EPÓNIMOS

 

Edsger Dijkstra
Edsger Dijkstra en 2002.
Información personal
Nombre de nacimiento	Edsger Wybe Dijkstra
Nacimiento	11 de mayo de 1930 Róterdam, Países Bajos
Fallecimiento	6 de agosto de 2002 (72 años) Nuenen, Países Bajos
Causa de muerte	Cáncer colorrectal
Nacionalidad	Neerlandés
Lengua materna	Neerlandés
Familia
Cónyuge	Maria C. Debets
Educación
Educado en	Universidad de Leiden (Física y Matemáticas; 1948-1956) Gymnasium Erasmianum (hasta 1948) Universidad de Cambridge (1951) Universidad de Ámsterdam (Ph.D. en Ciencias de la Computación; 1956-1959)
Supervisor doctoral	Adriaan van Wijngaarden
Información profesional
Ocupación	Científico de la computación, físico
Empleador	Centrum Wiskunde & Informatica (1952-1962) Universidad Técnica de Eindhoven (1962-1984) Universidad Radboud de Nimega (1971-1972) Burroughs Corporation (1973-1984) Universidad de Texas en Austin (1984-1999)
Obras notables	Algoritmo de Dijkstra algoritmo del banquero algoritmo shunting yard
Miembro de	Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias Asociación de Maquinaria Computacional (desde 1994)
Distinciones	Premio Turing en 1972
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Edsger Wybe Dijkstra (AFI: ˈɛtsxər ˈwibə ˈdɛɪkstra^ⓘ) (Róterdam, 11 de mayo de 1930-Nuenen, 6 de agosto de 2002) fue un científico de la computación de los Países Bajos.

Poco después de su muerte en el 2002, recibió la distinción ACM PODC Influential Paper Award en computación distribuida por su trabajo en la autoestabilización en programas computacionales. Este premio fue renombrado a Premio Dijkstra el siguiente año en su honor.

Biografía

Primeros años

Edsger W. Dijkstra nació en Róterdam. Su padre, que fue presidente de la Sociedad Neerlandesa de Química, había aprendido química durante la secundaria y más tarde de su superintendente. Su madre era matemática, pero nunca tuvo un trabajo formal.^[1][2]

Dijkstra siempre había considerado emprender una carrera en Derecho y representar a los Países Bajos en las Naciones Unidas. Sin embargo, tras graduarse en la escuela en 1948, bajo la dirección de sus padres estudió Matemáticas y Física. Finalmente pasó a estudiar Física teórica en la Universidad de Leiden.^[3] Más tarde trabajó como investigador para Burroughs Corporation a principios de los años 1970. En la Universidad de Texas en Austin, Estados Unidos, ocupó el Schlumberger Centennial Chair in Computer Sciences.

Mathematisch Centrum, Ámsterdam

Desde 1952 hasta 1962, Dijkstra trabajó en el Mathematisch Centrum en Ámsterdam, donde colaboró con Bram Jan Loopstra y Carel S. Scholten, los cuales habían sido contratados para construir un computador. Su modo de trabajo fue muy disciplinado: en primer lugar, debían escribir un manual de programación. Posteriormente los diseñadores de hardware debían tener fe en que Dijkstra, el programador, escribiera las líneas de códigos para una máquina todavía inexistente. De su experiencia aprendieron la gran importancia que tiene una documentación clara y que una tediosa depuración de un programa puede ser evitada si se ha hecho un diseño cuidadoso. En este centro, Dijkstra y Jaap Zonneveld desarrollaron un compilador para el lenguaje de programación ALGOL, que tuvo una gran influencia en su posterior actividad científica.

Universidad Tecnológica de Eindhoven

La Universidad Tecnológica de Eindhoven, situada en Eindhoven, en el sur de los Países Bajos, donde Dijkstra fue profesor de matemáticas de 1962 a 1984

En 1962, Dijkstra se trasladó a Eindhoven, y más tarde a Nuenen, en el sur de los Países Bajos, donde se convirtió en profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Eindhoven.^[4] La universidad no tenía un departamento de informática separado y la cultura del departamento de matemáticas no le convenía especialmente. Dijkstra intentó crear un grupo de informáticos que pudieran colaborar en la resolución de problemas. Este fue un modelo de investigación inusual para el Departamento de Matemáticas.^[5] A finales de la década de 1960 construyó el THE operating system (llamado así por la universidad, entonces conocida como Technische Hogeschool Eindhoven), que ha influido en los diseños de los posteriores sistemas operativos por su uso de la memoria virtual paginada basada en software.^[6]

Burroughs Corporation

Dijkstra se incorporó a Burroughs Corporation, una empresa conocida entonces por producir ordenadores basados en una innovadora arquitectura de hardware, como becario de investigación en agosto de 1973. Sus funciones consistían en visitar algunos de los centros de investigación de la empresa un par de veces al año y llevar a cabo su propia investigación, que realizaba en la instalación de investigación más pequeña de Burroughs, es decir, su estudio en el segundo piso de su casa en Nuenen. De hecho, Dijkstra era el único investigador de Burroughs y trabajaba para ella desde su casa, viajando ocasionalmente a sus sucursales en Estados Unidos. Por ello, redujo su horario en la universidad a un día a la semana. Ese día, el martes, se convirtió pronto en el día del famoso "Club de los Martes por la Tarde", un seminario en el que discutía con sus colegas los artículos científicos, analizando todos los aspectos: notación, organización, presentación, lenguaje, contenido, etc. Poco después de trasladarse en 1984 a la Universidad de Texas en Austin (Estados Unidos), surgió una nueva "rama" del Club de los Martes por la Tarde en Austin, Texas.^[4]

Los años de Burroughs fueron los más prolíficos en cuanto a producción de artículos de investigación. Escribió cerca de 500 documentos de la serie EWD (descrita más adelante), la mayoría de ellos informes técnicos, para su circulación privada dentro de un grupo selecto.^[5]

Universidad de Texas en Austin

La Universidad de Texas en Austin, donde Dijkstra ocupó la Cátedra del Centenario de Schlumberger en Ciencias de la Computación desde 1984 hasta 1999

Dijkstra aceptó la Cátedra del Centenario de Schlumberger en el Departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad de Texas en Austin en 1984.

Programación distribuida

Dijkstra fue uno de los pioneros en el establecimiento de la programación distribuida. Gracias a este tipo de programación, Dijkstra fue el primero en presentar una solución al problema de exclusión mutua.

Especificación formal y verificación

Desde la década de 1970 el principal interés de Dijkstra fue la verificación formal. La verificación formal es un método de validación estática, en el que, partiendo de un conjunto de axiomas, reglas de inferencia y algún lenguaje lógico, se puede encontrar una demostración de un programa. En 1976 Dijkstra publicó su libro A Discipline of Programming el cual presentó su método de desarrollo sistemático de programas, junto con sus pruebas de corrección.

En su exposición, utilizó su Lenguaje de Comandos Guardados. Este lenguaje, con su dependencia en el no determinismo, la semántica de la precondición más débil y el método de desarrollo propuesto, produjeron un impacto considerable en el campo de las ciencias de ese momento.

En 1984, para añadir mayor apoyo a su enfoque de la programación, publicó junto con Wim Feijen un libro de texto para estudiantes de primer año de informática, llamado Een methode van programmeren. La versión inglesa se publicó en 1988, llamada A Method of Programming.

Ciencias de la computación y la programación

Dijkstra fue uno de los mayores oponentes de la visión de las ciencias de la computación desde el punto de vista de la ingeniería. Mediante el término "ciencias de la computación", que sustituyó a "ciencias del computador", Dijkstra quería hacer énfasis en los mecanismos abstractos que esta ciencia tiene.

Dijkstra consideraba que el trabajo de un programador no era la realización de programas, sino diseñar las distintas clases de computación para el posterior desarrollo de estos. Este pensamiento queda reflejado en su obra The Humble Programmer (1972).

También, se opuso a que la ingeniería del software estuviera bajo la tutela de la academia de la computación. Sobre esto, Dijkstra argumentó que, «Al igual que a la economía es considerada como "La Ciencia Miserable", a la ingeniería del software debería ser considerada como "La disciplina Condenada", debido a que no se acerca, ni siquiera, a su objetivo, ya que este es contradictorio en sí mismo».

EPÓNIMO ES :

Algoritmo de Dijkstra
Ejecución del algoritmo de Dijkstra
Tipo	Algoritmo de búsqueda
Problema que resuelve	Problema del camino más corto
Estructura de datos	Grafo
Creador	Edsger Dijkstra
Fecha	1959
Clase de complejidad	P
Tiempo de ejecución
Peor caso	${\displaystyle O(|E|+|V|\log |V|)}$
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El algoritmo de Dijkstra, también llamado algoritmo de caminos mínimos, es un algoritmo para la determinación del camino más corto, dado un vértice origen, hacia el resto de los vértices en un grafo que tiene pesos en cada arista. Su nombre alude a Edsger Dijkstra, científico de la computación de los Países Bajos que lo concibió en 1956 y lo publicó por primera vez en 1959.^[1][2]

La idea subyacente en este algoritmo consiste en ir explorando todos los caminos más cortos que parten del vértice origen y que llevan a todos los demás vértices; cuando se obtiene el camino más corto desde el vértice origen hasta el resto de los vértices que componen el grafo, el algoritmo se detiene. Se trata de una especialización de la búsqueda de costo uniforme y, como tal, no funciona en grafos con aristas de coste negativo (al elegir siempre el nodo con distancia menor, pueden quedar excluidos de la búsqueda nodos que en próximas iteraciones bajarían el costo general del camino al pasar por una arista con costo negativo).^[3]

Algoritmo

Teniendo un grafo dirigido ponderado de ${\displaystyle N}$ nodos no aislados, sea ${\displaystyle x}$ el nodo inicial. Un vector ${\displaystyle D}$ de tamaño ${\displaystyle N}$ guardará al final del algoritmo las distancias desde ${\displaystyle x}$ hasta el resto de los nodos.

1. Inicializar todas las distancias en ${\displaystyle D}$ con un valor infinito relativo, ya que son desconocidas al principio, exceptuando la de ${\displaystyle x}$, que se debe colocar en ${\displaystyle 0}$, debido a que la distancia de ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle x}$ sería ${\displaystyle 0}$.
2. Sea ${\displaystyle a=x}$ (Se toma ${\displaystyle a}$ como nodo actual).
3. Se recorren todos los nodos adyacentes de a, excepto los nodos marcados. Se les llamará nodos no marcados v_i.
4. Para el nodo actual, se calcula la distancia tentativa desde dicho nodo hasta sus vecinos con la siguiente fórmula: dt(v_i) = D_a + d(a,v_i). Es decir, la distancia tentativa del nodo ‘v_i’ es la distancia que actualmente tiene el nodo en el vector D más la distancia desde dicho nodo ‘a’ (el actual) hasta el nodo v_i. Si la distancia tentativa es menor que la distancia almacenada en el vector, entonces se actualiza el vector con esta distancia tentativa. Es decir, si dt(v_i) < D_vi → D_vi = dt(v_i)
5. Se marca como completo el nodo a.
6. Se toma como próximo nodo actual el de menor valor en D (puede hacerse almacenando los valores en una cola de prioridad) y se regresa al paso 3, mientras existan nodos no marcados.

Una vez terminado al algoritmo, ${\displaystyle D}$ estará completamente lleno.

Complejidad

Orden de complejidad del algoritmo:

O(|V|²+|A|) = O(|V|²), sin utilizar cola de prioridad, :O((|A|+|V|) log |V|) = O(|A| log |V|) utilizando cola de prioridad (por ejemplo, un montículo binario o un árbol binario balanceado). Por otro lado, si se utiliza un montículo de Fibonacci, sería O(|V| log |V|+|A|).

La complejidad computacional del algoritmo de Dijkstra se puede calcular contando las operaciones realizadas:

• El algoritmo consiste en n-1 iteraciones, como máximo. En cada iteración, se añade un vértice al conjunto distinguido.
• En cada iteración, se identifica el vértice con la menor etiqueta entre los que no están en S_k. El número de estas operaciones está acotado por n-1.
• Además, se realizan una suma y una comparación para actualizar la etiqueta de cada uno de los vértices que no están en S_k.

Luego, en cada iteración se realizan a lo sumo 2(n-1) operaciones.

Entonces:

Teorema: El algoritmo de lpz realiza O(n²) operaciones (sumas y comparaciones) para determinar la longitud del camino más corto entre dos vértices de un grafo ponderado simple, conexo y no dirigido con n vértices.

En general:

Tiempo de ejecución = O(|A|.𝑻_𝒅𝒌+|v|.𝑻_𝒅𝒎)

|A|: Número de aristas

𝑻_𝒅𝒌: Complejidad de disminuir clave

|V|: Número de vértices

𝑻_𝒅𝒎: Complejidad de extraer mínimo

Pseudocódigo

Estructura de datos auxiliar: Q = Estructura de datos cola de prioridad (se puede implementar con un montículo)

   DIJKSTRA (Grafo G, nodo_fuente s)       
       para u ∈ V[G] hacer
           distancia[u] = INFINITO
           padre[u] = NULL
           visto[u] = false
       distancia[s] = 0
       adicionar (cola, (s, distancia[s]))
       mientras que cola no es vacía hacer
           u = extraer_mínimo(cola)
           visto[u] = true
           para todos v ∈ adyacencia[u] hacer
               si ¬ visto[v]      
                   si distancia[v] > distancia[u] + peso (u, v) hacer
                       distancia[v] = distancia[u] + peso (u, v)
                       padre[v] = u
                       adicionar(cola,(v, distancia[v]))

Otra versión en pseudocódigo sin cola de prioridad

función Dijkstra (Grafo G, nodo_salida s)
  //Usaremos un vector para guardar las distancias del nodo salida al resto
  entero distancia[n] 
  //Inicializamos el vector con distancias iniciales
  booleano visto[n] 
  //vector de boleanos para controlar los vértices de los que ya tenemos la distancia mínima
  para cada w ∈ V[G] hacer
     Si (no existe arista entre s y w) entonces
         distancia[w] = Infinito //puedes marcar la casilla con un -1 por ejemplo
     Si_no
         distancia[w] = peso (s, w)
     fin si 
  fin para
  distancia[s] = 0
  visto[s] = cierto
  //n es el número de vértices que tiene el Grafo
  mientras que (no_estén_vistos_todos) hacer 
     vértice = tomar_el_mínimo_del_vector distancia y que no esté visto;
     visto[vértice] = cierto;
     para cada w ∈ sucesores (G, vértice) hacer
         si distancia[w]>distancia[vértice]+peso (vértice, w) entonces
            distancia[w] = distancia[vértice]+peso (vértice, w)
         fin si
     fin para 
  fin mientras
fin función.

Al final, tenemos en el vector distancia en cada posición la distancia mínima del vértice salida a otro vértice cualquiera.

Formulación del algoritmo Dijkstra

Para llevar a cabo la formulación de un modelo de red con el algoritmo Dijkstra es necesario saber de los nodos de inicio, de final y de transbordo de la red, posteriormente se analizan las etiquetas que se presentan en los arcos de la red, para así poder determinar la función objetivo del problema a formular.

En el siguiente ejemplo se presenta la formulación del modelo de Red de "Ejecución del algoritmo de Dijkstra"

Se formulan las variables de decisión denominadas Xij, que son variables binarias y determinan la activación del arco que conecta el nodo i con j.

En la red que "Ejecución del algoritmo de Dijkstra" las variables de decisión del problema son: X₁₂,X₁₃,X₁₆,X₂₃,X₂₄,X₃₆,X₃₄,X₆₅,X_45.

Posteriormente se plantea la función objetivo que consiste en tomar la ruta que genere el menor valor de etiquetas de toda la red a través de arcos que conectan los nodos.

Función Objetivo= Minimizar 7*X₁₂+9*X₁₃+ 14*X₁₆+10*X₂₃+15*X₂₄+2*X₃₆+11*X₃₄+9X₆₅+6X₄₅

Restricciones del problema. Para llevar a cabo el desarrollo de las restricciones del problema es necesario conocer el nodo de inicio, que en el caso de la red es el nodo 1, el nodo final que es el nodo 5 y los nodos de transbordo que son 2,3,4 y 6. Una vez identificados los nodos de la red se plantean las restricciones del problema

Restricciones del nodo inicial y final: También denominadas restricciones de oferta y demanda en algunos modelos de formulación. Estas restricciones le indican al modelo que solo debe tomar un arco que sale del nodo inicial y un arco que llega al nodo final, esto con el objetivo de garantizar que se cumplan las condiciones del algoritmo Dijkstra.

En el caso de la formulación del modelo las restricciones del nodo inicial y final son:

Nodo Inicial: X₁₂ +X ₁₃ +X_{16 = 1}

Nodo Final: X₆₅ + X_{45 = 1 .}

Restricciones de nodos transbordo: Estas restricciones también denominadas restricciones de balance, tienen el objetivo de garantizar que todo el flujo que entra en el nodo de transbordo de igual manera debe salir, Estas restricciones se deben generar por cada uno de los nodos de transbordo de la red, en el caso del ejemplo, las restricciones de transbordo son:

Nodo 2: X₁₂₌ X₂₃ +X₂₄

Nodo 3: X₁₃+X₂₃₌ X₃₆+X₃₄

Nodo 4 :X₂₄+X₃₄= X₄₅

Nodo 6 :X₁₆+X₃₆ =X₆₅

Restricciones de no negatividad: Con estas restricciones se garantiza que las variables del modelo no van a tomar valores negativos haciendo que el modelo de infectable.

Una vez planteadas todas las restricciones del modelo que garantice que se va a cumplir el algoritmo de Dijkstra en la red, se procede a resolver el modelo mediante algún software que permita obtener la solución óptima de dicho modelo.

«Dirac» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Dirac (desambiguación).

Paul Dirac
Paul Adrien Maurice Dirac en 1930
Información personal
Nombre de nacimiento	Paul Adrien Maurice Dirac
Nacimiento	8 de agosto de 1902 Brístol, Reino Unido
Fallecimiento	20 de octubre de 1984 (82 años) Tallahassee, Estados Unidos
Sepultura	Roselawn Cemetery
Residencia	Reino Unido-Suiza (hasta 1919) Reino Unido (1919-1969) Estados Unidos (1969-1984)
Nacionalidad	Británica (desde 1919) y suiza (hasta 1919)
Religión	Deísmo
Lengua materna	Francés
Familia
Padre	Charles Dirac
Cónyuge	Magrit Wigner
Educación
Educación	doctor en filosofía
Educado en	Universidad de Brístol, Universidad de Cambridge
Supervisor doctoral	Ralph H. Fowler
Alumno de	Ralph H. Fowler
Información profesional
Área	Física
Conocido por	Física cuántica
Cargos ocupados	Cátedra Lucasiana de Matemáticas (1932-1969)
Empleador	Universidad de Cambridge Universidad de Florida
Estudiantes doctorales	Homi J. Bhabha, Fred Hoyle, Dennis William Sciama y John C. Polkinghorne
Alumnos	Robert Oppenheimer
Obras notables	ecuación de Dirac delta de Dirac estadística de Fermi-Dirac fermión de Dirac constante de Planck reducida Fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac mar de Dirac hipótesis de los grandes números de Dirac Efecto Kapitsa–Dirac corchete de Dirac
Miembro de	Real Sociedad de Londres (desde 1930) Academia de Ciencias de la Unión Soviética (desde 1931) Sociedad Filosófica Estadounidense (desde 1938) Academia India de Ciencias (desde 1939) Real Academia de Irlanda (desde 1944) Sociedad Real de Edimburgo (desde 1946) Instituto de Francia (desde 1946) Sociedad Estadounidense de Física (desde 1948) Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos (desde 1949) Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias (desde 1950) Academia de Ciencias de Turín (desde 1951) Academia de las Ciencias de Lisboa (desde 1953) Academia Alemana de las Ciencias Naturales Leopoldina (desde 1958) Academia Nacional de los Linces (desde 1958) Academia Pontificia de las Ciencias (desde 1961) Real Academia Danesa de Ciencias y Letras (desde 1962) Academia de Ciencias de Francia (desde 1963)
Distinciones	Premio Nobel de Física (1933)
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Paul Adrien Maurice Dirac (Brístol, 8 de agosto de 1902-Tallahassee, 20 de octubre de 1984) fue un físico teórico y matemático británico que contribuyó de forma fundamental al desarrollo de la mecánica cuántica y la electrodinámica cuántica.

Ocupó la Cátedra Lucasiana de matemáticas de la Universidad de Cambridge, si bien pasó los últimos diez años de su vida en la Universidad Estatal de Florida. Entre otros descubrimientos formuló la ecuación de Dirac que describe el comportamiento de los fermiones y con la cual predijo la existencia de la antimateria. Dirac compartió el Premio Nobel de física de 1933 con Erwin Schrödinger, «por el descubrimiento de nuevas formas productivas de la teoría atómica».

Biografía

Paul Dirac nació en Brístol (Inglaterra).^[1] Su padre, Charles, fue un inmigrante del cantón suizo de Valais que enseñaba francés. Su madre, originaria de Cornualles, era hija de marineros.^[2][3] Paul tenía una hermana pequeña (Beatrice Isabelle Marguerite) y un hermano mayor (Reginald Charles Felix), que se suicidó a los veintiséis años, en 1924. Dirac describió su infancia como infeliz, por la severidad y autoritarismo de su padre. Una reciente biografía ha matizado tal carácter, haciendo referencia al propio carácter difícil y taciturno de Paul.^[4]

Estudió en la Bishop Primary School^[5] y en el Merchant Venturers Technical College, una institución de la Universidad de Brístol, que enfatizaba técnicas modernas como poner ladrillos, hacer zapatos y trabajo con metal y lenguas modernas (algo inusual en la época, y a lo que Dirac estaría siempre agradecido).^[6]

Se graduó en ingeniería eléctrica en la Universidad de Brístol en 1921 con grandes calificaciones.^[7] Tras trabajar poco tiempo como ingeniero, Dirac decidió que su verdadera vocación eran las matemáticas. Completó otra carrera en matemáticas en Brístol en 1923 y fue entonces admitido en la Universidad de Cambridge, donde desarrollaría la mayor parte de su carrera. Empezó a interesarse por la teoría de la relatividad aunque Ebenezer Cunningham, especialista en Cambridge en ese campo, no le aceptó como estudiante y entonces trabajó bajo la supervisión de Ralph H. Fowler que trabajaba en el naciente campo de la física cuántica.

Carrera científica

En 1926 desarrolló una versión de la mecánica cuántica en la que unía el trabajo previo de Werner Heisenberg y el de Erwin Schrödinger en un único modelo matemático que asocia cantidades medibles con operadores que actúan en el espacio vectorial de Hilbert y describe el estado físico del sistema. Por este trabajo recibió un doctorado en física por Cambridge.

En 1927, en The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation, Dirac desarrolló una descripción cuántica de la emisión y absorción de radiación en la que podía variar el número de cuantos de luz, y obtuvo los coeficientes A y B de Einstein.^[8]

En 1928, trabajando en los spines no relativistas de Pauli, halló la ecuación de Dirac, una ecuación relativista que describe al electrón. Este trabajo permitió a Dirac predecir la existencia del positrón, la antipartícula del electrón, que interpretó para formular el mar de Dirac. El positrón fue observado por primera vez por Carl Anderson en 1932. Dirac contribuyó también a explicar el spin como un fenómeno relativista.

El libro Principios de la Mecánica Cuántica de Dirac, publicada en 1930, se convirtió en uno de los libros de texto más comunes en la materia y aún hoy es utilizado. Introdujo la notación bra-ket y la función delta de Dirac.

En 1931 Dirac mostró que la existencia de un único monopolo magnético en el universo sería suficiente para explicar la cuantización de la carga eléctrica.^[9]

El 29 de enero de 2014, el profesor David S. Hall del Amherst College Physics y de la Academia Research Fellow Mikko Möttönen de la Universidad Aalto reportan que han logrado crear, identificar y fotografiar monopolos magnéticos sintéticos en el laboratorio.

Paul Dirac compartió en 1933 el Premio Nobel de Física con Erwin Schrödinger «por el descubrimiento de nuevas teorías atómicas productivas».^[10] Dirac obtuvo la cátedra Lucasiana de matemáticas de la Universidad de Cambridge donde ejerció como profesor de 1932 a 1969.

Dirac pasó los últimos años de su vida en la Universidad Estatal de Florida en Tallahassee, Florida. Allí murió en 1984, y en 1995 se colocó una placa en su honor en la Abadía de Westminster en Londres.

Pupilos

Entre sus numerosos alumnos^[11][12] se encontraban Homi J. Bhabha,^[13] Fred Hoyle, John Polkinghorne^[14] y Freeman Dyson.^[15] Polkinghorne recuerda que a Dirac "una vez le preguntaron cuál era su creencia fundamental. Se dirigió a una pizarra y escribió que las leyes de la naturaleza deberían expresarse en bellas ecuaciones".^[16]

Publicaciones

• The Principles of Quantum Mechanics (Los principios de la mecánica cuántica) (1930): Este libro resume las ideas de la mecánica cuántica utilizando el formalismo moderno desarrollado en gran parte por el propio Dirac. Hacia el final del libro, también analiza la teoría relativista del electrón (la ecuación de Dirac), de la que también fue pionero. Esta obra no hace referencia a ningún otro escrito disponible entonces sobre mecánica cuántica.
• Lectures on Quantum Mechanics (Conferencias sobre mecánica cuántica) (1966): Gran parte de este libro trata de la mecánica cuántica en la curvatura espacio-tiempo.
• Lectures on Quantum Field Theory (1966): Este libro sienta las bases de la teoría cuántica de campos utilizando el formalismo hamiltoniano.
• Spinors in Hilbert Space (1974): Este libro basado en conferencias impartidas en 1969 en la Universidad de Miami, Coral Gables, Florida, EE.UU., trata los aspectos básicos de los espinores a partir de un formalismo real del espacio de Hilbert. Dirac concluye con las proféticas palabras "Tenemos variables bosónicas que aparecen automáticamente en una teoría que comienza sólo con variables fermiónicas, siempre que el número de variables fermiónicas sea infinito. Debe haber tales variables bosón conectadas con electrones...".
• General Theory of Relativity (Teoría General de la Relatividad) (1975): Esta obra de 69 páginas resume la teoría general de la relatividad de Einstein.

Carácter e ideología

Dirac era conocido entre sus colegas por su naturaleza precisa, al mismo tiempo que taciturna. Cuando Niels Bohr se quejaba de que no sabía cómo acabar una determinada frase en un artículo científico, Dirac le replicó: «A mí me enseñaron en la escuela que nunca se debe empezar una frase sin saber el final de la misma». Las anécdotas sobre su tendencia al silencio se hicieron famosas, y se acuñó una unidad, el dirac, para la unidad mínima de palabras que se podían decir en una conversación. Una reciente biografía The strangest man, de Graham Farmelo, ha sugerido que tenía síndrome de Asperger, porque su lenguaje era muy literal y no hablaba mucho con las personas.^[4]

Sus amigos y colegas consideraban que Dirac tenía un carácter inusual. En una carta de 1926 a Paul Ehrenfest, Albert Einstein escribió sobre un artículo de Dirac: "Me estoy esforzando con Dirac. Este equilibrio en el vertiginoso camino entre el genio y la locura es horrible". En otra carta relativa al efecto Compton escribió: "No entiendo en absoluto los detalles de Dirac".^[17]

También eran conocidas sus dificultades de relación social, su falta de empatía.

Dirac era también reconocido por su modestia. Llamó a la ecuación de la evolución temporal de un operador mecano-cuántico la «ecuación de movimiento de Heisenberg», cuando fue él el primero en escribirla. Para referirse a la estadística de Fermi-Dirac, él siempre insistió en decir estadística de Fermi, por razones de "simetría".^[18]

Cuando en una ocasión, preguntaron sobre poesía, contestando: «En ciencia uno intenta decir a la gente, en una manera en que todos lo puedan entender, algo que nunca nadie supo antes. La poesía es exactamente lo contrario».

Cuando visitó la Unión Soviética, fue invitado a una conferencia en filosofía de la física. Él se puso de pie y escribió en la pizarra: «Las leyes físicas deben tener la simplicidad y belleza de las matemáticas». Este concepto de belleza matemática, incluso antes de disponer de pruebas experimentales, guio prácticamente toda su carrera científica. Por sus frecuentes viajes a la Unión Soviética, no pudo entrar a los Estados Unidos durante algún tiempo.

Dirac era un ateo reconocido. Tras hablar con Dirac, Pauli dijo en sus crónicas: «Si entiendo correctamente a Dirac, él dice: no hay Dios, y Dirac es su profeta».

Dirac aunque durante varios años se mostró como un ateo, con el paso del tiempo en 1963 declaró para un artículo de Scientific American que considera a Dios como un gran matemático que empleó ciencia avanzada para crear el universo. En una conferencia en 1971.^[19] se mostró escéptico de que la vida haya resultado por casualidad y dijo que «se debe asumir que Dios existe» en relación con las leyes de la física cuántica.

Dirac no se comprometió con ningún punto de vista definido, pero describió las posibilidades de responder científicamente a la cuestión de Dios..^[20]

Mantuvo posiciones políticas relativamente escoradas a la izquierda, aunque no militantes. Visitó a menudo la Unión Soviética y mantuvo una íntima amistad con el físico soviético Piotr Kapitsa. Aunque participó en el desarrollo teórico de la energía nuclear y en desarrollos de ingeniería para el enriquecimiento de uranio, durante la Segunda Guerra Mundial se mantuvo prácticamente al margen de las investigaciones para el desarrollo de armas nucleares.

EPÓNIMO ES :

Imagen de Paul Dirac

La ecuación de Dirac es una ecuación de ondas relativista de la mecánica cuántica formulada por Paul Dirac en 1928. Da una descripción de las partículas elementales con masa de espín 1/2, como el electrón, y es consistente con los principios de la mecánica cuántica y de la teoría de la relatividad especial, explicando de forma natural la existencia del espín y de las antipartículas. Sin embargo, es sólo una aproximación a la electrodinámica cuántica que describe la interacción de partículas cargadas mediante interacciones eléctricas.

Forma de la ecuación

Ya que la ecuación de Dirac se formuló originalmente para describir el electrón, las referencias se harán respecto a electrones, aunque actualmente la ecuación se aplica a otros tipos de partículas elementales de espín ½, como los quarks. Una ecuación modificada de Dirac puede emplearse para describir de forma aproximada los protones y los neutrones, formados ambos por partículas más pequeñas llamadas quarks (por este hecho, a protones y neutrones no se les da la consideración de partículas elementales).

Hay más de una forma de escoger un conjunto de matrices de Dirac; un criterio práctico es:

La ecuación de Dirac describe las amplitudes de probabilidad para un electrón solo. Esta teoría de una sola partícula da una predicción suficientemente buena del espín y del momento magnético del electrón, y explica la mayor parte de la estructura fina observada en las líneas espectrales atómicas. También realiza una peculiar predicción de que existe un conjunto infinito de estados cuánticos en que el electrón tiene energía negativa. Este extraño resultado permite a Dirac predecir, por medio de las hipótesis contenidas en la llamada teoría de los agujeros, la existencia de electrones cargados positivamente. Esta predicción fue verificada con el descubrimiento del positrón, el año 1932.

A pesar de este éxito, la teoría fue descartada porque implicaba la creación y destrucción de partículas, enfrentándose así a una de las consecuencias básicas de la relatividad. Esta dificultad fue resuelta mediante su reformulación como una teoría cuántica de campos. Añadir un campo electromagnético cuantizado en esta teoría conduce a la moderna teoría de la electrodinámica cuántica (Quantum Electrodynamics, QED).

Deducción de la ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac es una extensión al caso relativista de la ecuación de Schrödinger, que describe la evolución en el tiempo de un sistema cuántico:

${\displaystyle \hat{\mathbf{H}}|\psi (t)⟩=i\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}|\psi (t)⟩}$

Por conveniencia, se trabajará en la base de posiciones, en que el estado del sistema es representado por la función de onda ψ(x,t). En esta base, la ecuación de Schrödinger se formula de la siguiente manera:

${\displaystyle \hat{\mathbf{H}}\psi (\mathbf{x},t)=i\hslash \frac{\mathrm{\partial }\psi }{\mathrm{\partial }t}(\mathbf{x},t)}$

donde el hamiltoniano H denota un operador que actúa sobre una función de onda, y no sobre vectores de estado.

Debe especificarse el hamiltoniano de forma que describa adecuadamente la energía total del sistema en cuestión. Sea un electrón libre aislado de campos de fuerza externos. En un modelo no relativista, se adopta un hamiltoniano análogo a la energía cinética de la mecánica clásica (de momento ignorando el espín):

${\displaystyle \hat{\mathbf{H}}=\sum _{j=1}^3\frac{{\hat{\mathbf{p}}}_j^2}{2m}}$

siendo p los operadores de momento en cada dirección del espacio j = 1, 2, 3. Cada operador de momento actúa sobre la función de onda como una derivada espacial:

${\displaystyle {\hat{\mathbf{p}}}_j\psi (\mathbf{x},t)\equiv -i\hslash \frac{\mathrm{\partial }\psi }{\mathrm{\partial }{x}_j}(\mathbf{x},t)}$

Para describir un sistema relativista, debe encontrarse un hamiltoniano diferente. Se asume que los operadores de momento conservan la definición anterior. De acuerdo con la famosa relación masa-momento-energía de Albert Einstein, la energía total de un sistema viene dada por la expresión:

${\displaystyle E=\sqrt{(m{c}^2{)}^2+\sum _{j=1}^3(p_{j}c{)}^2}}$

de la cual se deduce que

${\displaystyle \sqrt{(m{c}^2{)}^2+\sum _{j=1}^3(p_{j}c{)}^2}\psi =i\hslash \frac{\mathrm{\partial }\psi }{\mathrm{\partial }t}}$

Esta no es una ecuación satisfactoria, porque no trata por igual el espacio y el tiempo, uno de los principios básicos de la relatividad especial (el cuadrado de esta ecuación lleva a la ecuación de Klein-Gordon). Dirac razonó que, mientras la parte derecha de la ecuación contenía una derivada de primer orden respecto al tiempo, la parte de la izquierda debía contener igualmente una primera derivada respecto al espacio (i. e., los operadores de momento). Una posibilidad para obtener esta situación es que la cantidad de la raíz cuadrada sea un cuadrado perfecto. Considerando

${\displaystyle (m{c}^2{)}^2+\sum _{j=1}^3(p_{j}c{)}^2={\left({\alpha }_{0}m{c}^2+\sum _{j=1}^3{\alpha }_j{p}_{j}c\right)}^2}$

donde las α son constantes que deben ser determinadas. Elevando al cuadrado, y comparando coeficientes de cada término, se obtienen las siguientes condiciones por α:

${\displaystyle {\alpha }_{\mu }^2=I,\mu =0,1,2,3}$

${\displaystyle {\alpha }_{\mu }{\alpha }_{\nu }+{\alpha }_{\nu }{\alpha }_{\mu }=0,\mu \ne \nu }$

Aquí, I es el elemento identidad. Estas condiciones pueden sintetizarse en:

${\displaystyle \left\{{\alpha }_{\mu },{\alpha }_{\nu }\right\}=2{\delta }_{\mu \nu }\cdot I}$

donde {…} es el anticonmutador, definido como {A,B} ≡ AB+BA, y δ es la delta de Kronecker, que tiene valor 1 si los dos subíndices son iguales, y 0 en otro caso.

Estas condiciones pueden no ser satisfechas si los α son números ordinarios, pero sí se cumplen si las α son determinadas matrices. Las matrices deben ser hermíticas, ya que el hamiltoniano es un operador hermítico. Las matrices más pequeñas que funcionan son las 4×4, pero hay más de una elección posible, o representación, de las matrices. Si bien la elección de la representación no puede afectar a las propiedades de la ecuación de Dirac, afecta al significado físico de las componentes individuales de la función de onda.

Anteriormente se ha presentado la representación usada por Dirac. Una forma más compacta de describir esa representación es la siguiente:

donde 0 e I son las matrices 2×2 cero (nula) e identidad, respectivamente; y σ_j's (j=1, 2, 3) son las matrices de Pauli.

Ahora es sencillo operar la raíz cuadrada, de la que se obtiene la ecuación de Dirac. El hamiltoniano de esta ecuación

${\displaystyle H={\alpha }_{0}m{c}^2+\sum _{j=1}^3{\alpha }_j{p}_{j}c}$

se denomina hamiltoniano de Dirac.

Naturaleza de la función de onda

Como la función de onda ψ se representa por la matriz de Dirac 4×1, ha de ser un objeto de 4 componentes. Se verá en la próxima sección que la función de onda contiene dos conjuntos de grados de libertad, uno asociado a la energía positiva y otro a la negativa. Cada conjunto contiene dos grados de libertad que describen las amplitudes de probabilidad de que el espín sea hacia arriba o hacia abajo, según una dirección especificada.

Se puede escribir explícitamente la función de onda como una matriz columna:

${\displaystyle \psi (\mathbf{x},t)\equiv \left[\begin{array}{c}{\psi }_1(\mathbf{x},t)\\ {\psi }_2(\mathbf{x},t)\\ {\psi }_3(\mathbf{x},t)\\ {\psi }_4(\mathbf{x},t)\end{array}\right]}$

La ecuación de la onda dual puede ser escrita como una matriz simple:

donde el superíndice denota una conjugación compleja. La dualidad de una función de onda escalar (un componente) es un conjugado complejo.

Como en la mecánica cuántica de una partícula única, el cuadrado absoluto de la función de onda da la densidad de probabilidad de la partícula en cada posición x, tiempo t. En este caso, el cuadrado absoluto es obtenido por multiplicación de matrices:

${\displaystyle {\psi }^{†}\psi (\mathbf{x},t)=\sum _{j=1}^4{\psi }_j^{\ast }(\mathbf{x},t){\psi }_j(\mathbf{x},t)}$

La conservación de la probabilidad da la condición de normalización

${\displaystyle \int {\psi }^{†}\psi (\mathbf{x},t){\mathrm{d}}^{3}x=1}$

Aplicando la ecuación de Dirac, podemos examinar el flujo local de probabilidad:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}{\psi }^{†}\psi (\mathbf{x},t)=-\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{J}}$

El flujo de probabilidad J viene dado por

${\displaystyle J_j=c{\psi }^{†}{\alpha }_j\psi }$

Multiplicando J por la carga del electrón e se obtiene la densidad de corriente eléctrica j llevada por el electrón.

Los valores de las componentes de la función de onda dependen del sistema de coordenadas. Dirac mostró cómo ψ se transforma bajo cambios generales del sistema coordenado, incluyendo rotaciones en el espacio tridimensional, así como en las transformaciones de Lorentz entre los esquemas relativistas de referencia. Esto lleva a que ψ no se transforma como un vector, debido a rotaciones; y de hecho es un tipo de objeto conocido como espinor.

Espectro de energía

Es instructivo hallar los estados propios de energía del Hamiltoniano de Dirac. Para ello, se resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

${\displaystyle H{\psi }_0(\mathbf{x})=E{\psi }_0(\mathbf{x})}$

donde ψ es el fragmento independiente del tiempo de la autofunción (eigenfunction) de la energía:

${\displaystyle \psi (\mathbf{x},t)={\psi }_0(\mathbf{x})e^{-iEt/\hslash }}$

Buscamos una solución de onda plana. Por conveniencia, se toma la z del eje como la dirección en que la partícula se está moviendo, como

${\displaystyle {\psi }_0=w{e}^{\frac{ipz}{\hslash }}}$

donde w es un espinor constante de cuatro componentes, y p es el momento de la partícula, tal y como podemos verificar aplicando el operador de momento a la función de onda. En la representación de Dirac, la ecuación por ψ₀ disminuye en la ecuación de valores propios.

Para cada valor de p, hay dos espacios propios, ambos de dos dimensiones. Un espacio propio contiene valores propios positivos, y el otro valores propios negativos, de la forma:

${\displaystyle E_{\pm }(p)=\pm \sqrt{(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2}}$

El espacio propio positivo está estructurado por los estados propios:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{ϵ}^2+(pc{)}^2}}\left\{\left[\begin{array}{c}pc\\ 0\\ ϵ\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ pc\\ 0\\ -ϵ\end{array}\right]\right\}}$

y el espacio propio negativo por los estados propios:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{ϵ}^2+(pc{)}^2}}\left\{\left[\begin{array}{c}-ϵ\\ 0\\ pc\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ ϵ\\ 0\\ pc\end{array}\right]\right\}}$

Donde

${\displaystyle ϵ\equiv |E|-m{c}^2}$

El primer estado propio de la estructura de cada espacio propio tiene espín apuntando en la dirección +z (espín hacia arriba) y el segundo espín propio tiene espín apuntando en la dirección -z (espín hacia abajo).

En el límite no relativista, la componente del espinor ε reduce la energía cinética de la partícula, que es insignificante comparada con pc:

${\displaystyle ϵ\sim \frac{p^2}{2m}\ll pc}$

En este límite, por tanto, podemos interpretar los cuatro componentes de la función de onda como sus amplitudes respectivas del (I) espín hacia arriba con energía positiva, y el (II) espín hacia abajo con energía positiva, (III) espín hacia arriba con energía negativa, y (IV) espín abajo con energía negativa. Esta descripción no es muy exacta en el régimen de la relatividad, donde los componentes no nulos del espinor son de medidas similares.

Teoría de huecos

Las soluciones negativas de E en la sección precedente son problemáticas: desde el punto de vista de la mecánica relativista, la energía de una partícula en reposo (p = 0) sería E = mc² tanto como E = - mc². Matemáticamente parece no haber motivo alguno para rechazar las soluciones correspondientes a energía negativa.

Para afrontar este problema, Dirac introdujo una hipótesis (conocida como teoría de huecos) según la cual el vacío es el estado más importante de los cuantos, en el que todos los estados propios de energía negativa del electrón están ocupados. Esta descripción del vacío, como un «mar» de electrones es llamada el mar de Dirac. El principio de exclusión de Pauli prohíbe a los electrones ocupar el mismo estado, cualquier electrón adicional sería forzado a ocupar un estado propio de energía positiva, y los electrones de energía positiva no podrían decaer a estados propios de energía negativa.

Posteriormente Dirac razonó que si los estados propios de energía negativa están llenos de forma incompleta, cada estado propio no ocupado —llamado hueco— podría comportarse como una partícula cargada positivamente. El hueco tiene energía positiva, ya que se necesita energía para crear un par partícula-hueco a partir del vacío. Dirac en un principio pensaba que el hueco era un protón, pero Hermann Weyl advirtió de que el hueco se comportaría como si tuviera la misma masa del electrón, mientras que el protón es, aproximadamente, dos mil veces más masivo. El hueco fue finalmente identificado como positrón, partícula descubierta experimentalmente por Carl David Anderson en 1932.

Por necesidad, la teoría de huecos asume que los electrones de energía negativa en el mar de Dirac no interaccionan unos con otros, ni con los electrones de energía positiva. Con esta suposición, el mar de Dirac produciría una inmensa (de hecho, infinita) carga eléctrica negativa, la mayor parte de la cual de una forma u otra sería anulada por un mar de carga positiva debido a que el vacío permanece eléctricamente neutro. Sin embargo, es completamente insatisfactorio postular que los electrones de energía positiva pueden ser afectados por el campo electromagnético, mientras los electrones de energía negativa no lo son. Por este motivo, los físicos abandonaron la teoría de huecos en favor de la teoría de campos de Dirac, que deja de lado el problema de los estados de energía negativa tratando los positrones como verdaderas partículas. (Caveat: en algunas aplicaciones de la física de la materia condensada, los conceptos basados en la «teoría de huecos» son válidos). El mar de electrones de conducción, en un conductor eléctrico, llamado mar de Fermi, contiene electrones con energías más altas que el potencial químico del sistema. Un estado vacío en el mar de Fermi se comporta como un electrón cargado positivamente, si bien se remite tanto a un «hueco» como a un positrón. La carga negativa del mar de Fermi es equilibrada por la carga positiva de la reja iónica del material.

En el enfoque moderno la interpretación del mar de electrones se refiere al problema de la elección del estado del vacío. De hecho en algunas teorías, diferentes elecciones del estado del vacío pueden tener consecuencias físicas diferentes.

Interacción electromagnética

Hasta aquí se ha considerado un electrón que no está en contacto con campos externos. Continuando por analogía con el hamiltoniano de una partícula cargada en la electrodinámica cuántica, se puede modificar el hamiltoniano de Dirac para incluir los efectos de un campo electromagnético. El hamiltoniano revisado es (en unidades del Sistema Internacional):

${\displaystyle H={\alpha }_{0}m{c}^2+\sum _{j=1}^3{\alpha }_j\left[p_j-e{A}_j(\mathbf{x},t)\right]c+e\varphi (\mathbf{x},t)}$

donde e es la carga eléctrica del electrón y A y Φ son los potenciales electromagnéticos vectorial y escalar, respectivamente. Aquí, los potenciales se escriben como funciones del tiempo t y del operador de posición x. Esta es una aproximación semiclásica que es válida cuando las fluctuaciones cuánticas del campo (por ejemplo, la emisión y absorción de fotones) no son importantes.

Dando a Φ el valor 0 y trabajando en el límite no relativista, Dirac solucionó para las dos primeras componentes en las funciones de onda de energía positiva (que son las componentes dominantes en el límite no relativista), obteniendo

${\displaystyle \left(\frac{1}{2m}\sum _j|p_j-e{A}_j(\mathbf{x},t){|}^2-\frac{\hslash e}{2mc}\sum _j{\sigma }_j{B}_j(\mathbf{x})\right)\left[\begin{array}{c}{\psi }_1\\ {\psi }_2\end{array}\right]}$
 ${\displaystyle =(E-m{c}^2)\left[\begin{array}{c}{\psi }_1\\ {\psi }_2\end{array}\right]}$

donde ${\displaystyle \mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}}$ es el campo magnético que actúa sobre la partícula. Esta es precisamente la ecuación de Pauli para una partícula de espín ½ no relativista, con un momento magnético ${\displaystyle \hslash e/2mc}$ (por ejemplo: un factor g de espín igual a 2). El momento magnético real del electrón es mayor que eso, pero únicamente un 0,12% mayor. La diferencia se debe a las fluctuaciones cuánticas en el campo electromagnético, que pueden ser menospreciadas.

Años después del descubrimiento de la ecuación de Dirac, la mayoría de físicos creían que también describía el protón y el neutrón, que también son partículas de espín -1/2. Sin embargo, desde los experimentos de Stern y Frisch en 1933, se descubrió que el momento magnético de estas partículas era notablemente diferente de las predicciones de la ecuación de Dirac. El protón tiene un momento magnético 2,79 veces mayor que la predicción (con la masa del protón puesta como m en las fórmulas mencionadas), i.e., un factor g de 5,58. El neutrón, que es eléctricamente neutro, tiene un factor g de -3,83. Estos momentos magnéticos anormales fueron el primer indicio experimental de que el protón y el neutrón no eran partículas elementales. De hecho están compuestos de partículas más pequeñas llamadas quarks.

Interacción hamiltoniana

Es digno de tenerse en cuenta que el hamiltoniano puede ser escrito como suma de dos términos:

${\displaystyle H=H_{el}+H_{int}}$

Donde H_el es el hamiltoniano de Dirac para un electrón libre y H_int es el hamiltoniano de la interacción electromagnética. Este último se puede escribir como:

${\displaystyle H_{int}=e\varphi (\mathbf{x},t)-ec\sum _{j=1}^3{\alpha }_j{A}_j(\mathbf{x},t)}$

Esto tiene el valor esperado

${\displaystyle ⟨H⟩={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{\psi }^{†}{H}_{int}\psi d^{3}x={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\left(\rho \varphi -\sum _{i=1}^3{j}_i{A}_i\right){\mathrm{d}}^{3}x}$

donde ρ es la densidad de carga eléctrica y j es la densidad de corriente eléctrica. La integral en el último término es la densidad de energía de interacción. Eso es una cantidad escalar covariante relativista, como puede observarse escribiéndolo en términos del cuadrivector carga-corriente j = (ρc, j) y el cuatrivector del potencial A = (φ/c, A):

${\displaystyle ⟨H⟩=\int \left(\sum _{\nu =0}^3{j}^{\nu }{A}_{\nu }\right){\mathrm{d}}^{3}r}$

Átomo hidrogenoide relativista

La ecuación de Schrödinger aplicada a electrones es solo una aproximación no relativista a la ecuación de Dirac que da cuenta tanto del efecto del espín del electrón. En el tratamiento de Dirac de los electrones de hecho la función de onda debe substituirse por un espinor de cuatro componentes.

${\displaystyle {\psi }_{n,jm}^{(\pm )}(r,\theta ,\varphi )=\left\{\begin{array}{c}\frac{i{G}_{n,lj}(r)}{r}{\mathit{\phi }}_{jm}^{(\pm )}\\ \frac{F_{n,lj}(r)}{r}(\mathit{\sigma }\cdot \hat{\mathbf{r}}){\mathit{\phi }}_{jm}^{(\pm )}\end{array}\right\}}$

Donde las funciones F y G se expresan en términos de funciones hipergeométricas:

${\displaystyle F_{n,lj}(r)=\left(1+\frac{E}{m{c}^2}\right)e^{-\frac{\rho }{2}}(F_1(\rho )+F_2(\rho )),G_{n,lj}(r)=\left(1-\frac{E}{m{c}^2}\right)e^{-\frac{\rho }{2}}(F_1(\rho )-F_2(\rho )),}$

A modo de comparación con el caso no relativista se dan a continuación la forma explícita del espinor de funciones de onda del estado fundamental:

${\displaystyle {\psi }_{n=1,j=\frac{1}{2},m=+\frac{1}{2}}(r,\theta ,\varphi )=\frac{(2mZ\alpha {)}^{3/2}}{(4\pi {)}^{1/2}}{\left(\frac{1+\gamma }{2\mathrm{\Gamma }(1+2\gamma )}\right)}^{1/2}(2mZ\alpha r{)}^{\gamma -1}{e}^{-mZ\alpha r}\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ \frac{i(1-\gamma )}{Z\alpha }\cos \theta \\ \frac{i(1-\gamma )}{Z\alpha }\sin \theta e^{i\phi }\end{array}\right\}}$

${\displaystyle {\psi }_{n=1,j=\frac{1}{2},m=-\frac{1}{2}}(r,\theta ,\varphi )=\frac{(2mZ\alpha {)}^{3/2}}{(4\pi {)}^{1/2}}{\left(\frac{1+\gamma }{2\mathrm{\Gamma }(1+2\gamma )}\right)}^{1/2}(2mZ\alpha r{)}^{\gamma -1}{e}^{-mZ\alpha r}\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ \frac{i(1-\gamma )}{Z\alpha }\sin \theta e^{-i\phi }\\ \frac{i(1-\gamma )}{Z\alpha }\cos \theta \end{array}\right\}}$

El límite no relativista se obtiene haciendo tender ${\displaystyle \gamma :=\sqrt{1-Z^2{\alpha }^2}\to 1}$ :={\sqrt {1-Z^{2}\alpha ^{2}}}\to 1}, es decir, haciendo tender la constante de estructura fina a cero.

El tratamiento de los electrones mediante la ecuación de Dirac solo supone pequeñas correcciones a los niveles dados por la ecuación de Schrödinger. Tal vez el efecto más interesante es la desaparición de la degeneración de los niveles, por el efecto de la interacción espín-órbita consistente en que los electrones con valores diferentes del tercer número cuántico m (número cuántico magnético) tienen diferentes energía debido al efecto sobre ellos del momento magnético del núcleo atómico. De hecho los niveles energéticos vienen dados por:^[1]

${\displaystyle E_n=m_e{c}^2\sqrt{1+{\left(\frac{Z\alpha }{n-|m|+\sqrt{m^2+(Z\alpha {)}^2}}\right)}^2}}$

Donde:

${\displaystyle m_e}$, es la masa del electrón.

${\displaystyle c\alpha }$, son la velocidad de la luz y la constante de estructura fina.

${\displaystyle Z,n,m}$, son el número de protones del núcleo, el número cuántico principal y el número cuántico magnético.

Si se prescinde de la energía asociada a la masa en reposo del electrón estos niveles pueden resultan cercanos a los predichos por la ecuación de Schrödinger, especialmente en el caso m = 0:

${\displaystyle E_n-m_e{c}^2\approx \frac{m_e}{2}{\left(\frac{Z\alpha }{n-|m|+\sqrt{m^2+(Z\alpha {)}^2}}\right)}^2}$

Notación covariante relativista

Volvemos a la ecuación de Dirac para el electrón libre. A veces es conveniente escribir la ecuación en una forma covariante relativista, en la que las derivadas en el tiempo y el espacio se tratan al mismo nivel. Para hacer esto, debe tenerse en cuenta que el operador del momento p funciona como una derivada espacial:

${\displaystyle \mathbf{p}\psi (\mathbf{x},t)=-i\hslash \mathrm{\nabla }\psi (\mathbf{x},t)}$

Multiplicando cada miembro de la ecuación de Dirac por ${\displaystyle {\alpha }_0}$ (recordando que ${\displaystyle {\alpha }_0^2=I}$) y sustituyendo en la mencionada definición de p, se obtiene

${\displaystyle \left[i\hslash c\left({\alpha }_0\frac{\mathrm{\partial }}{c\mathrm{\partial }t}+\sum _{j=1}^3{\alpha }_0{\alpha }_j\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}_j}\right)-m{c}^2\right]\psi =0}$

Ahora, se definen cuatro matrices gamma:

${\displaystyle {\gamma }_0={\alpha }_0,{\gamma }^j={\alpha }_0{\alpha }_j}$

Estas matrices tienen la propiedad de que

${\displaystyle \left\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right\}=2{\eta }_{\mu \nu }\cdot I,\mu ,\nu =0,1,2,3}$

donde η, una vez más, es la métrica del espacio-tiempo plano. Estas relaciones definen un álgebra de Clifford denominada «álgebra de Dirac». La ecuación de Dirac puede ser ahora reformulada, usando el cuatrivector de posición-tiempo ${\displaystyle x=(ct,\mathbf{x})}$, como

${\displaystyle \left(i\hslash c\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^{\mu }}-m{c}^2\right)\psi =0}$

O como

${\displaystyle \frac{h}{2\pi }\sum _{\mu =0}^3{\gamma }^{\mu }{\mathrm{\partial }}_{\mu }\psi +imc\psi =0}$

La forma usual de la ecuación en teoría cuántica de campos y física de partículas, empleando el convenio de suma de Einstein y un sistema de unidades en el que ${\displaystyle \hslash =1}$ y ${\displaystyle c=1}$ es

${\displaystyle (i\text{⧸}\mathrm{\partial }-m)\psi \equiv (i{\gamma }^{\mu }{\mathrm{\partial }}_{\mu }-m)\psi =0}$