cónyuge	Victor Dandré
Educación
Educada en	Academia Vagánova de Ballet
Información profesional
Ocupación	bailarina
Años activa	desde 1899
Distinciones	Comandante de la Orden de las Palmas Académicas Ingenio et arti Medalla de Letras y Arte de Suecia
Firma
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Anna Pávlovna Pávlova (ruso: Анна Павловна Павлова, calendario gregoriano: San Petersburgo, 12 de febrero de 1881-La Haya, 23 de enero de 1931) fue una primera bailarina rusa de finales del siglo XIX y principios del XX, una de las principales artistas del Ballet Imperial Ruso y de los Ballets Rusos de Serguéi Diáguilev. Es reconocida por su interpretación del papel de La muerte del cisne, coreografía creada para ella por Michel Fokine; y, con su propia compañía, se convirtió en la primera bailarina en viajar por todo el mundo, incluyendo Sudamérica, India y Australia.

Biografía

Anna Pávlova nació en San Petersburgo el 31 de enero (12 de febrero) de 1881, en el hospital del Regimiento Preobrazhenski, donde su padre, Matvéi Pávlovich Pávlov, servía.^[1] Algunas fuentes dicen que sus padres se casaron justo antes de su nacimiento, otras, años después. Su madre Liubov Fiódorovna Pávlova provenía de una familia de campesinos y trabajó durante algún tiempo como lavandera en la casa del banquero ruso-judío Lázar Polyakov. Cuando Anna saltó a la fama, el hijo de Polyakov, Vladímir, afirmó que era hija ilegítima de su padre; otros especularon que el propio Matvéi Pávlov supuestamente provenía de los caraítas de Crimea (incluso hay un monumento construido en una de las kenesas de Eupatoria dedicado a Pávlova), sin embargo, ambas leyendas no tienen pruebas históricas.^[2][3] El patrónimo "Pávlovna" apareció mucho más tarde como parte de su nombre artístico. Así, por ejemplo, Fokine, en una carta a Pávlova en 1924, utilizó la apelación de Anna Pávlovna^[4] en lugar de Anna Matvéievna.

Pávlova era una niña prematura, se sentía enferma regularmente y pronto la enviaron a la aldea de Ligovo, donde su abuela la cuidaba.^[3] La pasión de Pávlova por el arte del ballet inició cuando su madre la llevó a una representación de la producción original de Marius Petipa de La bella durmiente en el Teatro Mariinski. El fastuoso espectáculo la impresionó. Cuando tenía nueve años, su madre la llevó a una audición para la reconocida Escuela de Ballet Imperial. Por su juventud, y por lo que se consideraba su apariencia "enfermiza", fue rechazada, pero, a los 10 años, en 1891, fue aceptada. Apareció por primera vez en el escenario en la obra de Marius Petipa Un cuento de hadas (Un conte de fées), que el maestro había realizado para los estudiantes de la escuela.

Escuela de Ballet Imperial

Alumnos de la Escuela Imperial de Ballet en Un conte de fées de Marius Petipa. Anna Pávlova, de diez años, participó en este trabajo en su primera actuación de ballet. La fotografían aquí a la izquierda sosteniendo la jaula. San Petersburgo, 1891.

Los años de formación de la joven Pávlova fueron difíciles. El ballet clásico no le resultaba fácil. Sus pies severamente arqueados, tobillos delgados y extremidades largas chocaban con el cuerpo pequeño y compacto preferido por la bailarina de la época. Sus compañeros de estudios se burlaban de ella con apodos como La escoba y La petite sauvage. Sin inmutarse, se entrenó para mejorar su técnica. Practicaba y practicaba después de aprender un paso. Ella dijo: «Nadie puede llegar solo por ser talentoso. Dios da talento, el trabajo transforma el talento en genio».^[5] Recibió lecciones adicionales de los maestros destacados de la época: Christian Johansson, Pável Gerdt,^[6] Nikolái Legat y Enrico Cecchetti, considerado el mayor virtuoso del ballet de la época y fundador del método Cecchetti, una técnica de ballet muy influyente utilizada hasta hoy. En 1898, ingresó en la clase de perfeccionamiento de Ekaterina Vázem, ex prima ballerina de los Teatros Imperiales de San Petersburgo.

Durante su último año en la Escuela de Ballet Imperial, desempeñó muchos papeles con la compañía profesional. Se graduó en 1899 y fue elegida para ingresar al Ballet Imperial con un cargo superior al del cuerpo de ballet, como coryphée.^[6] Hizo su debut oficial en el Teatro Mariinski en Les Dryades prétendues de Pável Gerdt (Las falsas dríadas). Su actuación recibió elogios de la crítica, en particular del gran crítico e historiador Nikolái Bezobrázov.

Carrera

Teatro Imperial

Anna Pávlova en La muerte del cisne. San Petersburgo, 1905.

Tanto durante sus estudios como después de su graduación, ya en el escenario del Teatro Mariinski, la joven bailarina se llamó "Pávlova II" para distinguirse de su tocaya Varvara Pávlova quien era mayor, pero luego resultó ser mucho menos famosa. En sus memorias, Marius Petipa menciona a la maestra Sokolova, en cuya clase de perfeccionamiento en 1902-1904 «Las Sras. Pávlova II, Sedova y Trefílova estudiaron y progresaron mucho bajo su liderazgo». En el diario de Petipa hablaba de Pávlova como alumna de Sokolova. Pávlova visitó a Petipa para repasar escenas de ballets con él. Recurrió al coreógrafo en busca de consejos para mejorar el desempeño del papel principal en Giselle, y en la preparación de su obra Le Corsaire.

Los compañeros de baile de Pávlova fueron Mijaíl Obújov, Serguéi Legat y Nikolái Legat. Al comienzo de su carrera, uno de sus compañeros de baile fue Michel Fokine —su primera actuación conjunta se llevó a cabo el 29 de diciembre de 1899—, repitiendo el 10 de septiembre de 1900, en El despertar de Flora.

Pávlova cambió para siempre el ideal de las bailarinas. En los años 1890, se esperaba de las bailarinas del Teatro Mariinski que fueran técnicamente fuertes, y esto significaba, normalmente, tener un cuerpo poderoso, musculoso y compacto. Pávlova era delgada, de apariencia delicada y etérea, indicada para los papeles románticos como Giselle.

Postal fotográfica de Anna Pávlova como la princesa Aspicia en la versión de Aleksandr Gorski del ballet de Petipa / Pugni La hija del faraón, para el Teatro Bolshói. Moscú, 1908

En las temporadas siguientes, los nuevos roles de Pávlova incluyeron solísticos en Le Corsaire (El corsario), La bella durmiente, Paquita y Don Quijote. En 1902, recibió su primer papel de bailarina principal, interpretando el papel de Nikiya en La bayadera. A esto le siguió los papel principal en Giselle y en La hija del faraón, Paquita y en El Corsario, entre otros. Habiéndose convertido en una de las principales bailarinas de la compañía, en 1906 recibió el título de prima ballerina.^[7]

Una gran influencia en el estilo escénico de Anna Pávlova fue ejercida por su trabajo conjunto con los maestros de ballet Aleksandr Gorski y especialmente con Michel Fokine. Permaneció vinculada al Mariinski hasta 1913.

Ballets Rusos

Anna Pávlova en Las sílfides, por Valentín Serov, 1909

En los primeros años de los Ballets Rusos, Pávlova trabajó brevemente para Serguéi Diáguilev. Bailó en el estreno de Le Pavillon d'Armide el 19 de mayo de 1909, en las Temporadas rusas de Serguéi Diáguilev en París, y el 2 de junio estuvo en el estreno en París del ballet Las sílfides y Cleopatra junto a Vaslav Nijinsky y lograron un éxito inmediato.^[8] Asistió a las actuaciones el director del Metropolitan Opera, Otto Kahn quien firmó un contrato de un mes con ella. El cartel de la obra de Valentín Serov con Pávlova congelada en un arabesque se convirtió en uno de los emblemas de las Temporadas rusas.

En 1909, recorrió Europa con los ballets de Serguéi Diáguilev. Originalmente bailaría la obra de Michel Fokine El pájaro de fuego, pero se negó, ya que no podía ponerse de acuerdo con Ígor Stravinski y el papel fue dado a Tamara Karsávina. Toda su vida, Pávlova prefirió la melodiosa "musique dansante" de los viejos maestros como Cesare Pugni y Ludwig Minkus, y se preocupó poco por cualquier otra cosa que se alejara de la música de ballet de salón del siglo XIX. Por varias razones, Pávlova dejó la compañía de Diáguilev, pero aceptó interpretar el papel principal en Giselle en la gira de los Ballets Rusos en Londres.

EPÓNIMO :

La pavlova es un postre a base de merengue. Se originó en Australia o Nueva Zelanda a principios del siglo XX y debe su nombre a la bailarina rusa Anna Pavlova.^[1] La pavlova tiene forma de pastel circular de merengue horneado, con una corteza crujiente y un interior suave y ligero. Se suele cubrir con fruta y nata montada.^[2]

Se cree que el postre se creó en honor a la bailarina durante o después de una de sus giras por Australia y Nueva Zelanda en los años 20.^[2] La nacionalidad de su creador ha sido motivo de discusión entre ambas naciones durante muchos años.^[3]

El postre es una parte importante de la cocina nacional de Australia y Nueva Zelanda. Se sirve con frecuencia durante las comidas de celebración y festivas. Se identifica y se consume sobre todo en verano, incluso en Navidad.^[2]

Preparación y consumo

La preparación de la pavlova es similar a la del merengue. Se baten las claras de huevo (y a veces la sal) a punto de nieve y se añade poco a poco azúcar en polvo antes de incorporar el vinagre o el zumo de limón (u otro ácido comestible), la harina de maíz y la esencia de vainilla. La mezcla de merengue se coloca sobre papel de horno y se le da forma de pastel redondo de unos 20 cm de diámetro con el centro ligeramente hundido. El merengue se cuece en un horno lento (120-150 °C) durante 45-60 minutos y, a continuación, se deja enfriar y secar en el horno, normalmente toda la noche.^[4][5]

La pavlova tiene una cubierta exterior crujiente y un centro blando y húmedo como un malvavisco, a diferencia del merengue, que suele ser sólido. Se ha sugerido que la adición de harina de maíz es la responsable del centro de malvavisco, aunque se ha debatido que la harina de maíz no es más que otro estabilizador de la clara de huevo además del ácido.

^[

Giuseppe Peano
Giuseppe Peano.
Información personal
Nacimiento	27 de agosto de 1858 Spinetta, Reino de Cerdeña
Fallecimiento	20 de abril de 1932 (73 años) Turín, Italia
Causa de muerte	Infarto agudo de miocardio
Sepultura	Cementerio Monumental de Turín y cimitero di Spinetta (it)
Residencia	Reino de Italia
Lengua materna	Italiano
Educación
Educado en	Universidad de Turín
Supervisor doctoral	Enrico D'Ovidio
Información profesional
Área	Teoría de conjuntos Filosofía
Conocido por	Axiomas de Peano Formulario mathematico Teorema de Peano Latino sine Flexione Curva de Peano
Empleador	Universidad de Turín Accademia dei Lincei
Obras notables	aritmética de Peano axiomas de Peano Curva de Peano teorema de existencia de Peano teorema del núcleo de Peano
Miembro de	Academia de Ciencias de Turín (desde 1891) Academia Nacional de los Linces (1905-1929) Academia Nacional de los Linces (desde 1929)
Distinciones	Caballero de la Orden de los Santos Mauricio y Lázaro Caballero de la Orden de la Corona de Italia Comendador de la Orden de la Corona de Italia Correspondiente de la Accademia dei Lincei
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Giuseppe Peano (Spinetta, 27 de agosto de 1858 - Turín, 20 de abril de 1932) fue un matemático, lógico y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a la lógica matemática y la teoría de números. Peano publicó más de doscientos libros y artículos, la mayoría sobre matemática. La mayor parte de su vida la dedicó a enseñar en Turín.

Vida

Nació en una granja cerca del pueblo de Spinetta cerca de Cuneo, en el Piamonte. Ingresó en la cercana Universidad de Turín en 1876. Se graduó en 1880 con honores y comenzó su carrera académica.

El 20 de enero de 1891 se casó con Carola Crosio. Falleció de un ataque al corazón el 20 de abril de 1932 en Turín.

Hitos y distinciones

• 1881: publicación de su primer artículo,
• 1884: publicación de Calcolo Differenziale e Principii di Calcolo Integrale
• 1887: publicación de Applicazioni Geometriche del Calcolo Infinitesimale
• 1889: nombrado profesor de primera clase en la Academia Militar Real
• 1890: profesor extraordinario de Cálculo Infinitesimal en la Universidad de Turín
• 1891: ingresa como miembro a la Academia de Ciencia de Turín
• 1893: publicación de Lezioni di Analisi Infinitesimale (2 volúmenes)
• 1895: promovido a profesor ordinario en la Universidad de Turín
• 1901: Caballero de la Orden de los Santos Mauricio y Lázaro
• 1903: anuncio de Latino sine flexione
• 1905: Caballero de la Orden de la Corona de Italia, elegido como miembro correspondiente de la Accademia dei Lincei en Roma, el mayor honor para un científico italiano
• 1908: publicación de Formulario Mathematico (quinta y última edición del proyecto Formulario)
• 1917: Oficial de la Orden de la Corona de Italia
• 1921: Comendador de la Orden de la Corona de Italia

Carrera

Aritmetica generale e álgebra elementare, 1902

Comenzó su carrera como asistente en la Universidad de Turín en 1880. Primero fue ayudante de Enrico D'Ovidio y después de Angelo Genocchi, el jefe de cátedra en Cálculo infinitesimal. Debido a la frágil salud de Genocchi, Peano empezó a dictar los cursos de cálculo infinitesimal a los dos años de trabajar como ayudante del catedrático.

Su primer trabajo importante, un libro de texto sobre cálculo, fue atribuido a Genocchi y publicado en 1884. Tres años después, Peano publicó su primer libro sobre lógica matemática. Este libro fue el primero en usar los símbolos modernos para la unión e intersección de conjuntos.

En 1886 comenzó a dictar clases al mismo tiempo en la Academia Militar Real, y fue ascendido a profesor de primera clase en 1889. Al siguiente año, la Universidad de Turín también le otorgó un puesto de profesor titular.

La famosa curva que llena el espacio o curva de Peano apareció en 1890 como un contraejemplo que usó para mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una región arbitrariamente pequeña. Este fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.

Al año siguiente comenzó el Proyecto Formulario. Debía ser una Enciclopedia de Matemáticas, conteniendo todas las fórmulas conocidas y los teoremas de la ciencia matemática usando una notación estándar inventada por él.

En 1897, se llevó a cabo el primer Congreso Internacional de Matemáticos en Zúrich. Peano fue un participante clave, presentó un artículo sobre lógica matemática. también comenzó a estar más ocupado con el Formulario en detrimento de sus otros trabajos.

En 1898 presentó una nota a la Academia acerca del sistema de numeración binario y su capacidad para ser usado para representar los sonidos de las lenguas. En un momento dado se frustró tanto con las demoras en las publicaciones (por su exigencia de que las fórmulas fueran impresas en una sola línea), que compró una imprenta.

París fue la sede de la Segunda Conferencia Internacional de Matemáticas en 1900. La conferencia fue precedida por la primera Conferencia Internacional de Filosofía donde Peano fue miembro del comité de dirección. Presentó un artículo donde postuló la cuestión de definiciones formadas correctamente en matemáticas, es decir «¿Cómo se define una definición?». Este pasó a ser uno de los principales puntos de interés filosófico de Peano para el resto de su vida. En dicha conferencia conoció a Bertrand Russell a quien entregó una copia del Formulario. Russell quedó tan impresionado con los innovadores símbolos lógicos que dejó la conferencia y regresó para estudiar el texto de Peano.

Los discípulos de Peano presentaron artículos (usando las enseñanzas de Peano) en las conferencias matemáticas, sin embargo Peano no presentó ninguno. Se dictó una resolución para la formación de un "idioma internacional auxiliar" que haría más fácil la difusión de nuevas ideas matemáticas (y comerciales), Peano apoyó plenamente esa idea.

Hacia 1901 estaba en la cima de su carrera matemática. Hizo avances en las áreas de análisis, fundamentos y lógica, realizó muchas contribuciones a la enseñanza del cálculo y contribuyó en los campos de ecuaciones diferenciales y análisis vectorial. Jugó un papel central en la axiomatización de las matemáticas y fue pionero en el desarrollo de la lógica matemática. A esta altura estaba muy involucrado con el proyecto Formulario y sus cátedras comenzaron a sufrirlo. De hecho, tan determinado estaba a enseñar sus nuevos símbolos matemáticos que no se prestaba atención al cálculo en sus cursos. Como resultado, fue despedido de la Academia Militar Real, pero retuvo su puesto en la Universidad de Turín.

En 1903 anunció su trabajo en un idioma auxiliar internacional llamado Latino sine flexione ("Latín sin flexiones", después llamado Interlingua). Este fue un proyecto importante para él (junto con el encuentro de colaboradores para el Formulario). La idea era usar un vocabulario latino, dado que era ampliamente conocido, pero simplificar la gramática tanto como fuera posible y eliminar todas las irregularidades y las formas anómalas para hacerlo más fácil de aprender. En un discurso brillante, comenzó hablando en latín y, a medida que describía cada simplificación, las introducía en el discurso de manera que al final estaba hablando en ese nuevo idioma.

1908 fue un gran año para Peano, al publicarse, la quinta y última edición del Proyecto Formulario, titulado Formulario Mathematico. Contenía 4200 fórmulas y teoremas, todos completamente enunciados y la mayoría probados. El libro recibió poca atención dado que mucho de su contenido era ya viejo en ese momento. Los comentarios y ejemplos estaban escritos en Latino sine flexione, lo cual disminuyó el interés de la mayoría de los matemáticos; sin embargo, permanece como una contribución significativa a la literatura matemática.

También en 1908 ejerció la cátedra de análisis superior en Turín (este nombramiento sólo duró dos años). Fue elegido director de la Academia pro Interlingua. Habiendo creado previamente el Idioma Neutral, la Academia eligió abandonarlo en favor del Latino sine flexione de Peano.

Después de que su madre muriera en 1910, Peano dividió su tiempo entre la enseñanza, trabajando en textos orientados a la escuela secundaria (incluyendo un diccionario de matemáticas) y desarrollando y promoviendo idiomas artificiales de él y de otros, llegado a ser un miembro reverenciado del movimiento internacional de idiomas auxiliares. Usó su pertenencia a la Accademia dei Lincei para presentar artículos escritos por amigos y colegas que no eran miembros (la Accademia registraba y publicaba todos los artículos presentados durante las sesiones).

En 1925 cambió informalmente de cátedra de Cálculo Infinitesimal a Matemáticas Complementarias, un campo que se ajustaba más a su estilo de matemáticas. Esta mudanza se oficializó en 1931. Continuó enseñando en la Universidad de Turín hasta un día antes de su muerte, el 20 de abril de 1932, cuando sufrió un ataque cardíaco.

Fue un hombre a quien admiré mucho desde el momento en que lo conocí por primera vez en 1900 en el Congreso de Filosofía, que dominaba por la exactitud de su mente.

Bertrand Russell, 1932

EPÓNIMO :

Giuseppe Peano.

Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un sistema de axiomas de segundo orden para la aritmética ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, para definir los números naturales. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.

Los publicó en 1889, en un folleto de unas treinta páginas, intitulado Aritmetices principia, nova methodo exposita, que se traduce por Nuevo método de exposición de los principios de la aritmética. Da una lista de nueve axiomas, de los cuales cuatro versan sobre el uso del signo "${\displaystyle =}$". Los demás se conocen como "Axiomas de Peano". Los matemáticos los consideran como la plataforma preliminar para forjar los siguientes conjuntos usuales de números. La idea pivotal de Peano fue la de "sucesor".^[1]

Los axiomas

Los axiomas de Peano describen las propiedades aritméticas de los números naturales, normalmente representados como un conjunto N El primer axioma indica:

1. El ${\displaystyle 0}$ es un número natural.

La formulación original de Peano usaba al 1 como el primer número natural, en lugar del 0, que se incluía en los axiomas de Formulario Matemático. Generalmente se decide en cada caso si se incluye o no al 0 como primer número natural, dependiendo de si se necesita o no.

Los siguientes cuatro axiomas son:

1. Todo número natural ${\displaystyle n}$ tiene un sucesor ${\displaystyle n^{\ast }}$. (Este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
2. El ${\displaystyle 0}$ no es el sucesor de ningún número natural.
3. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle m}$ son el mismo número natural.
4. Si el ${\displaystyle 0}$ pertenece a un conjunto cualquiera, y dado un número natural cualquiera en dicho conjunto, el sucesor también pertenece al conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Presentación formal

Como se dijo antes existe un debate sobre si incluir al ${\displaystyle 0}$ entre los números naturales o no. A continuación se presentan los axiomas de Peano de manera formal, contemplando ambas posibilidades:

Cuando no interviene el cero

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son ${\displaystyle N,1,x^{\prime }}$.

El símbolo N designa un predicado monádico que se lee «ser un número natural». El símbolo 1, por su parte, designa una constante que pretende representar al número uno. Y el símbolo x', finalmente, designa una función sobre x que devuelve al sucesor de x. A esta función muchas veces se la escribe S(x). Finalmente, la metavariable ${\displaystyle \varphi }$ representa una fórmula cualquiera de la aritmética, y ${\displaystyle \varphi (x)}$ representa una fórmula cualquiera que tenga a x como variable libre.

Los cinco axiomas de Peano son:

${\displaystyle A_1:N(1)}$

${\displaystyle A_2:\mathrm{\forall }x(N(x)\to N(x^{\prime }))}$

${\displaystyle A_3:\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x(N(x)\wedge (1=x^{\prime }))}$

${\displaystyle A_4:\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y((N(x)\wedge N(y)\wedge (x^{\prime }=y^{\prime }))\to x=y)}$

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en lógica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo sí es un axioma, pero está formulado en lógica de segundo orden.

${\displaystyle A_5:(\varphi (1)\wedge \mathrm{\forall }x(\varphi (x)\to \varphi (x^{\prime })))\to \mathrm{\forall }x\varphi (x)}$

${\displaystyle A_5^{\prime }:\mathrm{\forall }\varphi ((\varphi (1)\wedge \mathrm{\forall }x(\varphi (x)\to \varphi (x^{\prime })))\to \mathrm{\forall }x\varphi (x))}$

Además de los cinco axiomas, la aritmética de Peano recurre a dos definiciones (de la suma y de la multiplicación), que a veces se presentan como axiomas. A continuación se incluyen todas las variantes:

Definiciones de suma y multiplicación:

${\displaystyle D_1:}$	${\displaystyle n+1=n^{\prime }}$
	${\displaystyle n+m^{\prime }=(n+m{)}^{\prime }}$

${\displaystyle D_2:}$	${\displaystyle n\times 1=n}$
	${\displaystyle n\times m^{\prime }=(n\times m)+n}$

Axiomas de la suma y de la multiplicación:

${\displaystyle A_6:}$	${\displaystyle \mathrm{\forall }n(n+1=n^{\prime })}$
	${\displaystyle \mathrm{\forall }n\mathrm{\forall }m(n+m^{\prime }=(n+m{)}^{\prime })}$

${\displaystyle A_7:}$	${\displaystyle \mathrm{\forall }n(n\times 1=n)}$
	${\displaystyle \mathrm{\forall }n\mathrm{\forall }m(n\times m^{\prime }=(n\times m)+n)}$

Cuando interviene el cero

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son ${\displaystyle N,0,x^{\prime }}$.

Axiomas:

${\displaystyle A_1:N(0)}$

${\displaystyle A_2:\mathrm{\forall }x(N(x)\to N(x^{\prime }))}$

${\displaystyle A_3:\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x(N(x)\wedge 0=x^{\prime })}$

${\displaystyle A_4:\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y((N(x)\wedge N(y)\wedge x^{\prime }=y^{\prime })\to x=y)}$

${\displaystyle A_5:(\varphi (0)\wedge \mathrm{\forall }x(\varphi (x)\to \varphi (x^{\prime })))\to \mathrm{\forall }x\varphi (x)}$

${\displaystyle A_5^{\prime }:\mathrm{\forall }\varphi (\varphi (0)\wedge \mathrm{\forall }x((\varphi (x)\to \varphi (x^{\prime }))\to \mathrm{\forall }x\varphi (x)))}$

Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es solo una cuestión de cambiar toda aparición del 1 por el 0. Sin embargo, en las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicación hay que hacer algunos leves ajustes más:

Definiciones de suma y multiplicación:

${\displaystyle D_1:}$	${\displaystyle n+0=n}$
	${\displaystyle n+m^{\prime }=(n+m{)}^{\prime }}$

${\displaystyle D_2:}$	${\displaystyle n\times 0=0}$
	${\displaystyle n\times m^{\prime }=(n\times m)+n}$

Axiomas de la suma y de la multiplicación:

${\displaystyle A_6:}$	${\displaystyle \mathrm{\forall }n(n+0=n)}$
	${\displaystyle \mathrm{\forall }n\mathrm{\forall }m(n+m^{\prime }=(n+m{)}^{\prime })}$

${\displaystyle A_7:}$	${\displaystyle \mathrm{\forall }n(n\times 0=0)}$
	${\displaystyle \mathrm{\forall }n\mathrm{\forall }m(n\times m^{\prime }=(n\times m)+n)}$

Modelos inintencionales

Un modelo es una interpretación de los símbolos primitivos que hace verdaderos a todos los axiomas. Por ejemplo, interpretando al símbolo 0 como el número cero, y al predicado ${\displaystyle \mathcal{N}}$ como los números naturales, el primer axioma resulta verdadero, porque es verdad que «el cero es un número natural». Lo mismo ocurre con todos los otros axiomas: bajo las interpretaciones naturales de ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathcal{N}}$ y ${\displaystyle x^{\prime }}$, cada uno de los axiomas resulta verdadero. Luego, las interpretaciones naturales de los símbolos primitivos son un modelo de la aritmética de Peano.

Originalmente, Peano propuso los axiomas para caracterizar a los números naturales, y los símbolos primitivos se debían interpretar de esta manera natural. Sin embargo, los símbolos que designan a los conceptos primitivos admiten otras interpretaciones, algunas de las cuales serán además modelos. Por ejemplo, se podría interpretar al símbolo ${\displaystyle 0}$ como el número dos (para simplificar la explicación no entendemos el cero como par), a ${\displaystyle \mathcal{N}}$ como el predicado «ser un número par», y a ${\displaystyle x^{\prime }}$ como el sucesor del sucesor, en vez del sucesor inmediato. En tal caso, los axiomas se tendrían que entender así:

1. El dos es un número par.
2. Si ${\displaystyle n}$ es un número par, entonces el sucesor del sucesor de ${\displaystyle n}$ también es un número par.
3. El dos no es el sucesor del sucesor de ningún número par.
4. Si hay dos números pares ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle m}$ con el mismo sucesor de sucesor, entonces ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle m}$ son el mismo número par.
5. Si el dos pertenece a un conjunto, y dado un número par cualquiera, el sucesor del sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números pares pertenecen a ese conjunto.

Bajo esta interpretación, todos los axiomas resultan verdaderos, y los axiomas ya no definen a los números naturales, sino a los números pares. También es posible encontrar modelos (es decir, interpretaciones que hagan verdaderos a todos los axiomas) por fuera de la matemática. Por ejemplo, se podría interpretar a 0 como el primer segundo luego del Big Bang, a ${\displaystyle \mathcal{N}}$ como el predicado «ser un segundo», y a ${\displaystyle x^{\prime }}$ como el segundo después de ${\displaystyle x}$. Bajo esta interpretación (y asumiendo que el tiempo es infinito) los axiomas también resultan verdaderos.

A aquellos modelos que no fueron originalmente planeados se los llama modelos inintencionales (non-intended models), y existen infinitos modelos inintencionales de la aritmética de Peano. Estrictamente hablando, la aritmética de Peano no define el conjunto de los números naturales, sino a la noción más amplia de sucesión matemática o progresión aritmética de los naturales.