EPÓNIMOS

 Un epónimo es el nombre de una persona (real o ficticia) que designa a un pueblo, lugar, concepto u objeto de cualquier clase.

Ludwig Boltzmann
Información personal
Nombre de nacimiento	Ludwig Eduard Boltzmann
Nacimiento	20 de febrero de 1844  Viena - Imperio austríaco
Fallecimiento	5 de septiembre de 1906 (62 años)  Duino - Reino de Italia
Causa de muerte	Ahorcamiento
Sepultura	Cementerio central de Viena
Residencia	Imperio austríaco
Nacionalidad	Austriaca
Familia
Cónyuge	Henriette von Aigentler
Educación
Educado en	Universidad de Viena
Supervisor doctoral	Josef Stefan
Información profesional
Área	Física, estadística
Conocido por	Plantar las bases de la teoría Cuántica de la materia e introducir la constante de Boltzmann
Cargos ocupados	Rector (1887-1888)
Empleador	Universidad de Viena
Estudiantes doctorales	Paul Ehrenfest Philipp Frank Gustav Herglotz Franc Hočevar Ignacij Klemenčič Lise Meitner
Alumnos	Marian Smoluchowski
Obras notables	constante de Boltzmann ley de Stefan-Boltzmann constante de Stefan–Boltzmann ecuación de Boltzmann Distribución de Boltzmann Fórmula de entropía de Boltzmann
Miembro de	Real Academia de las Ciencias de Suecia Academia de Ciencias de Baviera Academia de Ciencias de Francia Academia de Ciencias de Hungría Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias Academia Austríaca de Ciencias Academia Prusiana de las Ciencias Accademia Nazionale delle Scienze detta dei XL Academia de Ciencias de Gotinga Academia de Ciencias de Turín (desde 1896) Academia Nacional de los Linces (desde 1896) Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos (desde 1897) Royal Society of London (desde 1899) Academia Sajona de Ciencias (1900-1902) Academia Sajona de Ciencias (desde 1902) Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos (desde 1904)
Distinciones	Doctorado honoris causa de la Universidad de Oslo Honorary member of the Physics Association (Frankfurt am Main, Germany) (1896) Miembro extranjero de la Royal Society (1899) Orden bávara de Maximiliano para la Ciencia y las Artes (1899)
Firma
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Ludwig Eduard Boltzmann (Viena, 20 de febrero de 1844-Duino, 5 de septiembre de 1906)^[1] fue un físico austríaco pionero de la mecánica estadística, a quien debe su nombre la llamada constante de Boltzmann, concepto fundamental de la termodinámica, y que halló la expresión matemática de la entropía desde el punto de vista de la probabilidad (la relación entre estados macroscópicos y microscópicos).^[2]

Se suicidó en Trieste en 1906. Aunque las causas no están claras, se baraja el poco reconocimiento académico a sus ideas como una de ellas. Al poco tiempo de su muerte, llegaron las pruebas de que sus ideas eran ciertas y fueron aceptadas de forma generalizada, lo que zanjó definitivamente la disputa entre los atomistas y sus opositores.

Primeros años

Ludwig Boltzmann nació en Viena, por entonces parte del Imperio austrohúngaro, en el seno de una familia acomodada. Cursó estudios medios en otra ciudad, Linz, y se doctoró en la Universidad de Viena en 1866. Al año siguiente, trabajaría ya como ayudante de Josef Stefan, su director de tesis en Viena.

Fue profesor de física en Graz en 1869. Luego se trasladó a Heidelberg y a Berlín. En esos lugares, estudió con Bunsen, Kirchhoff y Helmholtz. Cuatro años después, en 1873, aceptó un puesto de profesor de matemáticas en Viena. Regresaría, sin embargo, a Graz como catedrático en 1876. Por aquella época, ya era conocido por la comunidad científica por su desarrollo de la estadística de Maxwell-Boltzmann para las velocidades de las moléculas de un gas en 1871. Sus aportes a la teoría cinética de gases determinaron el desarrollo ulterior de muy variados campos de la física.

Actividad docente

En 1894, retomó su puesto, esta vez como profesor de física teórica, en la Universidad de Viena, tras la muerte de Josef Stefan. Al año siguiente, Ernst Mach obtuvo la cátedra de historia y filosofía de las ciencias. Mach era uno de los más claros opositores al trabajo de Boltzmann. En 1900, debido a su descontento con Mach, Boltzmann se trasladó a Leipzig, donde conoció a Wilhelm Ostwald.

Mach dejó la Universidad de Viena en 1901 por motivos de salud, lo que permitió a Boltzmann volver al año siguiente. En esta ocasión, además de recuperar su cátedra de física, obtuvo la cátedra de Mach de historia y filosofía de las ciencias. En 1904, visitó Estados Unidos para la Feria Mundial de Saint Louis.

Hipótesis atómica por la comunidad científica

Tumba de Boltzmann en el Cementerio central de Viena con la fórmula de entropía.^[3]

Su trabajo científico estuvo marcado por la disputa que había en la época entre aquellos que defendían la hipótesis atómica y concedían a los átomos una existencia real, y aquellos que, como Wilhem Ostwald y Ernst Mach, negaban su existencia y su papel fundamental en la descripción del mundo físico.^[4] En la época de Boltzmann, hacía tiempo ya que se había recuperado el concepto de átomo como constituyente discreto de toda la materia: Bernoulli había establecido la relación de proporcionalidad entre la presión de un gas y el cuadrado de la velocidad de sus moléculas en 1738. También se habían desarrollado la estadística y el concepto de probabilidad. Sin embargo, fue Boltzmann el primero en combinar métodos estadísticos con leyes deterministas como las de la mecánica de Newton. Boltzmann fue, así, uno de los fundadores de la mecánica estadística, labor que realizó independientemente de Josiah Willard Gibbs.^[4]

La labor científica de Boltzmann estuvo encaminada fundamentalmente a establecer cómo el movimiento de los átomos y su mutua interacción determina las propiedades visibles, macroscópicas, de la materia, tales como presión, viscosidad, conductividad térmica y difusión. Su trabajo no negaba la vigencia de las leyes de Newton; simplemente, era una forma nueva de tratar inmensos conjuntos de partículas. Esto no fue entendido bien por gran parte de sus contemporáneos, para los cuales era difícil aceptar que lo que hasta entonces se consideraban leyes fundamentales de la naturaleza, como el segundo principio de la termodinámica, pudieran tener una interpretación estadística, minando así su carácter estrictamente determinista.

En la década de 1870, Boltzmann publicó los artículos donde expuso cómo la segunda ley de la termodinámica se puede explicar aplicando las leyes de la mecánica y la teoría de la probabilidad a los movimientos de los átomos. Con dichos artículos, fue uno de los primeros científicos de la época en reconocer tácitamente la importancia de la teoría electromagnética de James Maxwell. Dejó claro el carácter esencialmente estadístico de la segunda ley de la termodinámica, dedujo el teorema de equipartición de la energía (ley de distribución de Maxwell-Boltzmann) y derivó una ecuación para el cambio en la distribución de energía entre los átomos de un sistema debido a las colisiones entre ellos.

En la época de Boltzmann, la termodinámica era una ciencia desarrollada y con métodos muy potentes para tratar problemas de intercambio de energía entre sistemas físicos. Boltzmann, sin embargo, en lugar de ver estos sistemas descritos por potenciales termodinámicos, los consideraba formados por millones de partículas diminutas, los átomos, el movimiento de cada uno de los cuales venía descrito individualmente por las leyes de Newton, pero cuyo comportamiento conjunto se podía llegar a predecir mediante métodos estadísticos.

Al estudiar los gases mediante estos métodos, definió una cantidad (la función H de Boltzmann) a partir de la distribución de las velocidades de las moléculas del gas, que siempre disminuía a medida que el estado del sistema evolucionaba en el tiempo; un proceso en el cual esta cantidad aumentara no era posible. Pero Henri Poincaré, años antes, había demostrado que todo sistema mecánico volverá a presentar, tarde o temprano, el mismo estado inicial con el que empezó a evolucionar en el tiempo. Es decir, Poincaré vino a demostrar que los sistemas mecánicos pueden evolucionar sin estar sujetos a las restricciones que impone la entropía ni ninguna otra ley semejante.

Los detractores de Boltzmann concluían que su trabajo (fundamentar la termodinámica en la mecánica) no tenía sentido. Boltzmann replicaba que su trabajo demostraba que la segunda ley de la termodinámica, la de la entropía, era una ley estadística y, como en toda estadística, podía haber fluctuaciones que se apartaran de la media y que dieran lugar a comportamientos diferentes a los previstos por la ley. El único motivo por el que no se observa una violación de la segunda ley de la termodinámica a nivel macroscópico es que es extremadamente improbable que los trillones de partículas que forman un sistema macroscópico colaboren todas a la vez en el mismo sentido.^[5]

Este enfoque estadístico de la segunda ley de la termodinámica no gustaba, en general, a sus contemporáneos (quienes consideraban las leyes de la termodinámica como leyes fundamentales y no admitían que una ley fundamental de la naturaleza no fuera completamente determinista), pero con el tiempo demostró ser mucho más fructífero, abrió el camino al desarrollo de la termodinámica del no equilibrio y sentó un precedente que catalizó el desarrollo de la mecánica cuántica. Efectivamente, en 1891, en la conferencia Halle, ante un intento de Ostwald y Planck por convencerle de la superioridad de los métodos puramente termodinámicos sobre los atomistas, Boltzmann replicó: "No veo ninguna razón por la que la energía no deba ser considerada también como dividida atómicamente".

Esto anticipaba una de las ideas básicas de la física cuántica: los sistemas intercambian energía de una forma discreta, no continua. Max Planck, en 1900, no tuvo más remedio que utilizar los métodos estadísticos de Boltzmann para poder resolver el problema del espectro del cuerpo negro, resolución que puede ser considerada como el trabajo fundacional de la mecánica cuántica. Fue Planck además quien escribió por primera vez, en la forma en que se conoce actualmente, la relación de proporcionalidad que Boltzmann había establecido entre la entropía de un sistema y el número de formas de ordenación posibles de sus átomos constituyentes: S = K Ln W, donde K es la constante de Boltzmann, W el número de formas de ordenación posibles y S la entropía del sistema.

Planck pasó a ser uno de los más firmes defensores de las ideas de Boltzmann. Pocos meses después de la muerte de este, Albert Einstein publicó, en 1906, su famoso artículo sobre el movimiento browniano (movimiento aleatorio de partículas diminutas suspendidas en un fluido), en el que utilizó los métodos de la mecánica estadística para explicar dicho movimiento y propuso métodos cuantitativos que contribuirían de forma decisiva a la aceptación de los átomos como entidades con existencia real.

Se quitó la vida en 1906, por ahorcamiento, durante unas vacaciones en Duino, cerca de Trieste. El motivo del suicidio no está muy claro, pero sus biógrafos han planteado una posible relación con su resentimiento por el rechazo de esta idea por la comunidad científica. Desde luego, la dura oposición a su trabajo y al planteamiento atómico, con Wilhelm Ostwald como cabeza más visible, pudo haberle causado trastornos emocionales profundos que, acaso junto con otros factores, le llevasen a su autodestrucción.^[4]

Dos años después de su suicidio, diversos descubrimientos abrieron el camino para la aceptación de su teoría. Los trabajos de Jean Perrin sobre las suspensiones coloidales (1908-1909) confirmaron los valores del número de Avogadro y la constante de Boltzmann, convenciendo a la comunidad científica de la existencia de los átomos.^[6][7]

En la tumba de Boltzmann, en el Zentralfriedhof, el cementerio central de Viena, se encuentra grabada la ecuación que describe la entropía, que para él se incrementa casi siempre:

${\displaystyle S=k\log W}$

Aportes teóricos

Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere weglänge Verschwinden, 1896

Destaca en su obra una pionera aplicación de métodos probabilísticos a la mecánica (que describen cómo las propiedades de los átomos determinan las propiedades de la materia), lo que le permitió fundamentar teóricamente las leyes de la termodinámica y trazar el camino para el desarrollo posterior de la termodinámica del llamado "no equilibrio".

Además, su punto de vista como teorizador ha sido también muy resaltado, y se considera que su figura tuvo importancia crucial para la física de comienzos del siglo XX. La visión teórico-científica de Boltzmann —con peso abierto en la matemática— fue resaltada por muy diversos pensadores, entre ellos el historiador del pensamiento Ernst Cassirer, que lo valoró singularmente en varios trabajos capitales, como El problema del conocimiento,^[8] o en La filosofía de las formas simbólicas.^[9]

Más recientemente, lo ha destacado Stephen Toulmin.^[10] Y es que Boltzmann señalaba que había un fenomenismo matemático, imprescindible, y un fenomenismo general y asistemático, que es el de su oponente y enemigo Mach, el cual renunciaba a toda idea unitaria de la naturaleza.

EL EPÓNIMO ES :

No debe confundirse con Constante de Stefan-Boltzmann.

La constante de Boltzmann (k o k_B) es la constante física que relaciona temperatura absoluta y energía.^[1] Se llama así en honor del físico austriaco Ludwig Boltzmann, quien hizo importantes contribuciones a la teoría de la mecánica estadística, en cuyas ecuaciones fundamentales esta constante desempeña un papel central. Su valor es un número fijo sin incertidumbre (26° CGPM de noviembre de 2018, en vigor desde el 20 de mayo de 2019):^[2][3]

${\displaystyle k=1,380649\times {10}^{-23}}$ ${\displaystyle \mathrm{J}}$${\displaystyle /}$${\displaystyle \mathrm{K}}$

Valores de k	Unidades
1,380649 × 10−23	J K−1
8,617333262 × 10-5	eV K−1

Como parte de la Redefinición de las unidades del SI en 2019, la constante de Boltzmann es una de las siete "constantes definitorias" que han recibido definiciones exactas. Se utilizan en diversas combinaciones para definir las siete unidades básicas del SI. La constante de Boltzmann se define exactamente como 1,380649·10^-23J.K^-1.^[3]

Importancia en la definición estadística de entropía

Véase también: Relación estadística-termodinámica

Tumba de Ludwig Boltzmann en el cementerio central de Viena, donde aparece grabada la fórmula de la entropía.

En mecánica estadística, la entropía, S, de un sistema aislado en equilibrio termodinámico se define como el logaritmo natural de W, el número de estados microscópicos definidos en los que puede llegar a estar un sistema dadas las limitaciones macroscópicas (como, por ejemplo, la energía total fija, E):

${\displaystyle S=k\ln W.}$

Esta ecuación, que relaciona los detalles microscópicos o microestados del sistema (a través de W) con su estado macroscópico (a través de la entropía S), es la idea central de la mecánica estadística. Es tal su importancia que fue grabada en la lápida de la tumba de Boltzmann.

La constante de proporcionalidad, k, relaciona la entropía de la mecánica estadística con la entropía de la termodinámica clásica de Clausius:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }S=\int \frac{\mathrm{d}Q}{T}.}$

Podría elegirse una entropía escalada adimensional en términos microscópicos tales que

${\displaystyle S^{\prime }=\ln W;\mathrm{\Delta }{S}^{\prime }=\int \frac{\mathrm{d}Q}{kT}.}$

Se trata de una forma mucho más natural, y esta entropía reajustada corresponde exactamente a la entropía de la información desarrollada posteriormente por Claude Elwood Shannon.

Aquí, la energía característica, kT, es el calor necesario para aumentar la entropía reajustada por un nat.

Funciones de la constante de Boltzmann

Macroscópicamente, la ley de los gases ideales establece que, para un gas ideal, el producto de la presión p y el volumen V es proporcional al producto de cantidad de sustancia n y la temperatura absoluta T:

${\displaystyle pV=nRT,}$

donde R es la constante molar de los gases (8.31446261815324 J⋅K⁻¹⋅mol⁻¹).^[4] Introduciendo la constante de Boltzmann como la constante de gas por molécula^[5] k = R/N_A transforma la ley de los gases ideales en una forma alternativa:

${\displaystyle pV=NkT,}$

donde N es el número de moléculas del gas.

Papel en la equipartición de la energía

Artículo principal: Teorema de equipartición

Dado un sistema termodinámico a una temperatura absoluta T, la energía térmica media transportada por cada grado de libertad microscópico del sistema es 12kT (es decir, aproximadamente 2,07 ^-21J, o 0,013 eV, a temperatura ambiente). En general, esto sólo es cierto para sistemas clásicos con un gran número de partículas, y en los que los efectos cuánticos son despreciables.

En Mecánica estadística clásica se predice que esta media se cumple exactamente para gases ideales homogéneos. Los gases ideales monoatómicos (los seis gases nobles) poseen tres grados de libertad por átomo, correspondientes a las tres direcciones espaciales. Según la equipartición de la energía, esto significa que existe una energía térmica de 32kT por átomo. Esto se corresponde muy bien con los datos experimentales. La energía térmica se puede utilizar para calcular la velocidad media cuadrática de los átomos, que resulta ser inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa atómica. Las velocidades cuadráticas medias encontradas a temperatura ambiente reflejan esto con precisión, y van desde 1370 m/s para el helio, hasta 240 m/s para el xenón.

La Teoría cinética da la presión media p para un gas ideal como

${\displaystyle p=\frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{v^2}.}$

Combinada con la ley de los gases ideales

${\displaystyle pV=NkT}$

muestra que la energía cinética de traslación media es

${\displaystyle \frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT.}$

Si se considera que el vector de velocidad del movimiento de traslación v tiene tres grados de libertad (uno por cada dimensión), la energía media por grado de libertad es igual a un tercio de aquélla, es decir, 12kT.

La ecuación de los gases ideales también se cumple a rajatabla en los gases moleculares, pero la forma de la capacidad calorífica es más complicada, ya que las moléculas poseen grados de libertad internos adicionales, además de los tres grados de libertad de movimiento de la molécula en su conjunto. Los gases diatómicos, por ejemplo, poseen un total de seis grados de libertad simples por molécula que están relacionados con el movimiento atómico (tres traslacionales, dos rotacionales y uno vibracional). A temperaturas más bajas, es posible que no todos estos grados de libertad participen plenamente en la capacidad calorífica del gas, debido a los límites de la mecánica cuántica sobre la disponibilidad de estados excitados a la energía térmica pertinente por molécula.

Papel en los factores de Boltzmann

De forma más general, los sistemas en equilibrio a temperatura T tienen probabilidad P_i de ocupar un estado i con energía E ponderada por el correspondiente factor de Boltzmann:

${\displaystyle P_i\propto \frac{\exp \left(-\frac{E}{kT}\right)}{Z},}$

donde Z es la función de partición. De nuevo, es la cantidad parecida a la energía kT la que adquiere una importancia central.

Las consecuencias de esto incluyen (además de los resultados para gases ideales anteriores) la ecuación de Arrhenius en cinética química.

Papel en la definición estadística de entropía

En mecánica estadística, la entropía S de un sistema aislado en equilibrio termodinámico se define como el logaritmo natural de W, el número de estados microscópicos distintos disponibles para el sistema dadas las restricciones macroscópicas (como una energía total fija E):

${\displaystyle S=k\ln W.}$

Esta ecuación, que relaciona los detalles microscópicos, o microestados, del sistema (a través de W) con su estado macroscópico (a través de la entropía S), es la idea central de la mecánica estadística. Su importancia es tal que está inscrita en la lápida de Boltzmann.

La constante de proporcionalidad k sirve para que la entropía mecánica estadística sea igual a la entropía termodinámica clásica de Clausius:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }S=\int \frac{\mathrm{d}Q}{T}.}$

Se podría elegir en su lugar una entropía adimensional reescalada en términos microscópicos tal que

${\displaystyle S^{\prime }=\ln W,\mathrm{\Delta }{S}^{\prime }=\int \frac{\mathrm{d}Q}{kT}.}$

Esta es una forma más natural y esta entropía reescalada corresponde exactamente a la posterior entropía de la información de Shannon.

La energía característica kT es entonces la energía requerida para incrementar la entropía reescalada en una nat.

La tensión térmica

En semiconductores, la ecuación del diodo de Shockley-la relación entre el flujo de corriente eléctrica y el potencial electrostático a través de una unión p-n-depende de una tensión característica llamada tensión térmica, denotada por V_T. La tensión térmica depende de la temperatura absoluta T como$${\displaystyle V_{\mathrm{T}}=\frac{kT}{q}=\frac{RT}{F},}$$donde q es la magnitud de la carga eléctrica del electrón con un valor equivalente,$${\displaystyle \frac{V_{\mathrm{T}}}{T}=\frac{k}{q}\approx 8.61733034\times {10}^{-5}\mathrm{V}/\mathrm{K}.}$$

A temperatura ambiente 300 Kelvin (26,9 °C; 80,3 °F), V_T es aproximadamente 25.85 mV^[6][7] que puede obtenerse introduciendo los valores de la siguiente manera:

$${\displaystyle V_{\mathrm{T}}=\frac{kT}{q}=\frac{1.38\times {10}^{-23}\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\times 300\mathrm{K}}{1.6\times {10}^{-19}\mathrm{C}}\simeq 25.85\mathrm{m}\mathrm{V}}$$

A la temperatura estándar de 298,15 K (25 °C;77 °F) es aproximadamente 25,69 mV. El voltaje térmico también es importante en plasmas y soluciones electrolíticas (por ejemplo, la ecuación de Nernst); en ambos casos proporciona una medida de cuánto afecta a la distribución espacial de electrones o iones una frontera mantenida a un voltaje fijo.^[8][9]

Historia

Aunque Boltzmann vinculó por primera vez la entropía y la probabilidad en 1877, al parecer la relación nunca se expresó a través de una constante específica sino hasta que Max Planck introdujo k por vez primera, y ofreció un valor exacto (1.346×10⁻²³ J/K, aproximadamente 2.5% menor que la cifra que se usa hoy en día), en su derivación de la ley de la radiación del cuerpo negro en 1900–1901.^[10] Antes de 1900, las ecuaciones que incluían los factores de Boltzmann no utilizaban las energías por molécula ni la constante de Boltzmann, sino una forma de la constante de los gases R y energías macroscópicas para las cantidades macroscópicas de la sustancia. La breve y simbólica forma de la ecuación S = k log W en la lápida de la tumba de Boltzmann se debe de hecho a Planck, no a Boltzmann. En realidad Planck la introdujo en el mismo trabajo en el que presentó h.^[11]

Como escribió Planck en su discurso de recepción del Premio Nobel en 1920.^[12]

Esta constante suele denominarse constante de Boltzmann, aunque, hasta donde sé, el propio Boltzmann nunca la mencionó; según lo que permiten ver sus afirmaciones ocasionales, debido a una serie de circunstancias particulares nunca consideró la posibilidad de llevar a cabo una medición precisa de la constante.

Estas "condiciones peculiares" pueden comprenderse si se recuerda uno de los grandes debates científicos de la época. Existía un enorme desacuerdo, durante la segunda mitad del siglo XIX, respecto a si los átomos y las moléculas eran "reales" o si eran tan sólo una herramienta heurística, útil para la solución de problemas. También había un desacuerdo respecto a si las "moléculas químicas" (medidas a través de los pesos atómicos) eran lo mismo que las "moléculas físicas" (medidas a través de la teoría cinética). Para continuar la cita de la lectura de 1920 de Planck:^[12]

Nada puede ilustrar mejor el ritmo positivo y frenético del progreso con el que han trabajado los científicos durante los últimos veinte años que el hecho de que, desde ese entonces, se han descubierto no uno, sino una gran cantidad de métodos para medir la masa de una molécula prácticamente con la misma precisión que la alcanzada para un planeta.

En 2013, el Laboratorio Nacional de Física del Reino Unido utilizó las mediciones de microondas y de resonancia acústica para determinar la velocidad del sonido de un gas monoatómico en una cámara elipsoide triaxial y calcular un valor más preciso para la constante, como parte de la revisión del Sistema Internacional de Unidades (SI). El nuevo valor calculado fue de 1.380 651 56 (98) × 10⁻²³ J K⁻¹, y se espera que sea aceptado por el SI tras una revisión.^[13]

Unidades naturales

La constante de Boltzmann proporciona una correspondencia entre la energía microscópica característica E y la escala de temperatura macroscópica T = Ek. En la física fundamental, este mapeo se simplifica a menudo mediante el uso de las unidades naturales de establecer k a la unidad. Esta convención significa que las cantidades de temperatura y energía tienen las mismas dimensiones.^[14][15] En particular, la unidad kelvin del SI se convierte en superflua, definiéndose en términos de joules como 1 K = 1.38064x 10^-23J.^[16] Con esta convención, la temperatura se da siempre en unidades de energía, y la constante de Boltzmann no se necesita explícitamente en las fórmulas.^[14]

Esta convención simplifica muchas relaciones y fórmulas físicas. Por ejemplo, la fórmula de equipartición para la energía asociada a cada grado de libertad clásico (${\displaystyle \frac{1}{2}kT}$ anterior) se convierte en

${\displaystyle E_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{f}}=\frac{1}{2}T}$

Como otro ejemplo, la definición de entropía termodinámica coincide con la forma de entropía de la información:

${\displaystyle S=-\sum _i{P}_i\ln P_i.}$

donde P_i es la probabilidad de cada microstado.

No debe confundirse con Constante de Boltzmann.

Gráfico dóblemente logarítmico de la Ley de desplazamiento de Wien y de la excitancia radiante frente a la temperatura del cuerpo negro. Las flechas rojas indican que los cuerpos negros 5780 K tienen un pico de longitud de onda de 501 nm y una salida radiante de 63,3 MW / m²

Busto de Josef Stefan en Carintia (Austria).

La constante de Stefan-Boltzmann (también llamada constante de Stefan), una constante física simbolizada por la letra griega σ, es la constante de proporcionalidad en la ley de Stefan-Boltzmann, donde «la intensidad (física) total irradiada sobre todas las longitudes de onda se incrementa a medida que aumenta la temperatura» de un cuerpo negro que es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura termodinámica.^[1] La teoría de la radiación térmica establece la teoría de la mecánica cuántica, por medio del uso de la física para relacionarse con los niveles moleculares, atómicos y subatómicos. El físico esloveno Josef Stefan formuló la constante en 1879, y más tarde fue derivada en 1884 por el físico austriaco Ludwig Boltzmann.^[2] La ecuación también se puede derivar de la ley de Planck, al integrar sobre todas las longitudes de onda a una temperatura dada representará un cuerpo negro como cajita plana.^[3] «La cantidad de radiación térmica emitida aumenta rápidamente y la frecuencia principal de la radiación se hace mayor con el aumento de las temperaturas.»^[4] La constante de Stefan-Boltzmann se puede utilizar para medir la cantidad de calor emitida por un cuerpo negro, el cual absorbe toda la energía radiante que le golpea, y emitirá posteriormente toda esa energía. Además, la constante de Stefan-Boltzmann permite a la temperatura (K) convertirse a unidades de intensidad (W/m²), que es la potencia por unidad de área.

El valor de la constante de Stefan-Boltzmann dado en unidades del SI es:^[5]

${\displaystyle \sigma \approx 5.670374419\times {10}^{-8}\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4}}$

En unidades cgs la constante de Stefan–Boltzmann es:

${\displaystyle \sigma \approx 5.6704\times {10}^{-5}\text{erg}{\text{cm}}^{-2}{\text{s}}^{-1}{\text{K}}^{-4}.}$

${\displaystyle \sigma \approx 11.7\times {10}^{-8}\text{cal}{\text{cm}}^{-2}{\text{dia}}^{-1}{\text{K}}^{-4}.}$

En unidades reglamentarias estadounidenses, la constante de Stefan–Boltzmann es:^[6]

${\displaystyle \sigma =0.1714\times {10}^{-8}\text{BTU}{\text{hr}}^{-1}{\text{ft}}^{-2}{\text{R}}^{-4}.}$

El valor de la constante de Stefan-Boltzmann es derivable así como experimentalmente determinable (véase ley de Stefan-Boltzmann). Puede definirse en términos de la constante de Boltzmann como:

${\displaystyle \sigma =\frac{2{\pi }^5{k}_{\mathrm{B}}^4}{15h^3{c}^2}=\frac{{\pi }^2{k}_{\mathrm{B}}^4}{60{\hslash }^3{c}^2}}$

Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
${\displaystyle \sigma }$	Constante de Stefan-Boltzmann	5.670374419E-8	W / (m2 K4)
${\displaystyle k_{\mathrm{B}}}$	Constante de Boltzmann	1.380649E-23	J / K
${\displaystyle h}$	Constante de Planck	6.62607015E-34	J s
${\displaystyle \hslash }$	Constante de Planck reducida	1.054571817E-34	J s
${\displaystyle c}$	Velocidad de la luz en el vacío	299792458	m / s

El valor recomendado del CODATA es calculado a partir del valor medido de la constante de los gases:

${\displaystyle \sigma =\frac{2{\pi }^5{R}^4}{15h^3{c}^2{N}_{\mathrm{A}}^4}=\frac{32{\pi }^{5}h{R}^4{R}_{\mathrm{\infty }}^4}{15A_{\mathrm{r}}(\mathrm{e}{)}^4{M}_{\mathrm{u}}^4{c}^6{\alpha }^8}}$

Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
${\displaystyle \sigma }$	Constante de Stefan-Boltzmann	5.670374419E-8	W / (m2 K4)
${\displaystyle R}$	Constante universal de los gases	8.314472	J / (mol K)
${\displaystyle N_{\mathrm{A}}}$	Constante de Avogadro	6.022140857(62)E23	mol-1
${\displaystyle h}$	Constante de Planck	6.62607015E-34	J s
${\displaystyle c}$	Velocidad de la luz en el vacío	299792458	m / s
${\displaystyle R_{\mathrm{\infty }}}$	Constante de Rydberg	1.0973731568539(55)E7	m-1
${\displaystyle M_{\mathrm{u}}}$	Constante de masa molar (por definición, 1 g / mol)	0.99999999965(30)E-3	kg / mol
${\displaystyle \alpha }$	Constante de estructura fina	0.0072973525693(11)
${\displaystyle A_{\mathrm{r}}(\mathrm{e})}$	Masa atómica relativa del electrón

La fórmula dimensional es M¹L⁰T^-3K^-4.

Una constante relacionada es la constante de radiación (o constante de densidad de radiación) que está dada por:^[7]

${\displaystyle a=\frac{4\sigma }{c}=7.5657\times {10}^{-15}\text{erg}{\text{cm}}^{-3}{\text{K}}^{-4}=7.5657\times {10}^{-16}\text{J}{\text{m}}^{-3}{\text{K}}^{-4}.}$

Gráfica de una función de la energía total emitida por un cuerpo negro ${\displaystyle j^{\star }}$, proporcional a su temperatura termodinámica ${\displaystyle T}$. En azul está la energía total de acuerdo con la aproximación de Wien, ${\displaystyle j_W^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0,924\sigma T^4}$.

La ley de Stefan-Boltzmann establece que un cuerpo negro emite radiación térmica con una potencia emisiva hemisférica total proporcional a la cuarta potencia de su temperatura.

La ley es muy precisa solo para objetos negros ideales, los radiadores perfectos, llamados cuerpos negros; funciona como una buena aproximación para la mayoría de los cuerpos grises.

Historia

La ley fue deducida en 1879 por el físico austriaco Jožef Stefan (1835-1893) basándose en las mediciones experimentales realizadas por el físico irlandés John Tyndall. Stefan publicó esta ley en el artículo «Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur» (Sobre la relación entre la radiación térmica y la temperatura) en el Boletín de las sesiones de la Academia de Ciencias de Viena.

La ley fue derivada en 1884 a partir de consideraciones teóricas por Ludwig Boltzmann (1844-1906) usando la termodinámica. Boltzmann consideró un cierto motor térmico ideal con luz como fuente de energía en lugar de gas.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Valor	Unidad
${\displaystyle E}$	Potencia emisiva hemisférica total		W / m2
${\displaystyle T_e}$	Temperatura efectiva (Temperatura absoluta de la superficie)		K
${\displaystyle \epsilon }$	Emisividad
${\displaystyle \sigma }$	Constante de Stefan-Boltzmann	5.67E-8	W / (m2 K4)

Descripción

${\displaystyle E=\sigma (T_e{)}^4}$

Esta potencia emisiva de un cuerpo negro (o radiador ideal) supone un límite superior para la potencia emitida por los cuerpos reales.

La potencia emisiva superficial de una superficie real es menor que el de un cuerpo negro a la misma temperatura y está dada por:

${\displaystyle E=\epsilon \sigma (T_e{)}^4}$

donde (${\displaystyle \epsilon }$) es una propiedad radiactiva de la superficie denominada emisividad. Con valores en el rango (0 ≤ ε ≤ 1), esta propiedad es la relación entre la radiación emitida por una superficie real y la emitida por el cuerpo negro a la misma temperatura. Esto depende marcadamente del material de la superficie y de su acabado, de la longitud de onda, y de la temperatura de la superficie.

Demostración

Demostración matemática

Esta ley no es más que la integración de la distribución de Planck a lo largo de todas las longitudes de onda del espectro de frecuencias:

Deducción

	Ley de Planck	2	3
Ecuaciones	${\displaystyle q=\frac{C_1}{{\lambda }^5[e^{(\frac{C_2}{\lambda T})}-1]}}$	${\displaystyle C_1=2\pi h(c_0{)}^2}$	${\displaystyle C_2=\frac{h{c}_0}{k_{\mathrm{B}}}}$
Integrando con límites	${\displaystyle E={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{C_1}{{\lambda }^5[e^{(\frac{C_2}{\lambda T})}-1]}d\lambda }$
	${\displaystyle E=[\frac{{\pi }^4{C}_1}{15(C_2{)}^4}]T^4}$
Sustituyendo	${\displaystyle E=[\frac{{\pi }^4(2\pi h(c_0{)}^2)}{15((h{c}_0)/k_{\mathrm{B}}{)}^4}]T^4}$
Simplificando	${\displaystyle E=[\frac{2{\pi }^5(k_{\mathrm{B}}{)}^4}{15h^3(c_0{)}^2}]T^4}$
Extrayendo	${\displaystyle \sigma =[\frac{2{\pi }^5(k_{\mathrm{B}}{)}^4}{15h^3(c_0{)}^2}]}$
Evaluando	${\displaystyle \sigma =[\frac{2{\pi }^5(1.380649E-23{)}^4}{15(6.62607015E-34{)}^3(299792458{)}^2}]}$
Operando	${\displaystyle \sigma =(5.6704E-8)\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4}}$

Experimento del cubo de Leslie

La ley de Stefan-Boltzmann queda bastante clara con el experimento del cubo de Leslie:

En general en la emisión radiante a altas temperaturas se desprecia el efecto de la temperatura del orden de la temperatura ambiente a la que se encuentran los objetos circundantes. Sin embargo debemos tener en cuenta que esta práctica estudia esta ley a bajas temperaturas para las cuales no se puede obviar la temperatura ambiente. Esto hace ver que como el detector del sensor de radiación (una termopila no está a (0 K) irradia energía radiante y una intensidad proporcional a esta es la que mide, luego si la despreciamos estamos falseando el resultado. Su radiación se puede cuantificar de forma proporcional a su temperatura absoluta a la cuarta potencia:

${\displaystyle R_{det}=\sigma (T_{det}{)}^4}$

De esta forma podemos conocer la radiación neta que mide a partir del voltaje generado por el sensor sabiendo que es proporcional a la diferencia de radiación entre la absorbida y la emitida, es decir:

${\displaystyle R_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}=(R_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}-R_{det})=\sigma (T^4-(T_{det}{)}^4)}$

Por último, haciendo una serie de suposiciones, como puede ser evitar que el sensor se vea influenciado por la radiación del cubo de Leslie cuando no sea necesario, tomar mediciones (podemos alejarlo), y solo entonces podremos considerar que la temperatura del detector es la del ambiente. Con alejarlo cuando sea innecesario esta hipótesis puede ser suficiente.

Ejemplos

Primera determinación de la temperatura del Sol

Utilizando su ley Stefan determinó la temperatura de la superficie del Sol. Tomó los datos de Charles Soret (1854-1904) que determinó que la densidad del flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad del flujo de energía de una fina placa de metal caliente. Puso la placa de metal a una distancia del dispositivo de la medición que permitía verla con el mismo ángulo que se vería el Sol desde la Tierra. Soret estimó que la temperatura de la placa era aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan pensó que el flujo de energía del Sol es absorbido en parte por la atmósfera terrestre, y tomó para el flujo de energía del Sol un valor ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ veces mayor, a saber ${\displaystyle (\frac{3}{2})29=43,5}$.

Las medidas precisas de la absorción atmosférica no se realizaron hasta 1888 y 1904. La temperatura que Stefan obtuvo era un valor intermedio de los anteriores, (1950 °C o 2223 K). Como (2,57⁴ = 43,5), la ley de Stephan nos dice que la temperatura del Sol es (2,57 veces) mayor que la temperatura de una placa de metal, así que Stefan consiguió un valor para la temperatura de la superficie del Sol de (5713 K), el valor moderno es (5780 K). Este número fue una aproximación más exacta para la temperatura del Sol. Antes de esto, se obtuvieron valores tan pequeños como (1800 °C) o tan altos como (13 000 000 °C). El valor de (1800 °C) fue hallado por Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) en 1838. Si nosotros concentramos la luz del Sol con una lente, podemos calentar un sólido hasta los (1800 °C).

Las temperaturas y radios de las estrellas

La temperatura de las estrellas puede obtenerse suponiendo que emiten radiación como un cuerpo negro de manera similar que nuestro Sol. La luminosidad (${\displaystyle L}$) de la estrella es igual a:

${\displaystyle L=4\pi (R^2\sigma )T^4}$

donde (${\displaystyle \sigma }$) es la constante de Stefan-Boltzmann, (${\displaystyle R}$) es el radio estelar y (${\displaystyle T}$) es la temperatura de la estrella.

Esta misma fórmula puede usarse para computar el radio aproximado de una estrella de la secuencia principal y, por tanto, similar al Sol:

${\displaystyle \frac{R}{R_{\odot }}\approx {\left(\frac{T_{\odot }}{T}\right)}^2\sqrt{\frac{L}{L_{\odot }}}}$

donde (${\displaystyle R_{\odot }}$) es el radio solar.

Con la ley de Boltzmann, los astrónomos puede inferir los radios de las estrellas fácilmente. La ley también se usa en la termodinámica de un agujero negro en la llamada radiación de Hawking.

La temperatura de la Tierra

Podemos calcular la temperatura de la Tierra (${\displaystyle T_e}$) igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura (${\displaystyle T_s}$). A la distancia de la Tierra (a₀) (unidad astronómica), esa potencia ha disminuido en la relación entre la superficie del Sol y la superficie de una esfera de radio a₀. Además el disco de la Tierra intercepta esa radiación pero debido a la rápida rotación de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiación a una temperatura (${\displaystyle T_e}$) con lo que dicha potencia queda disminuida en un factor 4. Por ello:

${\displaystyle {\left(\frac{T_e}{T_s}\right)}^4=\frac{1}{4}{\left(\frac{r_s}{a_0}\right)}^2}$

donde ${\displaystyle r_s}$ es el radio del Sol. Por ello:

${\displaystyle T_e=T_s\sqrt{\frac{r_S}{2a_0}}=(5780)\mathrm{K}\sqrt{\frac{(696\times {10}^6)\mathrm{m}}{2(149,59787066\times {10}^9)\mathrm{m}}}=(278)\mathrm{K}}$

Resulta una temperatura de (5 °C). La temperatura real es de (15 °C).

Resumiendo: La distancia del Sol a la Tierra es (215 veces) el radio del Sol, reduciendo la energía por metro cuadrado por un factor que es el cuadrado de esa cantidad, es decir (46 225). Teniendo en cuenta que la sección que interfiere la energía tiene un área que es (1/4) de su superficie, vemos que disminuye en (184 900 veces). La relación entre la temperatura del Sol y la Tierra es por tanto (20,7), ya que (20,7⁴ es 184 900 veces).

Esto muestra aproximadamente por qué (T ≅ 278 K) es la temperatura de nuestro mundo. El cambio más ligero de la distancia del Sol podría cambiar la temperatura media de la Tierra.

En el cálculo anterior hay dos defectos. Parte de la energía solar es reflejada por la Tierra que es lo que se denomina albedo y esto disminuye la temperatura de la Tierra hecho por el cálculo anterior hasta (–18 °C) y parte de la energía radiada por la Tierra que tiene una longitud larga, entre (3) y (80 micras), es absorbida por ciertos gases llamados de efecto invernadero, calentando la atmósfera hasta la temperatura actual. El llamado efecto invernadero es, entonces, vital para la vida en el planeta.

Véase también: Equilibrio térmico de la Tierra

Para calcular la constante solar o energía emitida por el Sol por unidad de tiempo y área a la distancia de la Tierra basta con dividir esta energía por (46,225) resulta:

${\displaystyle K=\sigma T_s^4{\left(\frac{r_s}{a_0}\right)}^2=(1366)\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}}$

Intercambios radiactivos entre cuerpos negros

El flujo de calor se obtiene de la siguiente manera:

${\displaystyle q=AE=A\epsilon \sigma (T_e{)}^4}$

Para el cálculo de intercambios radiactivos de dos cuerpos negros, hay que afectar a la expresión anterior por el llamado factor de forma (${\displaystyle F}$), el cual indica que fracción de la energía total emitida por una superficie es interceptada (absorbida, reflejada o transmitida) por otra superficie, es un concepto puramente geométrico. La expresión final es de la forma:

${\displaystyle q_{(1-2)}=A_1{F}_{12}\sigma (T_1{)}^4}$

${\displaystyle q_{(2-1)}=A_2{F}_{21}\sigma (T_2{)}^4}$

${\displaystyle q_{12}=q_{(1-2)}-q_{(2-1)}=A_1{F}_{12}\sigma ((T_1{)}^4-(T_2{)}^4)}$

Hay que tener en cuenta que se cumple ${\displaystyle A_1{F}_{12}=A_2{F}_{21}}$

Para superficies reales (con emisividad menor a 1) hay que tener en cuenta que además de emitir, la superficie refleja energía, para ello se define (${\displaystyle J}$) como la radiosidad, que es la suma de la energía emitida y la reflejada.

${\displaystyle q_{(1-2)}=A_1{F}_{12}{J}_1}$

${\displaystyle q_{(2-1)}=A_2{F}_{21}{J}_2}$

${\displaystyle q_{12}=q_{(1-2)}-q_{(2-1)}=A_1{F}_{12}(J_1-J_2)}$

En el caso particular de un cuerpo negro se cumple que (${\displaystyle J=E}$)

Ejemplo:

Para una cavidad cerrada compuesta por dos superficies reales, el intercambio radiactivo es:

${\displaystyle q_{12}=\frac{\sigma ((T_1{)}^4-(T_2{)}^4)}{{\displaystyle (\frac{1-{\epsilon }_1}{{\epsilon }_1{A}_1})+(\frac{1}{A_1{F}_{12}})+(\frac{1-{\epsilon }_2}{{\epsilon }_2{A}_2})}}}$

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