| Thomas Malthus | ||
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 Thomas Robert Malthus | ||
| Información personal | ||
| Nombre de nacimiento | Thomas Robert Malthus | |
| Nacimiento | 13 de febrero de 1766 o 14 de febrero de 1766 Westcott (Reino Unido) | |
| Fallecimiento | 23 de diciembre de 1834 Bath (Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda) | |
| Sepultura | Abadía de Bath | |
| Nacionalidad | Británica | |
| Religión | Anglicanismo | |
| Lengua materna | Inglés británico | |
| Familia | ||
| Padres | Daniel Malthus, Henrietta Malthus | |
| Cónyuge | Harriet | |
| Hijos | Anna, Emily, Jair | |
| Educación | ||
| Educado en | ||
| Alumno de | Gilbert Wakefield | |
| Información profesional | ||
| Ocupación | profesor, economista, demógrafo, escritor, sacerdote | |
| Movimiento | Malthusianismo | |
| Obras notables | Ensayo sobre el principio de la población | |
| Miembro de | ||
| Distinciones | ||
Thomas Robert Malthus (ˈtʰɒməs ˈɹʷɒbət ˈmælθəs) (Surrey, 13 de febrero de 1766-Bath, 29 de diciembre de 1834)[1]fue un clérigo anglicano[2] y erudito británico que ha ejercido gran influencia en la economía política y la demografía.[3][4]
Miembro desde 1819 de la Royal Society, popularizó la teoría de la renta económica y es célebre por la publicación anónima en 1798 del libro Ensayo sobre el principio de la población (An Essay on the Principle of Population).[5]
Se le considera uno de los primeros demógrafos. Anteriores a Malthus fueron Johann Peter Süssmilch (1707-1767), a quien Malthus menciona en su libro, y John Graunt (1620-1674).
Biografía
Nacido en Surrey el 13 de febrero de 1766, su principal estudio fue el Ensayo sobre el principio de la población (1798), en el que afirmaba que la población tiende a crecer en progresión geométrica, mientras que los alimentos solo aumentan en progresión aritmética, por lo que la población se encuentra siempre limitada por los medios de subsistencia. Malthus fue educado según los principios pedagógicos de Jean-Jacques Rousseau, de quien su padre era íntimo amigo. Completó sus estudios en el Jesus College de Cambridge. Después de graduarse en filosofía y teología, fue ordenado pastor anglicano y estuvo durante un tiempo al frente de la parroquia de Albury.
En 1793 fue designado miembro del equipo de dirección del Jesus College, puesto al que tuvo que renunciar en 1804 al contraer matrimonio. Por esas mismas fechas, la Compañía de las Indias Orientales fundó Haileybury, una nueva institución universitaria destinada a formar a los funcionarios que después servirían a Inglaterra en destinos de ultramar; allí ejerció Malthus como profesor de economía desde 1805 hasta su muerte en 1834.
Contextos
En el pensamiento teórico que aparece en la primera edición anónima de Ensayo sobre el principio de la población hay que ubicarlo en al menos cuatro coordenadas en las que Malthus se encontraba:[6]
- Representante de la economía clásica, amigo de David Ricardo con quien polemiza, influenciado por Jean Charles Léonard de Sismondi.
- Refutación de la Ilustración y su idea de progreso, rechazo de la idea de perfectibilidad del hombre, puesta en cuestión, para el propio Malthus, por la Revolución francesa y, por tanto, refutación del optimismo de pensadores del siglo XVIII como William Godwin (Enquiry Concerning Political Justice), Nicolas de Condorcet (L'esquisse d'un tableau historique des progrès d l'esprit humain) y Jean-Jacques Rousseau, quienes creían en la evolución futura de la razón, de la ciencia, de la técnica y de la capacidad ilimitada de mejora de la sociedad, compuesta por hombres buenos y libres unidos bajo un contrato social.[7]
- Imposición divina de la virtud que imposibilita cualquier cambio de la naturaleza humana, y que Malthus observaba en el peligro del crecimiento de la población opuesto al progreso sin fin hacia una sociedad utópica por las limitaciones productivas de la tierra. Para Malthus: "El poder de la población es indefinidamente más grande que el poder de la tierra para garantizar la subsistencia del hombre".[8][9]
- Inglaterra a finales del siglo XVIII que presentaba un sombrío cuadro: gran crecimiento demográfico (Gregory King da una cifra de 5 millones en 1700 y de 9,2 millones en 1801) causado, entre otras razones, por la revolución industrial[cita requerida]; junto a problemas en la producción de alimentos, motivados por los vallados de los open fields; la subida de precios y la existencia de las leyes de pobres inglesas que, para Malthus y otros, promovía la procreación irresponsable.
El malthusianismo o maltusianismo es una teoría e ideología demográfica, económica y sociopolítica, desarrollada por el economista británico Thomas Robert Malthus (1766-1834) durante la revolución industrial, según la cual el ritmo de crecimiento de la población responde a una progresión geométrica, mientras que el ritmo de aumento de los recursos para su supervivencia lo hace en progresión aritmética. Por esta razón, de no intervenir obstáculos represivos (hambre, guerras, pestes, etc.), el nacimiento de nuevos seres aumentaría la pauperización gradual de la especie humana e incluso podría provocar su extinción, lo que se ha denominado catástrofe malthusiana.[1][2]
Ensayo sobre el principio de la población
Malthus, en su libro de 1798 Ensayo sobre el principio de la población (An Essay on the Principle of Population), predijo que la sobrepoblación provocaría la extinción de la raza humana para el año 1880.[3]
Influencias y críticas
Si el ritmo de crecimiento de la población responde a una progresión geométrica, mientras que el ritmo de aumento de los recursos para su supervivencia lo hace en progresión aritmética se podía inferir que la caridad y ayuda a los pobres (propia del Conservadurismo One-nation) eran inútiles (posibilitan argumentar contra aquello que aumentase el ritmo de crecimiento de la población), ya que solo resultarían en un crecimiento del número de pobres. Esta idea fue aprovechada por los Whigs para desarrollar sus ideas económicas, ejemplificadas por la Ley de Pobres de 1834, que fue descrita por sus oponentes como
...una ley malthusiana diseñada para forzar a los pobres a emigrar, a trabajar por salarios más bajos, a vivir con una cantidad reducida de alimentos.
Las ideas de Malthus influyeron en la construcción de la teoría de la evolución de Charles Darwin, a través de la novelista Harriet Martineau.
Para el Dr. Dan Ritschel (Centro de Historia de la Educación en la Universidad de Maryland) el malthusianismo, aunque se ha identificado con la superpoblación en sus inicios, respondía a una teoría de crecimiento de la población pobre y dependiente que podría llevar —por las necesarias ayudas del Estado con el consiguiente aumento de gastos— a una bancarrota nacional.
Karl Marx, en una nota de El Capital, expone una de las primeras críticas de la teoría malthusiana, ya que considera su teoría demográfica como un plagio superficial de autores tan distintos como Daniel Defoe, Benjamin Franklin, Alfred Russel Wallace y otros, postulando que el progreso en la ciencia y la tecnología permiten el crecimiento exponencial de la población por tiempo indefinido.[4] En 1863, citó a Darwin nuevamente en Teorías sobre la plusvalía diciendo: «En su espléndido trabajo, Darwin no se dio cuenta de que, al descubrir la “progresión geométrica” en el reino animal y vegetal, derrocó la teoría de Malthus».[5]
La teoría de Malthus es un tema recurrente en las ciencias sociales. Por ejemplo, John Maynard Keynes, en su libro Las consecuencias económicas de la paz, abre la polémica con una imagen malthusiana sobre la economía política de Europa como inestable a causa de la presión demográfica malthusiana sobre los suministros de alimentos.
Neomalthusianismo 1850-1914
Se consideran neomaltusíanas aquellas posiciones que siguen considerando el crecimiento de la población desproporcionado en relación con la producción de alimentos (Ley de Malthus) proponiendo la procreación consciente, promaternidad responsable o limitación de la natalidad —mediante el uso de métodos anticonceptivos— como solución dirigida a las clases bajas o pobres (proletariado).[6]
Aunque el neomalthusianismo remite a la corriente ideológica aparecida a mediados del siglo XIX en Estados Unidos e Inglaterra, difundida en Francia, España, Portugal y otros países latinoamericanos, asociada en la mayoría de los casos al anarquismo, puede entenderse, en un sentido muy amplio, como posiciones neomalthusianas aquellas que manifiestan la desproporción de la población en relación con la capacidad del planeta para producir recursos y en general aquellas que proponen, a partir de mediados del siglo XX, contener la población mundial.
Grupo de Chicago: los precursores del neomalthusianismo
El grupo de Chicago se considera precursor del neomalthusianismo. Estuvo asociado a la Federación Universal de la Liga de la Regeneración Humana y tenía como revista de difusión The Lucifer. Fueron miembros del grupo Moses Harman y su hija Lillian Harman, Ezra Heywood, el médico Foote y su hijo E.C. Walker y la gran activista Ida Craddock. Posteriormente, Margaret Sanger y Emma Goldman, a través de conferencias y el periódico anarquista Mother Earth cuando consigan el derecho a la maternidad libre.[7]
1896 - Liga de la Regeneración Humana de Francia
Paul Robin funda en 1896 la Liga de la Regeneración Humana de Francia, cuya presidencia de honor ostentó el inglés George Dryslale, autor de Elementos de Ciencia Social, libro de 1854 que será referencia para el neomalthusianismo francés y español.[6]
El anarquista francés Paul Robin definirá el neomalthusianismo como medio de combatir la pobreza mediante la limitación de los nacimientos hasta que existan las condiciones idóneas que garanticen para los futuros hijos de los obreros una buena educación, una buena organización social y un buen nacimiento.[6]
1900 - Federación Universal de la Liga de la Regeneración Humana
En 1900 se funda, clandestinamente en París, la Federación Universal de la Liga de la Regeneración Humana, 'liga neomalthusiana promaternidad consciente y libre', en el domicilio parisino del anarquista catalán Francisco Ferrer Guardia, con la asistencia de Paul Robin, Charles Dryslale (hermano de George Dryslale, autor de Elementos de Ciencia Social, obra de 1854), la anarquista lituana Emma Goldman y el médico holandés Rutgers.[8]
1904 - Sección española de la Federación Universal
En 1904 se funda en Barcelona la Sección española de la Federación Universal de la Liga de la Regeneración Humana con la presencia de Luis Bulffi de Quintana y la feminista Nelly Roussel (1878-1922), entre otros.[6]
1906 - Huelga de vientres - Luis Bulffi de Quintana
El médico anarquista español Luis Bulffi de Quintana editó, a partir de 1904 la revista neomalthusiana Salud y Fuerza, que llevaba como lema Procreación consciente y limitada. Revista mensual ilustrada de la Liga de Regeneración Humana y en 1906 publicó su ensayo más conocido, Huelga de vientres, que llegó a alcanzar la sexta edición en 1909. Fue detenido y encarcelado por propaganda neomalthusiana.[9]
Neomalthusianismo en el siglo XX - Superpoblación y límites del crecimiento
Parte de la teoría de Malthus —el crecimiento desorbitado de la población en relación con los recursos— sigue siendo el núcleo de distintas propuestas y conceptos que se realizan a partir de mediados del siglo XX.
1968 - La explosión demográfica - Paul R. Ehrlich
El libro de Paul R. Ehrlich La explosión demográfica (Population Bomb) (1968), de corte malthusiano, ha jugado un papel importante en el movimiento ecologista de los años 1960 y 1970 y ayudó a proporcionar una justificación para la investigación y desarrollo de métodos anticonceptivos.[10] Paul R. Ehrlich es miembro de la organización Optimum Population Trust que promueve el control de la población.
1972 - Los límites del crecimiento - Club de Roma
Muchos modelos de crecimiento y agotamiento de los recursos tienen una inspiración malthusiana: la tasa de consumo de energía superará la capacidad de encontrar y producir nuevas fuentes de energía, por lo que se producirá una crisis que podría unirse a una crisis por el suministro de alimento si la población sigue creciendo. En este sentido se incluye el informe encargado por el Club de Roma Los límites del crecimiento y organizaciones como Optimum Population Trust.[11]
1995 - Capacidad de carga - Joel E. Cohen
También pueden considerarse neomaltusianos el profesor Joel E. Cohen, de la Universidad Rockefeller, creador de la expresión capacidad de carga (referida al tamaño máximo de población que el ambiente puede soportar)[12] y Samuel P. Huntington, en relación con el crecimiento de la población islámica como causa de conflictos (curiosamente, reconocidos sufíes islámicos como el profesor Idries Shah y, más recientememte, el psiquiatra Claudio Naranjo se cuentan como destacados miembros del Club de Roma).
Benoît Mandelbrot (Varsovia, Polonia, 20 de noviembre de 1924—Cambridge, Estados Unidos, 14 de octubre de 2010)[1] fue un matemático polaco nacionalizado francés y estadounidense conocido por sus trabajos sobre los fractales. Es considerado el principal responsable del auge de este campo de las matemáticas desde el inicio de los años setenta, así como de su popularidad al utilizar la herramienta que se estaba popularizando en esa época, el ordenador, para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia. Gaston Julia descubrió estos últimos y desarrolló las matemáticas de los fractales, que luego desarrolló Mandelbrot.
Gracias a su acceso a los ordenadores de IBM, Mandelbrot fue uno de los primeros en utilizar gráficos por ordenador para crear y mostrar imágenes geométricas fractales, lo que le llevó a descubrir el conjunto de Mandelbrot en 1980. Demostró que es posible crear complejidad visual a partir de reglas simples. Afirmó que las cosas típicamente consideradas "ásperas", un "desorden" o "caóticas", como las nubes o las líneas costeras, en realidad tenían un "grado de orden".[2] Sus investigaciones centradas en las matemáticas y la geometría incluyeron contribuciones a campos como la física estadística, meteorología, hidrología, geomorfología, anatomía, taxonomía, neurología, lingüística, informática, infografía, economía, geología, medicina, cosmología física, ingeniería, teoría del caos, econofísica, metalurgia y ciencias sociales.[3]
Datos biográficos
Nació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia, dentro de una familia judía culta de origen lituano. Fue introducido al mundo de las matemáticas desde pequeño gracias a sus dos tíos. Cuando su familia emigra a Francia en 1936, su tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor de Hadamard en este puesto, toma la responsabilidad de su educación. Después de realizar sus estudios en la Universidad de Lyon ingresó a la École polytechnique, a temprana edad, en 1944, bajo la dirección de Paul Lévy, quien también le influyó fuertemente. Se doctoró en matemáticas por la Universidad de París en el año 1952. Posteriormente se fue al MIT y luego al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde fue el último estudiante de postdoctorado a cargo de John von Neumann. Después de diversas estancias en Ginebra y París acabó trabajando en IBM Research.
En 1967 publicó en Science «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?», donde se exponen sus ideas tempranas sobre los fractales.
Fue profesor de economía en la Universidad Harvard, de ingeniería en la Yale, de fisiología en el Colegio Albert Einstein de Medicina, y de matemáticas en París y Ginebra. Desde 1958 trabajó en IBM, en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de Nueva York.
Murió de cáncer de páncreas a la edad de 85 años en un hospicio en Cambridge, Massachusetts, el 14 de octubre de 2010.[4]
Logros científicos
Fue el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature, en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional.
El profesor Mandelbrot se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza.
Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por los seres humanos, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente.
Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.Mandelbrot, Introduction to The Fractal Geometry of Nature
Azar y fractales en los mercados financieros
Mandelbrot veía los mercados financieros como un ejemplo de "aleatoriedad salvaje", caracterizada por la concentración y la dependencia de largo alcance. Desarrolló varios enfoques originales para modelizar las fluctuaciones financieras.[5] En sus primeros trabajos, descubrió que los cambios de precios en los mercados financieros no seguían una distribución gaussiana, sino Lévy con varianza infinita. Descubrió, por ejemplo, que los precios del algodón seguían una distribución estable de Lévy con el parámetro α igual a 1,7 en lugar de 2 como en una distribución gaussiana. Las distribuciones "estables" tienen la propiedad de que la suma de muchos casos de una variable aleatoria sigue la misma distribución pero con un parámetro de escala mayor.[6] Este último trabajo de principios de los 60 se realizó con datos diarios de los precios del algodón desde 1900, mucho antes de que introdujera la palabra "fractal". En años posteriores, una vez madurado el concepto de fractal, el estudio de los mercados financieros en el contexto de los fractales sólo fue posible tras la disponibilidad de datos de alta frecuencia en finanzas. A finales de la década de 1980, Mandelbrot utilizó datos de tick intradiarios suministrados por Olsen & Associates en Zúrich[7][8] para aplicar la teoría fractal a la microestructura de los mercados. Esta cooperación condujo a la publicación de los primeros trabajos exhaustivos sobre la ley de escalamiento en las finanzas.[9][10] Esta ley muestra propiedades similares a diferentes escalas de tiempo, lo que confirma la idea de Mandelbrot sobre la naturaleza fractal de la microestructura del mercado. Las propias investigaciones de Mandelbrot en este campo se presentan en sus libros Fractales y escalamiento en finanzas [11] y El (mal)comportamiento de los mercados.[12]
Fractales y "teoría de la rugosidad"
Mandelbrot creó la primera "teoría de la rugosidad" de la historia, y vio "rugosidad" en las formas de las montañas, costas y cuencas fluviales; las estructuras de las plantas, vasos sanguíneos y pulmones; la agrupación de galaxias. Su búsqueda personal consistía en crear alguna fórmula matemática para medir la "rugosidad" global de tales objetos en la naturaleza.[13]: xi Comenzó haciéndose varios tipos de preguntas relacionadas con la naturaleza:
- ¿Puede la geometría ofrecer lo que la raíz griega de su nombre [geo-] parecía prometer: una medición veraz, no sólo de los campos cultivados a lo largo del río Nilo, sino también de la Tierra indómita?[13]: xii
En su artículo "¿Qué longitud tiene la costa de Gran Bretaña? Auto similaridad estadística y dimensión fractal", publicado en Science' en 1967, Mandelbrot habla de curvas auto similares que tienen dimensión Hausdorff que son ejemplos de fractales, aunque Mandelbrot no utiliza este término en el artículo, ya que no lo acuñó hasta 1975. El artículo es una de las primeras publicaciones de Mandelbrot sobre el tema de los fractales.[14][15]
Mandelbrot hizo hincapié en el uso de fractales como modelos realistas y útiles para describir muchos fenómenos "rugosos" del mundo real. Llegó a la conclusión de que "la rugosidad real es a menudo fractal y puede medirse"[13]: 296 Aunque Mandelbrot acuñó el término "fractal", algunos de los objetos matemáticos que presentó en La geometría fractal de la naturaleza' habían sido descritos previamente por otros matemáticos. Sin embargo, antes de Mandelbrot se consideraban curiosidades aisladas con propiedades poco naturales y no intuitivas. Mandelbrot reunió estos objetos por primera vez y los convirtió en herramientas esenciales para ampliar el alcance de la ciencia a la explicación de los objetos no lisos y "rugosos" del mundo real. Sus métodos de investigación eran tanto antiguos como nuevos:
- La forma de geometría que prefiero cada vez más es la más antigua, la más concreta y la más inclusiva, potenciada específicamente por el ojo y ayudada por la mano y, hoy en día, también por la computadora... aportando un elemento de unidad a los mundos del conocimiento y el sentimiento... y, sin saberlo, como bonificación, con el propósito de crear belleza.[16]: 292
Los fractales también se encuentran en actividades humanas, como la música, la pintura, la arquitectura y los precios del mercado de valores. Mandelbrot creía que los fractales, lejos de ser antinaturales, eran en muchos sentidos más intuitivos y naturales que los objetos artificialmente lisos de la geometría euclidiana tradicional:
Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza no es lisa, ni los rayos viajan en línea recta.
—Mandelbrot, en su introducción a La geometría fractal de la naturaleza
Mandelbrot ha sido calificado de artista y visionario[17] y un inconformista.[18] Su estilo de escritura informal y apasionado y su énfasis en la intuición visual y geométrica (apoyado por la inclusión de numerosas ilustraciones) hicieron que La geometría fractal de la naturaleza fuera accesible a los no especialistas. El libro despertó un gran interés popular por los fractales y contribuyó a la teoría del caos y otros campos de la ciencia y las matemáticas.
EPÓNIMO :
El conjunto de Mandelbrot es el más estudiado de los fractales. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.
Este conjunto se define en el plano complejo fijando un número complejo c cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido.
Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26, …, que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.
En cambio, si c = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1, …, que sí es acotada y, por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.
A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo, observamos que el rojo oscuro indica que al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que el blanco informa de que se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.
Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir, no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique para estar seguro de que c no está en el conjunto.
Historia
La teoría básica sobre la iteración de funciones complejas fue desarrollada por Gaston Julia y Pierre Fatou en los años 1910. La forma extraordinariamente intrincada de conjuntos relacionados con estas iteraciones se reveló en el momento en que los gráficos por ordenador fueron lo suficientemente avanzados. Las primeras imágenes del conjunto, algo burdas, de Robert Brooks y Peter Matelski, datan de 1978.[1]
Benoit Mandelbrot estudió el espacio de parámetros de polinomios cuadráticos en un artículo aparecido en 1980 y despertó interés global.[2]
El estudio matemático riguroso de este conjunto realmente comenzó con el trabajo de los matemáticos Adrien Douady y John H. Hubbard,[3][4] quienes demostraron muchas de sus propiedades fundamentales y nombraron el conjunto en honor de Mandelbrot. Entre otras propiedades, probaron que es un conjunto conexo y formularon la conjetura MLC, que formula la creencia de que el conjunto de Mandelbrot es localmente conexo.
El trabajo de Douady y Hubbard coincidió con un enorme aumento del interés por la dinámica compleja y las matemáticas abstractas, y el estudio del conjunto de Mandelbrot ha sido una pieza central de este campo desde entonces. Una lista exhaustiva de todos los que han contribuido a la comprensión de este conjunto desde entonces es larga pero incluiría a Jean-Christophe Yoccoz, Mitsuhiro Shishikura, Curtis T. McMullen, John Milnor y Mikhail Lyubich.[5][6]
Definición formal
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores de c en el plano complejo para los que la órbita del punto crítico bajo iteración del mapa cuadrático
permanece acotada.[7] Así, un número complejo c es miembro del conjunto de Mandelbrot si, al comenzar con y aplicar la iteración repetidamente, el valor absoluto de permanece acotado para todo .
Por ejemplo, para c = 1, la secuencia es 0, 1, 2, 5, 26, ..., que tiende a infinito, por lo que 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. En cambio, para , la sucesión es 0, -1, 0, -1, 0, ..., que está acotada, por lo que -1 sí pertenece al conjunto.
El conjunto de Mandelbrot también puede definirse como el lugar de conectividad de la familia de polinomios cuadráticos , el subconjunto del espacio de parámetros para el que el conjunto de Julia del polinomio correspondiente forma un conjunto conexo. Del mismo modo, la frontera del conjunto de Mandelbrot puede definirse como el lugar de bifurcación de esta familia cuadrática, el subconjunto de parámetros cerca del cual el comportamiento dinámico del polinomio (cuando es iterada repetidamente) cambia drásticamente.
Propiedades básicas
El conjunto de Mandelbrot es un conjunto compacto, ya que es cerrado y está contenido en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen. Más concretamente, un punto pertenece al conjunto de Mandelbrot si y sólo si para todo . En otras palabras, el valor absoluto de debe permanecer igual o por debajo de 2 para que esté en el conjunto de Mandelbrot, , y si ese valor absoluto supera 2, la sucesión escapará al infinito. Como , se deduce que , estableciendo que siempre estará en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen.
.
La intersección de con el eje real es precisamente el intervalo . Los parámetros a lo largo de este intervalo se pueden poner en correspondencia uno a uno con los del familia logística real,
![{\displaystyle [-2,{\frac {1}{4}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7e168d3d2ce8bc393d81d191de7d0090b0ca82)
![{\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad r\in [1,4].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167c3aa4bc1c5840ca0df792debf16643264a7f7)
la correspondencia viene dada por
De hecho, esto da una correspondencia entre todo el espacio de parámetros de la familia logística y el del conjunto de Mandelbrot.[cita requerida]
Douady y Hubbard han demostrado que el conjunto de Mandelbrot es conectado. De hecho, construyeron un isomorfismo conformacional explícito entre el complemento del conjunto de Mandelbrot y el complemento del disco unitario cerrado. Mandelbrot había conjeturado originalmente que el conjunto de Mandelbrot es desconectado. Esta conjetura se basaba en imágenes de ordenador generadas por programas incapaces de detectar los delgados filamentos que conectan las distintas partes de . Tras nuevos experimentos, revisó su conjetura, decidiendo que debería estar conectado. También existe una prueba topológica de la conectividad que fue descubierta en 2001 por Jeremy Kahn.[8]
La fórmula dinámica para la uniformización del complemento del conjunto de Mandelbrot, que surge de la demostración de Douady y Hubbard de la conectividad de , da lugar a rayos externos del conjunto de Mandelbrot. Estos rayos pueden utilizarse para estudiar el conjunto de Mandelbrot en términos combinatorios y constituyen la columna vertebral del Parapuzzle de Yoccoz.[9]
Como se ha mencionado anteriormente en el artículo, la frontera del conjunto de Mandelbrot es el lugar de bifurcación de la familia de polinomios cuadráticos. En otras palabras, el límite del conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los parámetros para los cuales la dinámica del mapa cuadrático exhibe una dependencia sensible de es decir, cambia bruscamente bajo cambios arbitrariamente pequeños de Puede construirse como el conjunto límite de una secuencia de curvas algebraicas planas, las curvas de Mandelbrot, del tipo general conocido como lemniscatas polinómicas. Las curvas de Mandelbrot se definen estableciendo , y luego interpretando el conjunto de puntos en el plano complejo como una curva en el plano cartesiano real de grado en x e y.[10][11] Cada curva es el mapeo de un círculo inicial de radio 2 bajo . Estas curvas algebraicas aparecen en imágenes del conjunto de Mandelbrot calculadas mediante el "algoritmo del tiempo de escape" que se menciona más adelante.
Otras propiedades
Bombillas cardioides principales y de época
Al mirar una imagen del conjunto de Mandelbrot, uno nota inmediatamente la gran región cardioide en el centro. Esta cardioide principal es la región de parámetros para la cual el mapa
tiene un punto fijo de atracción. Consiste en todos los parámetros de la forma
para algún en el disco unitario abierto.
A la izquierda del cardioide principal, unido a él en el punto , es visible un bulbo circular llamado bulbo de período-2. La razón del nombre es que el bulbo consiste precisamente en aquellos parámetros para los que tiene un ciclo atractor de período 2. De hecho es el círculo relleno de radio 1/4 centrado en -1.
De forma más general, para cada entero positivo , existen bulbos circulares tangentes a la cardioide principal llamados bulbos de período-q (donde denota la función phi de Euler), que consisten en parámetros para los que tiene un ciclo de atracción de período . Más concretamente, para cada raíz primitiva de la unidad (donde ), existe un bulbo de período-q llamado bulbo , que es tangente a la cardioide principal en el parámetro
y que contiene parámetros con -ciclos que tienen número de rotación combinatoria . Más concretamente, las componentes periódicas Componentes de Fatou que contienen el ciclo de atracción se tocan todas en un punto común (comúnmente llamado el punto fijo ). Si etiquetamos estas componentes con orientación antihoraria, entonces mapea la componente a la componente .
). Si etiquetamos estas componentes 
El cambio de comportamiento que se produce en se conoce como bifurcación: el punto fijo de atracción "colisiona" con un ciclo período-q de repulsión. Al pasar por el parámetro de bifurcación en el -bulbo, el punto fijo de atracción se convierte en un punto fijo de repulsión (el -punto fijo), y el ciclo período-q se convierte en atracción.
Invariabilidad en diversas escalas
Una propiedad fundamental de los fractales es la invariabilidad total o parcial de ciertas características con relación a diversas escalas, en particular, al ampliar ciertas partes de la imagen de un fractal, reaparece una imagen similar a la inicial y así sucesivamente. A continuación se muestran las ampliaciones de la imagen principal:
Recuadro verde
Minirecuadro gris
Recuadro blanco
Al agrandar el recuadro verde, se aprecia:
- Se observa una bola negra con un contorno muy similar a la imagen inicial.
- La siguiente bola negra ampliable del recuadro verde es más similar a la mayor que a la imagen inicial.
Al agrandar el recuadro gris situado en el extremo izquierdo de la imagen inicial, se tiene que su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede repetir un sinfín de veces eligiendo bien la imagen a ampliar.
Al agrandar el recuadro violeta de la imagen principal, se tiene que la imagen aparece una mancha arriba a la izquierda que tiene aparentemente la misma forma que la imagen inicial.
Recuadro violeta
Detalle del recuadro violeta
Detalle
Ahora, agrandemos el cuadro azul claro de la derecha del plano (imagen de la derecha):
Acerquémonos al cuadro blanco de la última imagen (a la izquierda):
Aquí se nota una ligera deformación de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones minúsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.
- Otra representación
En esta imagen, el conjunto es, naturalmente, el mismo, pero las líneas de nivel (que separan los colores, fuera del conjunto) no son idénticas. Esto se debe a que no se ha empleado el mismo criterio de divergencia, en esta imagen es realmente , mientras que en las anteriores era , por razones estéticas, ya que así se obtiene una imagen inicial menos oscura.
Relación con los conjuntos de Gaston Julia
Existe otra manera de definir este conjunto: es el conjunto de los complejos c para los que el conjunto de Julia asociado a es conexo.
Imágenes calculadas con ordenador digital
Hasta que no aparecieron los primeros ordenadores digitales no se pudo visualizar este fractal con toda su complejidad.
En la serie que se detalla debajo podemos ver cómo va mejorando la definición del fractal, a medida que incrementamos el número de iteraciones. Los puntos que convergen a un valor determinado aparecen de color amarillo pálido, y pertenecen propiamente al conjunto de Mandelbrot. Los puntos que presentan divergencia al infinito se han coloreado con una gama cromática que va desde el gris al negro, en función del número de iteraciones necesarias (algoritmo de la velocidad de escape). Cuantas menos iteraciones son necesarias para divergir al infinito, se aplica un color más oscuro.
10 iteraciones por píxel 
12 iteraciones por píxel 
15 iteraciones por píxel 
20 iteraciones por píxel 
50 iteraciones por píxel 
500 iteraciones por píxel
El arte y el conjunto de Mandelbrot
A algunas personas les gusta encontrar formas geométricas interesantes en el conjunto de Mandelbrot. Aquí hay algunos ejemplos de hermosas regiones de este conjunto:
Propiedades
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Propiedades topológicas
El conjunto de Mandelbrot es compacto, conexo y su complemento también es conexo. Su interior, al igual que cualquier interior de un subconjunto de no vacío, resulta ser de la cardinalidad de , esto es una consecuencia directa de que la topología usual en tiene una base de abiertos de cardinalidad no numerable = .
Su frontera tiene dimensión topológica 1 pero dimensión de Hausdorff 2, la máxima posible al ser subconjunto del plano.
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