EPÓNIMOS

 

Richard August Carl Emil Erlenmeyer
Información personal
Nombre en alemán	Emil Erlentmeyer
Nacimiento	28 de junio de 1825 Taunusstein, Alemania
Fallecimiento	22 de enero de 1909 (83 años) Aschaffenburg, Alemania
Nacionalidad	Alemán
Educación
Educado en	Universidad de Giessen Universidad de Heidelberg Universidad Técnica de Múnich
Supervisor doctoral	Justus von Liebig
Información profesional
Área	Química
Conocido por	síntesis de la guanidina y la tirosina; creador de la matraz de Erlenmeyer
Empleador	Instituto Politécnico de Múnich
Obras notables	matraz de Erlenmeyer
Miembro de	Academia de Ciencias de Baviera
Distinciones	Honorary member of the Physics Association (Frankfurt am Main, Germany) (1879)
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Richard August Carl Emil Erlenmeyer, conocido simplemente como Emil Erlenmeyer (Taunusstein, 28 de junio de 1825-22 de enero de 1909) fue un químico alemán.^[1]

Emil Erlenmeyer fue profesor en el Instituto Politécnico de Múnich entre 1863 y 1883. Sus logros más notables fueron la síntesis de la guanidina y la tirosina, así como la explicación de la estructura de compuestos como la lactona. Conocido además por el matraz de precipitados que lleva su nombre.

Biografía

Erlenmeyer, nació en Wehen, Ducado de Nassau (hoy Taunusstein, ciudad próxima a Wiesbaden), en 1825, hijo de un pastor protestante.^[2] Se matriculó en la Universidad de Gießen para estudiar medicina, pero tras asistir a las conferencias de Justus von Liebig se cambió a química. En el verano de 1846 fue a Heidelberg durante un año y estudió física, botánica y mineralogía, regresando a Giessen en 1847.

Después de servir como asistente de H. Will y luego de Carl Remigius Fresenius, Erlenmeyer decidió dedicarse a la química farmacéutica. Para ello estudió en Nassau, donde aprobó el examen farmacéutico estatal, y poco después adquirió un negocio de botica, primero en Katzenelnbogen y luego en Wiesbaden. Quedó insatisfecho con la farmacia y volvió a la química, terminando su doctorado en Giessen en 1850.

En 1855 se trasladó a Heidelberg para trabajar en la química de fertilizantes en el laboratorio de Robert Bunsen. Como profesor en Múnich entre 1868 a 1883 realizó gran trabajo experimental que incluyó el descubrimiento y síntesis de un buen número de compuestos orgánicos como el ácido isobutírico, en 1865. Además en 1861 inventó el frasco que lleva su nombre, muy utilizado en laboratorios. Fue durante su estancia en Heidelberg que Erlenmeyer se vio influenciado por August Kekulé , cuyas ideas teóricas fue uno de los primeros en adoptar. Fue el primero en sugerir, en 1862, que se podían formar dobles y triples enlaces entre átomos de carbono, e hizo otras contribuciones importantes al desarrollo de las teorías de la estructura molecular.

Trayectoria

En 1863 se convirtió en profesor asociado de la Universidad de Heidelberg. En 1868, fue contratado como profesor titular en Múnich para hacerse cargo de los laboratorios de la nueva Escuela Politécnica de Múnich, puesto que ocupó hasta su jubilación en 1883.

Su trabajo se centró principalmente en la química teórica, donde sugirió la fórmula estructural del naftaleno. La regla de Erlenmeyer establece que todos los alcoholes en los que el grupo hidroxilo está unido directamente a un átomo de carbono con doble enlace se convierten en aldehídos o cetonas (cf. tautomería ceto-enólica).

Las investigaciones prácticas de Erlenmeyer se centraron principalmente en compuestos alifáticos. En 1859, sintetizó el ácido aminohexoico y procedió a estudiar el comportamiento general de los albuminoides en la hidrólisis. Desarrolló métodos para determinar las cantidades relativas de leucina y tirosina, que se producen durante la degradación de varias sustancias de esta clase, y fue el primero (1860) en comprender la naturaleza del glicuro y sugerir que esta sustancia está relacionada con el glicerol de la misma manera que el ácido metafosfórico con el ácido ortofosfórico. Al año siguiente, estudió la acción del ácido yodhídrico sobre el glicerol y demostró que el producto era yoduro de isopropilo y no de propilo. Sus investigaciones sobre los alcoholes superiores producidos durante la fermentación arrojaron la importante prueba de que estos alcoholes no pertenecen a la serie normal.^[1]

Otros trabajos suyos incluyeron el aislamiento del ácido glicólico de uvas verdes (1864), la síntesis de oxalato de sodio calentando formiato de sodio (1868), la hidrólisis del éter a alcohol (1858), la síntesis del ácido fenilláctico (1880), la preparación del ácido pirúvico mediante la destilación del ácido tartárico (1881) y la formación de carboestirilo a partir de quinolina (1885).

Sus investigaciones en la serie aromática incluyen la isomería de los ácidos cinámicos y la síntesis de tirosina a partir de fenilalanina (1882). En 1875, al nitratar el ácido benzoico, Erlenmeyer refutó la opinión predominante de que existen más de tres ácidos nitrobenzoicos.

Erlenmeyer flask

En 1860 publicó una descripción del matraz cónico que lleva su nombre.^{[1] [3]}

Tuvo que dejar su trabajo académico en 1883 por motivos de salud, pero siguió colaborando como asesor. Murió en la ciudad de Aschaffenburg. Su hijo, Friedrich Gustav Carl Emil Erlenmeyer (1864-1921), quien también estudió química, continuó los trabajos de su padre.

EPÓNIMO :

La matraz de Erlenmeyer es un recipiente con una forma cónica y con una boquilla cilíndrica, ampliamente utilizado en laboratorios de química y física. Generalmente de vidrio o plástico, se utiliza para contener y medir líquidos o sustancias químicas. Los matraces suelen tener una capacidad de algunos pocos mililitros a varios litros, y se utilizan en laboratorios, industrias y hogares para mezclar, almacenar y transportar sustancias a altas temperaturas.

Características:

• Tienen un cuello largo y estrecho, que facilita el vertido y la dosificación de los líquidos.
• Suelen tener una base plana y estable, para evitar que se vuelquen o se caigan.
• Algunos matraces tienen graduaciones en su cuerpo, para medir volúmenes.
• Algunos matraces están fabricados con materiales resistentes a la temperatura, para poder utilizarse en procesos de calor o frío.

Medidas estandarizadas

Matraz Erlenmeyer Cuello estrecho, Borosilicato[1]
Capacidad	Ø cuello	Ø exterior matraz	Altura
mL	mm	mm	mm
25	22	42	70
50	22	51	85
100	22	64	105
100	34	79	131
250	34	85	140
300	34	87	156
500	34	105	175
1000	42	131	220
2000	50	166	280
3000	50	187	310
5000	50	220	365

Función

Se utiliza para medir cantidades de líquidos, para hacer titulaciones o para hacer reaccionar sustancias que necesitan un largo calentamiento. También sirve para contener líquidos que deben ser conservados durante mucho tiempo o que no se ven afectados directamente por la luz. Fue creado en el año 1861 por el químico Emil Erlenmeyer (1825-1909),^[2] de ahí proviene el nombre de este matraz. Algunas de las funciones principales de los matraces son:

1. Almacenamiento: los matraces se utilizan para guardar líquidos y sustancias químicas, ya sea en el laboratorio o en la industria. Gracias a su forma cilíndrica y su cuello estrecho, los matraces permiten almacenar grandes volúmenes de líquidos de manera segura y ordenada.
2. Dosificación: los matraces suelen tener graduaciones en su cuerpo, que permiten medir volúmenes con precisión. Esto es muy útil para preparar soluciones químicas o mezclas de líquidos con una concentración determinada.
3. Transporte: los matraces también se utilizan para transportar líquidos y sustancias químicas de un lugar a otro. Su forma cerrada y resistente evita que se derramen o se contamine el contenido durante el transporte.
4. Mezcla: los matraces también se utilizan para mezclar líquidos y sustancias químicas. Gracias a su forma cilíndrica y su cuello estrecho, es fácil agitar o remover el contenido del matraz para mezclarlo.

Técnicas en las que se emplea

Por su forma troncocónica es útil para realizar mezclas por agitación y para la evaporación controlada de líquidos, ya que se evita en gran medida la pérdida del líquido; además, su abertura estrecha permite la utilización de tapones. Al disponer de un cuello estrecho es posible taparlo con un tapón esmerilado, o con algodón hidrófobo.

Es empleado en lugar del clásico vaso de precipitados cuando contienen un medio líquido que debe ser agitado constantemente (como en el caso de las titulaciones) sin riesgo de que se derrame su contenido, o cuando se debe trabajar con reacciones químicas violentas.

Suele utilizarse para calentar sustancias a temperaturas altas aunque no vigorosamente; la segunda tarea suele delegarse al balón de destilación.

En microbiología se emplea para la preparación de caldos de cultivo debido a que, entre otros motivos, puede taparse fácilmente con un tapón de algodón hidrófobo.

Metodología de uso: técnicas de laboratorio

Como todo material de vidrio tiene un método específico para utilizarlo correctamente. Para anclarlo, se puede colocar un peso de plomo o metal sobre el exterior.

Al calentarlo, suele colocarse una tela metálica entre el matraz y el aro o el trípode. Todo esto sobre un trípode. En un anillo o aro de metal que, a su vez, está aferrado a un soporte universal por medio de una doble nuez o algún asa similar. El aro lo mantiene sobre un mechero Bunsen para que la llama del mechero lo caliente. Puede aferrarse el matraz directamente al soporte universal sosteniéndolo con una agarradera para tubos de ensayo en el cuello del matraz.

«Euler» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Euler (desambiguación).

Leonhard Euler
Leonhard Euler por Jakob Emanuel Handmann (hacia 1756)[1] Deutsches Museum, Múnich
Información personal
Nombre de nacimiento	Leonhard Paul Euler
Nacimiento	15 de abril de 1707 Basilea, Suiza
Fallecimiento	18 de septiembre de 1783 (76 años) San Petersburgo, Imperio ruso
Causa de muerte	Hemorragia cerebral
Sepultura	Smolensky Lutheran y Cementerio de San Lázaro de San Petersburgo
Residencia	Prusia, Rusia
Nacionalidad	Suiza
Religión	Calvinismo[2]
Familia
Padres	Marguerite Brucker Paul Euler
Cónyuge	Katharina Gsell (1734-1773) Salome Abigail Gsell (1776-1783)
Hijos	Johann Euler
Educación
Educación	máster y doctor en filosofía
Educado en	Universidad de Basilea
Supervisor doctoral	Johann Bernoulli
Información profesional
Área	Matemáticas, Física, y Filosofía
Cargos ocupados	Adjunct (1727-1730) Profesor (desde 1731juliano, hasta 1741) Profesor (desde 1766)
Empleador	Academia de Ciencias de Rusia Academia Prusiana de las Ciencias
Estudiantes doctorales	Johann Friedrich Hennert Nicolas Fuss Stepán Rumovski
Alumnos	Anders Johan Lexell, Stepán Rumovski, Johann Euler, Joseph-Louis Lagrange y Nicolas Fuss
Obras notables	teorema de Euler Teorema de rotación de Euler teorema geométrico de Euler Conjetura de Euler teorema de poliedros de Euler ecuaciones de Euler-Lagrange ecuación de Cauchy-Euler Función φ de Euler identidad de Euler Identidad de los cuatro cuadrados de Euler fórmula de Euler teorema de Euler función gamma integral de Gauss constante de Euler-Mascheroni Números afortunados de Euler diagrama de Euler circunferencia de los nueve puntos recta de Euler
Miembro de	Real Academia de las Ciencias de Suecia Academia Prusiana de las Ciencias (desde 1741) Real Sociedad de Londres (desde 1747) Academia de Ciencias de Francia (desde 1755) Academia de Ciencias de Turín (desde 1760) Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias (desde 1782)
Firma
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Leonhard Paul Euler (pron. AFI: [ˈɔʏlɐ] en alemán moderno^[3][4]) (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707-San Petersburgo, Imperio ruso, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler y llamado Leonardo Euler en español,^[5] fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos, muy conocido por el número de Euler (e), número que aparece en muchas fórmulas de cálculo y física.

Vivió en San Petersburgo (Rusia) y en Berlín (Alemania) la mayor parte de su vida adulta y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la terminología moderna y la notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como, por ejemplo, la noción de función matemática.^[6] Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, la óptica y la astronomía.

Euler ha sido uno de los matemáticos más grandes, más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre sesenta y ochenta volúmenes.^[7] Una afirmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros».^[8]

Biografía

Primeros años

Leonhard Euler nació en Basilea (Suiza), hijo de Paul Euler, un pastor calvinista, y de Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas, llamadas Anna Maria y Maria Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia se trasladó de Basilea al cercano pueblo de Riehen, en donde Euler pasó la infancia. Por su parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de matemáticos entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya considerado el principal matemático europeo y que ejercería una gran influencia sobre el joven Leonhard.

La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de dieciséis años se matriculó en la Universidad de Basilea y en 1723 recibió el título de maestro de Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler tomaba lecciones particulares todos los sábados por la tarde con Johann Bernoulli, quien descubrió rápidamente el increíble talento para las matemáticas de su nuevo pupilo.^[9]

En aquella época, Euler se dedicaba a estudiar teología, griego y hebreo, siguiendo los deseos de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser también pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard estaba destinado a ser un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su doctorado con una tesis sobre la propagación del sonido bajo el título De Sono^[10] y en 1727 participó en el concurso promovido por la Academia de las Ciencias francesa por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el mástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante, Euler lograría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.^[11][12]

San Petersburgo

En aquel tiempo, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolás, se encontraban trabajando en la Academia de las ciencias de Rusia en San Petersburgo. En julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis tras haber vivido un año en Rusia y, cuando Daniel asumió el cargo de su hermano en el departamento de Matemáticas y Física, recomendó que el puesto que había dejado vacante en Fisiología fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo año, Euler aceptó la oferta, aunque retrasó su salida hacia San Petersburgo mientras intentaba conseguir, sin éxito, un puesto de profesor de Física en la Universidad de Basilea.^[13]

Sello del año 1957 de la antigua Unión Soviética conmemorando el 250.º aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: «250 años desde el nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler».

Euler llegó a la capital rusa el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido desde su puesto en el departamento médico de la Academia a otro en el departamento de matemáticas, en el que trabajó con Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboración. Euler aprendió ruso y se estableció finalmente en San Petersburgo a vivir. Llegó incluso a tomar un trabajo adicional como médico de la Armada de Rusia.^[14]

La Academia de San Petersburgo, creada por Pedro I de Rusia, tenía el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de reducir la diferencia científica existente entre ese país y la Europa Occidental. Como resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La Academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigación y se ofrecía a la facultad tanto el tiempo como la libertad necesarios para resolver cuestiones científicas.^[15]

Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz Catalina I de Rusia, que había continuado con la política progresista de su marido, murió el mismo día de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte incrementó el poder de la nobleza, puesto que el nuevo emperador pasó a ser Pedro II de Rusia, por entonces un niño de tan solo doce años de edad. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la Academia, por lo que cortó la cuantía de recursos dedicados a la misma y provocó otra serie de dificultades para Euler y sus coetáneos.

Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarquía de la Academia, convirtiéndose en profesor de Física en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dejó la ciudad y volvió a Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de Matemáticas.^[16]

El 7 de enero de 1734, Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell (1707-1773) (hija del pintor suizo de la Academia de San Petersburgo Georg Gsell, y cuya madrastra era la pintora Dorothea Maria Graff, hija a su vez de la famosa naturalista holandesa Maria Sibylla Merian). La joven pareja compró una casa al lado del río Nevá y llegó a concebir trece hijos, si bien solo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta.^[17] El mayor de estos hijos, Johann Euler, fue matemático y astrónomo y miembro de la Academia de Berlín desde 1754.

Berlín

Preocupado por los acontecimientos políticos que estaban teniendo lugar en Rusia, Euler partió de San Petersburgo el 19 de junio de 1741 para aceptar un cargo en la Academia de Berlín, cargo que le había sido ofrecido por Federico II el Grande, rey de Prusia. Vivió veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de 380 artículos. También publicó aquí dos de sus principales obras: la Introductio in analysin infinitorum, un texto sobre las funciones matemáticas publicado en 1748, y la Institutiones calculi differentialis,^[18] publicada en 1755 y que versaba sobre el cálculo diferencial.^[19]

Además, se le ofreció a Euler un puesto como tutor de la princesa de Anhalt-Dessau, la sobrina de Federico. Euler escribió más de 200 cartas dirigidas a la princesa que más tarde serían recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa alemana. Este trabajo recopilaba la exposición de Euler sobre varios temas de física y matemáticas, así como una visión de su personalidad y de sus creencias religiosas. El libro se convirtió en el más leído de todas sus obras, siendo publicado a lo largo y ancho del continente europeo y en los Estados Unidos. La popularidad que llegaron a alcanzar estas Cartas sirve de testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar cuestiones científicas a una audiencia menos cualificada.^[19]

A pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, fue obligado finalmente a dejar Berlín. El motivo de esto fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemático y el propio rey Federico, que llegó a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada, y especialmente en comparación con el círculo de filósofos que el rey alemán había logrado congregar en la Academia. Voltaire, en particular, era uno de esos filósofos y gozaba de una posición preeminente en el círculo social del rey. Euler, como un simple hombre de carácter religioso y trabajador, era muy convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en cierta forma lo contrario que Voltaire. Euler tenía conocimientos limitados de retórica y solía debatir cuestiones sobre las que tenía pocos conocimientos, lo cual le hacía un objetivo frecuente de los ataques del filósofo.^[19] Por ejemplo, Euler protagonizó varias discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la retórica y la metafísica. Federico también mostró su descontento con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler.

EPÓNIMO :

La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja. La fórmula de Euler establece que para cualquier número real x:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\mathrm{sen}x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\mathrm{sen}x}$

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, ${\displaystyle \mathrm{sen}x}$ y ${\displaystyle \cos x}$ son las funciones trigonométricas seno y coseno.

Esta función exponencial compleja se denota a veces cis x ("coseno más i seno"). La fórmula sigue siendo válida si x es un número complejo, por lo que algunos autores se refieren a la versión compleja más general como fórmula de Euler.^[1]

La fórmula de Euler es omnipresente en matemáticas, física, química e ingeniería. El físico Richard Feynman llamó a la ecuación "nuestra joya" y "la fórmula más notable de las matemáticas".^[2]

Cuando x = π, la fórmula de Euler puede reescribirse como e^iπ + 1 = 0 o e^iπ = -1, lo que se conoce como identidad de Euler.

Historia

Roger Cotes descubrió en 1714 la relación entre las funciones trigonométricas y el logaritmo,^[3][4][5]

${\displaystyle ix=\ln (\cos x+i\mathrm{sen}x)}$

y fue publicada en su obra póstuma Harmonia mensurarum (1722), 20 años antes de que lo hiciera Leonhard Euler. Euler desarrolló la fórmula utilizando la función exponencial en vez del logaritmo y lo comunicó en una carta enviada a Christian Goldbach en 1741, siendo publicada y popularizada en su obra Introductio in analysin infinitorum en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió en 1787 por parte del matemático Caspar Wessel en su único informe para la Real Academia Danesa.

Un siglo más tarde B. Peirce concluyó la deducción de la fórmula delante de sus alumnos, diciendo: "Caballeros, con seguridad esta fórmula es cierta , aunque les parezca paradójica..." ^[6]

Johann Bernoulli había descubierto que^[7]

$${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-ix}+\frac{1}{1+ix}\right).}$$

Y puesto que

$${\displaystyle \int \frac{dx}{1+ax}=\frac{1}{a}\ln (1+ax)+C,}$$

la ecuación anterior nos dice algo sobre los logaritmos complejos al relacionar los logaritmos naturales con los números imaginarios (complejos). Sin embargo, Bernoulli no evaluó la integral.

La correspondencia de Bernoulli con Euler (que también conocía la ecuación anterior) muestra que Bernoulli no entendía completamente los logaritmos complejos. Euler también sugirió que los logaritmos complejos pueden tener infinitos valores.

La visión de los números complejos como puntos en el plano complejo fue descrita unos 50 años más tarde por Caspar Wessel.

Potencia compleja de e

Se suele expresar como:

${\displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\mathrm{sen}y)}$

siendo ${\displaystyle z}$ la variable compleja definida por ${\displaystyle z=x+iy}$

Demostración

Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los números complejos y de la función exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los números reales para parámetros complejos.

La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio e^x en el plano complejo, dibujada por la función e^iy al variar ${\displaystyle x}$ sobre los números reales. Así, ${\displaystyle y}$ es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula solo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.

Demostración usando las Series de Taylor

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

Sabiendo que:

y así sucesivamente. Además de esto, las funciones e^x, cos(x) y sen(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.

Otra definición que se le puede dar a ${\displaystyle e^x}$ basándose en las series de Taylor es la siguiente:

${\displaystyle e^x=(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!})}$

también válido para:

${\displaystyle \cos x=(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!})}$

${\displaystyle \sin x=(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!})}$

Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:

El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.

Usando coordenadas polares

Otra demostración^[8] se basa en el hecho de que todos los números complejos pueden expresarse en coordenadas polares. Por lo tanto, para algunos r y θ dependen de x,$${\displaystyle e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).}$$

No se están haciendo suposiciones sobre r y θ; se determinarán en el curso de la demostración. De cualquiera de las definiciones de la función exponencial se puede demostrar que la derivada de e^ix es ie^ix. Por lo tanto, diferenciando ambos lados se obtiene

$${\displaystyle i{e}^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\frac{dr}{dx}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right)\frac{d\theta }{dx}.}$$

Sustituyendo r(cos θ + i sen θ) por e^ix e igualando las partes real e imaginaria en esta fórmula da drdx = 0 y dθdx = 1. Por lo tanto, r es una constante, y θ es x + C para alguna constante C. Los valores iniciales r(0) = 1 y θ(0) = 0 provienen de e⁰ⁱ = 1, dando r = 1 y θ = x. Esto demuestra la fórmula

$${\displaystyle e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.}$$

Relevancia matemática

El grafiti de la identidad de Euler.

La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos.

Logaritmo de un número negativo

En este caso, la fórmula de Euler es evaluada en ${\displaystyle x=\pi }$ , obteniendo la identidad de Euler:

${\displaystyle e^{\mathrm{i}\pi }=\cos \pi +\mathrm{i}\mathrm{sen}\pi =-1}$

${\displaystyle e^{\mathrm{i}\pi }=-1}$

Luego, al aplicar el logaritmo natural se obtiene:

${\displaystyle \mathrm{i}\pi =\ln (-1)}$.

Logaritmo de un número negativo cualquiera

Como extensión de la ecuación anterior, el logaritmo de cualquier número negativo se define como:

${\displaystyle \ln (-a)=\ln (a)+\ln (-1)=\ln (a)+\mathrm{i}\pi }$. Donde .

Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la fórmula de cambio de base.

Integración y derivación

Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma (excepto por la unidad imaginaria) con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones.

De las reglas de la exponenciación

${\displaystyle e^{a+b}=e^a\cdot e^b}$

y

${\displaystyle (e^a{)}^b=e^{a\cdot b}}$

(válidas para todo par de números complejos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.

Funciones trigonométricas

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:

${\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

${\displaystyle \mathrm{sen}x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

A partir de estas igualdades, es posible definir las funciones trigonométricas para los números complejos de este modo:^[9]

${\displaystyle \mathrm{sen}z=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}$

${\displaystyle \cos z=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2}}$

${\displaystyle \tan z=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}\cdot \frac{1}{i}}$

siendo ${\displaystyle z\in \mathbb{C}}$, es decir, que pertenece al conjunto de números complejos. Estas funciones trigonométricas cumplen las leyes de sus similares aplicadas a los números reales. Sean los números complejos ${\displaystyle z}$ y ${\displaystyle w}$, es decir ${\displaystyle z\wedge w\in \mathbb{C}}$, entonces son válidas las siguientes igualdades:

${\displaystyle {\cos }^{2}z+{\mathrm{sen}}^{2}z=1}$

${\displaystyle \cos (-z)=\cos (z)}$

${\displaystyle \mathrm{sen}(-z)=-\mathrm{sen}(z)}$

${\displaystyle \mathrm{sen}(z+w)=\mathrm{sen}(z)\cos (w)+\mathrm{sen}(w)\cos (z)}$

${\displaystyle \cos (z+w)=\cos (z)\cos (w)-\mathrm{sen}(w)\mathrm{sen}(z)}$

Ecuaciones diferenciales

En las ecuaciones diferenciales, la expresión ${\displaystyle e^{ix}}$ es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler.

Análisis de señales

Las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno, como ocurre en el análisis de Fourier, y estas son expresadas más convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.

Aplicaciones

Fórmula de Euler e^iφ = cos φ + i sin φ ilustrada en el plano complejo

.

Aplicaciones en teoría de números complejos

Interpretación de la fórmula

Esta fórmula puede interpretarse como que la función e^iφ es un número complejo unitario, es decir, traza el círculo unitario en el plano complejo a medida que φ recorre los números reales. Aquí φ es el ángulo que forma una recta que une el origen con un punto del círculo unitario con el eje real positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes.

La demostración original se basa en las expansiones en serie de Taylor de la función exponencial e^z (donde z es un número complejo) y de sin x y cos x para números reales x (véase más adelante). De hecho, la misma demostración muestra que la fórmula de Euler es incluso válida para todos los números complejos x.

Un punto en el plano complejo puede representarse por un número complejo escrito en coordenadas cartesianas. La fórmula de Euler proporciona un medio de conversión entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares. La forma polar simplifica las matemáticas cuando se utiliza en la multiplicación o potencias de números complejos. Cualquier número complejo z = x + iy}, y su conjugado complejo, z = x - iy}, puede escribirse comodonde

• x = Re z es la parte real,
• y = Im z es la parte imaginaria,
• r = z = √x² + y² es la magnitud de z
• φ = arg z = atan2(y, x).

φ es el argumento de z, es decir, el ángulo entre el eje x y el vector z medido en sentido antihorario en radianess, que está definido salvo para 2π}. Muchos textos escriben φ = tan^-1 yx en lugar de φ = atan2(y, x), pero la primera ecuación necesita un ajuste cuando x ≤ 0. Esto se debe a que para cualquier x y y reales, no siendo ambos cero, los ángulos de los vectores (x, y) y (-x, -y) difieren en π radianes, pero tienen el idéntico valor de tan φ = yx.