EPÓNIMOS

 Un epónimo es el nombre de una persona (real o ficticia) que designa a un pueblo, lugar, concepto u objeto de cualquier clase.

René Descartes (pronunciación en francés: /ʁəne dekaʁt/ (escuchar^ⓘ); latinización: Renatus Cartesius;^[b] onomástico del que se deriva el adjetivo cartesiano;^[2] (La Haye en Touraine, Centro-Valle del Loira, 31 de marzo de 1596-Estocolmo, 11 de febrero de 1650) fue un filósofo, matemático y físico considerado el padre de la geometría analítica y la filosofía moderna,^[3][4] así como uno de los protagonistas con luz propia en el umbral de la revolución científica.^[5]

Su método filosófico y científico, que expone en Reglas para la dirección de la mente (1628) y más explícitamente en su Discurso del método (1637), establece una clara ruptura con la escolástica que se enseñaba en las universidades. Está caracterizado por su simplicidad —en su Discurso del método únicamente propone cuatro normas— y pretende romper con los interminables razonamientos escolásticos. Toma como modelo el método matemático, en un intento de acabar con el silogismo aristotélico empleado durante toda la Edad Media. Muchos elementos de la filosofía de Descartes tienen precedentes en el aristotelismo tardío, el neoestoicismo del siglo XVI o en filósofos medievales.

Su declaración filosófica más conocida es "Pienso, luego existo",^[6] que se encuentra en Discurso del método (1637) y en Principios de la Filosofía (1644), fue un elemento esencial del racionalismo occidental, contraria a la escuela empirista inglesa, y formuló el conocido como «método cartesiano», pero del cogito ya existían formulaciones anteriores, alguna tan exacta a la suya como la de Gómez Pereira^[7] en 1554, y del Método consta la formulación previa que del mismo hizo Francisco Sánchez en 1576.^[8] Todo ello con antecedentes en Agustín de Hipona^[9] y Avicena,^[10] por lo que ya en su siglo fue acusado de plagio, entre otros por Pierre Daniel Huet.^[11]

Su filosofía natural rechaza cualquier apelación a los fines finales, divinos o naturales, al explicar los fenómenos naturales en términos mecánicos. Como devoto católico, su teología insiste en la libertad absoluta del acto de creación de Dios. Al negarse a aceptar la autoridad de filósofos anteriores, Descartes con frecuencia distingue sus puntos de vista de los filósofos que lo precedieron. Rompió con la tradición aristotélica estableciendo un dualismo sustancial entre alma —res cogitans, el pensamiento— y cuerpo —res extensa, la extensión—.^[12] Radicalizó su posición al considerar al animal, al que concibe como una «máquina»,^[13] como un cuerpo desprovisto de alma. Esta teoría será criticada durante la Ilustración, especialmente por Diderot, Rousseau y Voltaire.^{[cita requerida]}

Consciente de las penalidades de Galileo por su apoyo al copernicanismo, intentó sortear la censura, disimulando de modo parcial la novedad de las ideas sobre el hombre y el mundo que exponen sus planteamientos metafísicos, unas ideas que supondrán una revolución para la filosofía y la teología. La influencia cartesiana estará presente durante todo el siglo XVII: los más importantes pensadores posteriores desarrollaron sistemas filosóficos basados en el suyo; no obstante, mientras hubo quien asumió sus teorías —Malebranche o Arnauld— otros las rechazaron —Hobbes, Locke, Spinoza, Leibniz, Pascal, Berkeley o Hume—.

La influencia de René Descartes en las ciencias y matemáticas es igualmente evidente. Hizo contribuciones en física y óptica. El sistema de coordenadas cartesianas recibió su nombre. Se le acredita como el padre de la geometría analítica, el puente entre el álgebra y la geometría, utilizado en el descubrimiento del cálculo infinitesimal.

Biografía

Infancia y adolescencia

La casa donde nació Descartes en La Haye en Touraine.

Durante la Edad Moderna era también conocido por su nombre latino Renatus Cartesius. Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en la Turena, en La Haye en Touraine, hoy en día llamada Descartes en su honor, después de que su madre abandonara la ciudad de Rennes, donde se había declarado una epidemia de peste bubónica. Pertenecía a una familia de baja nobleza; su padre fue Joachim Descartes, consejero en el Parlamento de Bretaña. Era el tercero de los descendientes del matrimonio entre Joachim Descartes, parlamentario de Rennes, y Jeanne Brochard, por lo que, por vía materna, era nieto del alcalde de Nantes.

Registro de graduación de Descartes en el Collège Royal Henry-Le-Grand, La Flèche, 1616.

Después de la temprana desaparición de su madre, Jeanne Brochard, a pocos meses después de su nacimiento, quedó al cuidado y crianza de su abuela, su padre y su nodriza. Fue criado por la atención de una nodriza, a quien permanecerá ligado toda su vida, en casa de su abuela materna. Su madre muere el 13 de mayo de 1597, a los trece meses siguientes de haber alumbrado a René y pocos días, luego del nacimiento de un niño que no sobrevive.

Su padre comenzó a llamarle su «pequeño filósofo» porque el pequeño René se pasaba el día planteando preguntas.^[14]

Con once años entra en el Collège Henri IV de La Flèche, un centro de enseñanza jesuita en el que impartía clase el padre François Fournet —doctor en filosofía por la Universidad de Douai^[15]— y el padre Jean François (matemático) —que le enseñará matemáticas durante un año— en el que permanecerá hasta 1614.^[16] Estaba eximido de acudir a clase por la mañana debido a su débil salud^[17] y era muy valorado por los educadores a causa de sus precoces dotes intelectuales.^[18] Aprendió física y filosofía escolástica, y mostró un notable interés por las matemáticas; no obstante, no cesará de repetir en su Discurso del método que en su opinión este sistema educativo no era bueno para un adecuado desarrollo de la razón. De este periodo no conservamos más que una carta de dudosa autenticidad —puede ser de uno de sus hermanos— que en teoría Descartes escribió a su abuela.

Educación

La educación que recibió en La Flèche hasta los dieciséis años de edad (1604-1612) le proporcionó, durante los cinco primeros años de cursos, una sólida introducción a la cultura clásica, habiendo aprendido latín y griego en la lectura de autores como Cicerón, Horacio y Virgilio, por un lado, y Homero, Píndaro y Platón, por el otro. El resto de la enseñanza estaba basada principalmente en textos filosóficos de Aristóteles (Órganon, Metafísica, Ética a Nicómaco), acompañados por comentarios de jesuitas (Suárez, Fonseca, Toledo, quizá el dominico Vitoria) y otros autores. Conviene destacar que Aristóteles era entonces el autor de referencia para el estudio, tanto de la física, como de la biología. El plan de estudios incluía también una introducción a las matemáticas (Clavius), tanto puras como aplicadas: astronomía, música, arquitectura. Siguiendo una extendida práctica medieval y clásica, en esta escuela los estudiantes se ejercitaban constantemente en la discusión (Cfr. Gaukroger, quien toma en cuenta la Ratio studiorum: el plan de estudios que aplicaban las instituciones jesuíticas).

Juventud

René Descartes en su escritorio.

A los 18 años de edad, Descartes ingresó en la Universidad de Poitiers para estudiar derecho y medicina. Para 1616 cuenta con los grados de bachiller y licenciado en Derecho.

A los veintidós años parte hacia los Países Bajos, donde observa los preparativos del ejército de Mauricio de Nassau para la inminente guerra de los Treinta Años. En 1618 y 1619 reside en Países Bajos. En noviembre de 1618^[19] conoció en Breda a Isaac Beeckman con quien durante varios años mantiene una intensa y estrecha amistad y que intentaba desarrollar una teoría física corpuscularista, muy basada en conceptos matemáticos. El contacto con Beeckman estimuló en gran medida el interés de Descartes por la matemática y la física. Pese a los constantes viajes que realizó en esta época, Descartes no dejó de formarse y en 1620 conoció en Ulm al entonces famoso maestro calculista alemán Johann Faulhaber. Para Beeckman escribe pequeños trabajos de física, como «Sobre la presión del agua en un vaso» y «Sobre la caída de una piedra en el vacío», así como un compendio de música.

En 1619 se enrola en las filas del duque Maximiliano de Baviera.

Los tres sueños

Descartes se refirió que, inspirado por una serie de sueños, en esta época vislumbró la posibilidad de desarrollar una «ciencia maravillosa».^[20] El filósofo se encontraba acuartelado en Ulm, cerca de Baviera, durante el invierno de 1619. Pasó el día en una habitación calentada por una estufa, al dormirse por la noche tres sueños sucesivos que interpreta como un mensaje del Cielo para consagrarse a su misión de investigador.^[21]

En el primer sueño es atormentado por unos fantasmas que lo asustaron tanto que le hicieron salir a la calle. Al caminar iba encorvado hacia el lado izquierdo, porque sentía una gran debilidad en su lado derecho. Cuando intentaba rectificar su paso, fue sacudido por un torbellino. Vio una iglesia y fue hacia ella, con la idea de rezar, pero un hombre se acercó a él diciéndole que Monsieur N tenía algo que darle. Era un melón de un país extranjero. La intensidad del viento disminuyó y se despertó pensando que tal vez un genio maligno lo quería seducir.

Al despertarse, Descartes rezó y le pidió a Dios que lo protegiera y volvió a dormirse. En el segundo sueño un sonido explosivo, como un relámpago, lo estremeció. Esto hizo que se "despertara". Abrió los ojos y notó numerosas centellas de fuego dispersas por toda su habitación. El terror se disipó y se volvió a dormir.

El tercer sueño, Descartes encontró un diccionario y una antología de poesía latina, Corpus Poetarum. Lo abrió en un verso que decía "Quod vitae sectabor iter?" ("¿Qué camino de vida debo seguir?"). Luego un hombre desconocido le mostró un verso que empezaba "Est & Non" ("Sí o No"). Era un idyllis de Ausonio. Se lo intentó enseñar al hombre pero no lo encontró. Le dijo al hombre que conocía otro poema, del mismo poeta, que empezaba "Quod vitae sectabor iter?". Sin lograrlo, finalmente el libro y el hombre desaparecieron. Se dice que Descartes no despertó, sino que empezó a interpretar su sueño mientras soñaba.

Descartes consideró que "el Diccionario significaba nada menos que todas las ciencias juntas" y que los poemas indicaban "la Filosofía y la Sabiduría unidas" y por último, que la frase "Quod vitae sectabor iter" "era un buen consejo de una persona sabia, o incluso Teología Moral". El "Sí y No", que era de Pitágoras, debía entenderse como la verdad y la falsedad en el conocimiento humano y en las ciencias seculares.^[21] De esa época posiblemente data su concepción de una matemática universal y su invento de la geometría analítica.

Etapa investigadora

Renunció a la vida militar en 1619. Abandona Países Bajos, vive una temporada en Dinamarca y luego en Alemania, asistiendo a la coronación del emperador Fernando en Fráncfort. Viaja por Alemania y regresa a Francia en 1622, estancia que aprovecha para vender sus posesiones y así asegurarse una vida independiente. Pasa una temporada en Italia (1623-1625), donde sigue de cerca el itinerario que décadas antes había hecho Michel de Montaigne.

Descartes en la Corte de la reina Cristina de Suecia (detalle), Louis-Michel Dumesnil, Palacio de Versalles.

A pesar de discurrir sobre los temas anteriores, Descartes no publicó entonces ninguno de estos resultados. Durante su estancia más larga en París, Descartes reafirma relaciones que había establecido a partir de 1622 con otros intelectuales, como Marin Mersenne y Jean-Louis Guez de Balzac, así como con un círculo conocido como «Los libertinos». En esta época sus amigos propagan su reputación, hasta el punto de que su casa se convirtió entonces en un punto de reunión para quienes gustaban intercambiar ideas y discutir. Con todo ello su vida parece haber sido algo agitada, pues en 1628 se bate en duelo, tras el cual comentó que «no he hallado una mujer cuya belleza pueda compararse a la de la verdad».

El año siguiente, con la intención de dedicarse por completo al estudio, se traslada definitivamente a los Países Bajos, donde llevaría una vida modesta y tranquila, aunque cambiando de residencia constantemente para mantener oculto su paradero. Descartes permanece allí hasta 1649, viajando, sin embargo, en una ocasión a Dinamarca y en tres a Francia.

La preferencia de Descartes por Países Bajos parece haber sido bastante acertada, pues mientras en Francia muchas cosas podrían distraerlo y había escasa tolerancia, las ciudades neerlandesas estaban en paz, florecían gracias al comercio y grupos de burgueses potenciaban las ciencias fundándose la academia de Ámsterdam en 1632. Entretanto, el centro de Europa se desgarraba en la guerra de los Treinta Años, que terminaría en 1648. Aun así, tomando ejemplo de lo sucedido a Galileo con la Iglesia, Descartes se muestra cauteloso en sus escritos y, en su correspondencia de esos años con el médico Regius (1639-1645) o su amigo Mersenne, recomienda a éstos discreción a la hora de dar a conocer sus teorías para evitar un posible encarcelamiento o incluso la muerte. En una carta de 1633 enviada a este último, impactado por la reciente condena al científico italiano, llega a plantearle la quema de sus papeles o, al menos, no dejárselos ver a nadie.

René Descartes
Retrato según Frans Hals (c. 1649-1700)[a]
Información personal
Nacimiento	31 de marzo de 1596 La Haye en Touraine, Reino de Francia
Fallecimiento	11 de febrero de 1650 (53 años) Estocolmo,  Suecia
Causa de muerte	Neumonía
Sepultura	Abadía de Saint-Germain-des-Prés
Nacionalidad	Francesa
Religión	Catolicismo romano
Lengua materna	Francés
Familia
Padres	Joachim Descartes Jeanne Brochard
Pareja	Helena Jans van der Strom
Hijos	Francine Descartes
Educación
Educado en	Collège Henri-IV de La Flèche Universidad de Leiden Universidad de Utrecht
Supervisor doctoral	Isaac Beeckman y Jacobus Golius
Información profesional
Ocupación	Filósofo, matemático y físico
Cargos ocupados	Profesor
Movimiento	Racionalismo Cartesianismo
Obras notables	Discurso del método (1637) Meditaciones metafísicas (1641)
Miembro de	Academia de Ciencias de Francia
Firma

EL EPÓNIMO ES :

Tres ejemplos de coordenadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), sus proyecciones ortogonales sobre los ejes constituyen sus coordenadas cartesianas y el origen de coordenadas (0,0) en magenta.

Sistema de coordenadas cartesianas con un círculo de radio 2 centrado en el origen marcado en rojo. La ecuación de un círculo es (x - a)² + (y - b)² = r² donde a y b son las coordenadas del centro (a, b) y r es el radio.

Las coordenadas cartesianas (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática, movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto de origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal.

Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano, siendo así un sistema bidimensional) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.

Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:

• Primer cuadrante "I": Región superior derecha
• Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
• Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
• Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha

El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos. El cuadrante tiene 4 puntos negativo y positivo ya que el lado izquierdo se le llama negativo que es -x, -y y lado derecho es positivo +x,+y.

Las coordenadas cartesianas son la base de la geometría analítica, y proporcionan interpretaciones geométricas esclarecedoras para muchas otras ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal, el análisis complejo, la geometría diferencial, el cálculo multivariante, la teoría de grupos y más. Un ejemplo familiar es el concepto de gráfica de una función. Las coordenadas cartesianas son también herramientas esenciales para la mayoría de las disciplinas aplicadas que tratan con geometría, incluyendo astronomía, física, ingeniería y muchas más. Son el sistema de coordenadas más comúnmente utilizado en gráficos por ordenador, diseño asistido por ordenador y otros procesamiento de datos relacionados con la geometría.

Historia

Gráfica de una hipérbola y sus asíntotas.

Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.

Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa solo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».

Tanto Descartes como Fermat utilizaron un solo eje en sus tratamientos y tienen una longitud variable medida en referencia a este eje. El concepto de utilizar un par de ejes se introdujo más tarde, después de que La Géométrie de Descartes fuera traducida al latín en 1649 por Frans van Schooten y sus alumnos. Estos comentaristas introdujeron varios conceptos a la vez que intentaban aclarar las ideas contenidas en la obra de Descartes.^[1]

El desarrollo del sistema de coordenadas cartesianas jugaría un papel fundamental en el desarrollo del cálculo por parte de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.^[2] La descripción del plano en dos coordenadas se generalizó posteriormente en el concepto de espacios vectoriales.^[3]

Desde Descartes se han desarrollado muchos otros sistemas de coordenadas, como el coordenadas polares para el plano, y el esféricas y el coordenadas cilíndricas para el espacio tridimensional.

Plano cartesiano

Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen , cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.

La ecuación del eje ${\displaystyle x}$ es ${\displaystyle y=0}$, y la del eje ${\displaystyle y}$ es ${\displaystyle x=0}$, rectas que se cortan en el origen ${\displaystyle O}$, cuyas coordenadas son ${\displaystyle (0,0)}$.

Se denomina también eje de las abscisas al eje ${\displaystyle x}$, y eje de las ordenadas al eje ${\displaystyle y}$. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes I, II, III y IV, en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas).

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

${\displaystyle \overline{OA}=x_A\mathbf{i}+y_A\mathbf{j}}$

La posición del punto A será:

${\displaystyle A=(x_A,y_A)}$

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

${\displaystyle d_{\overline{AB}}=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}}$

Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.

Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

${\displaystyle \overline{AB}=(x_B-x_A)\mathbf{i}+(y_B-y_A)\mathbf{j}}$

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia d_AB entre los puntos A y B antes calculada.

Espacio euclídeo

Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z) (abscisa, ordenada y cota), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente. 

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho octantes en los que, como en el caso anterior, los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.

La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

${\displaystyle \overline{OA}=x_A\mathbf{i}+y_A\mathbf{j}+z_A\mathbf{k}}$

Las coordenadas del punto A serán:

${\displaystyle A=(x_A,y_A,z_A)}$

y el B:

${\displaystyle B=(x_B,y_B,z_B)}$

La distancia entre los puntos A y B será:

${\displaystyle d_{\overline{AB}}=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}}$

El segmento AB será:

${\displaystyle \overline{AB}=(x_B-x_A)\mathbf{i}+(y_B-y_A)\mathbf{j}+(z_B-z_A)\mathbf{k}}$

Cambio del sistema de coordenadas

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transformaciones elementales: traslación del origen, rotación alrededor de un eje y escalado.

Traslación del origen

Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y

${\displaystyle S1=\{O;x,y\}}$

y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:

${\displaystyle A=(x_A,y_A)}$

dado un segundo sistema de referencia S2

${\displaystyle S2=\{O^{\mathrm{\prime }};x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }}\}}$

Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:

${\displaystyle O^{\mathrm{\prime }}=(x_{O^{\mathrm{\prime }}},y_{O^{\mathrm{\prime }}})}$

Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datos anteriores, que llamaremos:

${\displaystyle A^{\mathrm{\prime }}=(x_A^{\mathrm{\prime }},y_A^{\mathrm{\prime }})}$

Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:

${\displaystyle \overline{OA}=\overline{O{O}^{\mathrm{\prime }}}+\overline{O^{\mathrm{\prime }}A}}$

despejando

${\displaystyle \overline{O^{\mathrm{\prime }}A}=\overline{OA}-\overline{O{O}^{\mathrm{\prime }}}}$

Lo que es lo mismo que:

${\displaystyle (x_A^{\mathrm{\prime }},y_A^{\mathrm{\prime }})=(x_A,y_A)-(x_{O^{\mathrm{\prime }}},y_{O^{\mathrm{\prime }}})}$

Separando los vectores por coordenadas:

${\displaystyle x_A^{\mathrm{\prime }}=x_A-x_{O^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle y_A^{\mathrm{\prime }}=y_A-y_{O^{\mathrm{\prime }}}}$

y ampliándolo a tres dimensiones:

${\displaystyle z_A^{\mathrm{\prime }}=z_A-z_{O^{\mathrm{\prime }}}}$

Rotación alrededor del origen

Dado un sistema de coordenadas en el plano S₁ con origen en O y ejes x e y:

${\displaystyle S_1=\{O;x,y\}}$

y una base ortonormal de este sistema:

${\displaystyle B_1=\{\mathbf{i},\mathbf{j}\}}$

Un punto A del plano se representará en este sistema según sus coordenadas:

${\displaystyle \mathbf{A}=x_A\mathbf{i}+y_A\mathbf{j}}$

Para un segundo sistema S₂ de referencia girado un ángulo ${\displaystyle \alpha }$, respecto al primero:

${\displaystyle S_2=\{O;x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }}\}}$

y con una base ortonormal:

${\displaystyle {\mathbf{B}}_2=\{{\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }},{\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }}\}}$

Al cálculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia, girado respecto al primero, se llama rotación alrededor del origen, siendo su representación:

${\displaystyle {\mathbf{A}}^{\mathrm{\prime }}=x_A^{\mathrm{\prime }}{\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}+y_A^{\mathrm{\prime }}{\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }}}$

Hay que tener en cuenta que el punto ${\displaystyle \mathbf{A}}$ y ${\displaystyle {\mathbf{A}}^{\mathrm{\prime }}}$ son el mismo punto, ${\displaystyle \mathbf{A}\equiv {\mathbf{A}}^{\mathrm{\prime }}}$; se emplea una denominación u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro sistema, sí son diferentes, y es lo que se pretende calcular.

La representación de B₁ en B₂ es:

${\displaystyle \mathbf{i}=\cos \alpha {\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{sen}\alpha {\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }}}$

${\displaystyle \mathbf{j}=\mathrm{sen}\alpha {\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}+\cos \alpha {\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }}}$

Dado que el punto A en B1 es:

${\displaystyle \mathbf{A}=x_A\mathbf{i}+y_A\mathbf{j}}$

con la transformación anterior tenemos:

${\displaystyle \mathbf{A}=x_A(\cos \alpha {\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{sen}\alpha {\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }})+y_A(\mathrm{sen}\alpha {\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}+\cos \alpha {\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }})}$

Y, deshaciendo los paréntesis:

${\displaystyle \mathbf{A}=x_A\cos \alpha {\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}-x_A\mathrm{sen}\alpha {\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }}+y_A\mathrm{sen}\alpha {\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}+y_A\cos \alpha {\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }}}$

reordenando:

${\displaystyle \mathbf{A}=(x_A\cos \alpha +y_A\mathrm{sen}\alpha ){\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}+(-x_A\mathrm{sen}\alpha +y_A\cos \alpha ){\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }}}$

Como:

${\displaystyle \mathbf{A}\equiv A^{\mathrm{\prime }}}$;

Tenemos que:

${\displaystyle {\mathbf{A}}^{\mathrm{\prime }}=(x_A\cos \alpha +y_A\mathrm{sen}\alpha ){\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}+(-x_A\mathrm{sen}\alpha +y_A\cos \alpha ){\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }}}$

Como sabíamos:

${\displaystyle {\mathbf{A}}^{\mathrm{\prime }}=x_A^{\mathrm{\prime }}{\mathbf{i}}^{\mathrm{\prime }}+y_A^{\mathrm{\prime }}{\mathbf{j}}^{\mathrm{\prime }}}$

Por identificación de términos:

${\displaystyle x_A^{\mathrm{\prime }}=x_A\cos \alpha +y_A\mathrm{sen}\alpha }$

${\displaystyle y_A^{\mathrm{\prime }}=-x_A\mathrm{sen}\alpha +y_A\cos \alpha }$

Que son las coordenadas de A en B₂, en función de las coordenadas de A en B₁ y de ${\displaystyle \alpha }$.

Escalado

Sea un punto con coordenadas (x,y) en el plano. Si se cambia la escala de ambos ejes en un factor λ, las coordenadas de dicho punto en el nuevo sistema de coordenadas pasarán a ser:

${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime })=(\lambda x,\lambda y)}$

El factor de escala λ no necesariamente debe ser el mismo para ambos ejes.

Cálculo matricial

Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son igualmente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

Nota: Las magnitudes vectoriales están en negrita.

Hendrik Casimir
Hendrik "Henk" Brugt Gerhard Casimir
Información personal
Nacimiento	15 de julio de 1909 La Haya, Holanda
Fallecimiento	4 de mayo de 2000 Heeze, Holanda
Residencia	Holanda
Nacionalidad	Holandés
Lengua materna	Neerlandés
Familia
Padre	Rommert Casimir
Educación
Educado en	Universidad de Leiden
Supervisor doctoral	Paul Ehrenfest
Alumno de	Paul Ehrenfest
Información profesional
Área	Física
Conocido por	Efecto Casimir Invariante de Casimir Presión de Casimir
Empleador	Universidad de Leiden Philips Research Laboratories
Obras notables	efecto Casimir
Miembro de	Real Sociedad de Londres Academia de Ciencias de la RDA Academia de Ciencias de Francia Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias Academia Nacional de Ingeniería Academia de Ciencias y Humanidades de Heidelberg (desde 1950) Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos (desde 1970) Sociedad Filosófica Estadounidense (desde 1971)
Distinciones	Orden del Mérito de las Ciencias y las Artes Premio de los tres físicos (1957) Miembro extranjero de la Royal Society (1970) IRI Medal (1976) Maxwell Lecture (1976) Wilhelm Exner Medal (1982) Medalla Matteucci (1985) George E. Pake Prize (1999)
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Hendrik Brugt Gerhard Casimir ( La Haya, 15 de julio de 1909 – Heeze, 4 de mayo de 2000)^[1] fue un físico neerlandés que realizó importantes contribuciones a la mecánica y la electrodinámica cuánticas. Es conocido por su investigación en el modelo de superconductores de dos fluidos (junto a C. J. Gorter)^[2] en 1934 y por el Efecto Casimir (junto a D. Polder) en 1946.

Biografía

Casimir nació el 15 de julio de 1909.^[1] Estudió física teórica en la Universidad de Leiden^[3] bajo la supervisión de Paul Ehrenfest, donde recibió su título en 1931.^[4] Su tesis doctoral trató sobre la mecánica cuántica de un cuerpo rígido giratorio y la teoría de grupos de las rotaciones de moléculas.^[5] Durante esa época también empleó su tiempo en Copenhague con Niels Bohr, donde ayudó a Bohr a respaldar la hipótesis de este último sobre el efecto pistolero con tiroteos simulados en el campus.^[6]

De 1932 a mediados de 1933, Casimir trabajó como asistente de Wolfgang Pauli en la ETH Zurich. Durante este período, trabajó en la teoría relativista del electrón, en particular, evaluando las desviaciones de la ecuación de Klein-Nishina en el caso de electrones ligados. Para abordar el problema, inventó diversas herramientas matemáticas. Una en particular aún se conoce como el "truco de Casimir": en los cálculos de interacción de partículas, se trata de un procedimiento familiar de formación de trazas y proyecciones mediante productos de matrices de Dirac.

En 1938, Casimir se convirtió en profesor de física de la Universidad de Leiden. En aquella época estudiaba activamente sobre la conducción térmica y sobre la conducción de electricidad, y contribuyó al desarrollo de las temperaturas de millikelvin.

En 1942, durante la Segunda Guerra Mundial, Casimir se trasladó a los Laboratorios Philips en Eindhoven, Países Bajos.^[7] Permaneció allí como científico en actividad y en 1945 escribió su famoso estudio sobre el Principio de reversibilidad Microscópica, de Lars Onsager. Llegó a ser codirector del Philips Research Laboratories en 1946 y uno de los miembros del directorio de la compañía en 1956.^[8] Se retiró de Phillips en 1972.^[9]

Mientras tanto, invirtió mucho tiempo de su carrera profesional en la industria. Hendrik Casimir fue uno de los grandes físicos teóricos neerlandeses. Casimir realizó muchos aportes a la ciencia durante sus investigaciones entre 1931 y 1950. Estas contribuciones incluyen: matemáticas puras, grupos de Lie (1931); estructura hiperfina, cálculo de momentos cuadrupolares nucleares (1935); física de bajas temperaturas, magnetismo, termodinámica de superconductores, relajación paramagnética (1935-1942); aplicaciones de la teoría de Onsager de fenómenos irreversibles (1942-1950). Ayudó a fundar la Sociedad Europea de Física y fue su presidente entre 1972 y 1975. En 1979, fue uno de los principales oradores en las celebraciones del 25.º aniversario del CERN. En 1946, se convirtió en miembro de la Real Academia de las Artes y las Ciencias de los Países Bajos.^[10]

Estando en Philips NatLab, en 1948 Casimir, colaborando con Dirk Polder, predijo la atracción mecánica cuántica entre placas conductoras, ahora conocida como efecto Casimir, que tiene importantes consecuencias en los sistemas microelectromecánicos (MEMS), entre otros.

Fue galardonado con seis doctorados honoris causa por universidades fuera de los Países Bajos. Recibió numerosos premios y distinciones, entre ellos la ilustre Medalla IRI del Instituto de Investigación Industrial en 1976. Fue miembro asociado extranjero de la Academia Nacional de Ingeniería. En 1982, recibió la Medalla Wilhelm Exner.^[11] Fue miembro electo de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias, la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos y la Sociedad Filosófica Estadounidense.

EL EPÓNIMO ES :

Fuerzas de Casimir en placas paralelas

En física (pero también en matemáticas aplicadas), el efecto Casimir o la fuerza de Casimir-Polder es un efecto predicho por la teoría cuántica de campos que resulta medible y consiste en que, dados dos objetos metálicos separados por una distancia pequeña comparada con el tamaño de los objetos, aparece una fuerza atractiva entre ambos debido a un efecto asociado al vacío cuántico. Las fluctuaciones de vacío del vacío cuántico dentro del espacio entre las placas solo existen en modos de vibración estacionarios, entonces el número de modos del espacio intermedio es inferior a los modos de fluctuación de afuera; esto causa un desequilibrio de modos vibratorios, originando una presión física externa que provoca que las placas se acerquen entre sí (la fuerza no es gravitatoria).

Introducción

Fuerzas de Casimir en placas paralelas

El efecto Casimir se puede entender por la idea de que la presencia de metales conductores y dieléctricos alteran el valor esperado del vacío para la energía del campo electromagnético cuantizado. Puesto que el valor de esta energía depende de las formas y de las posiciones de los conductores y de los dieléctricos, el efecto Casimir se manifiesta como fuerza entre tales objetos.

A veces, esto se describe en términos de partículas virtuales que interactúan con los objetos, debido a una de las formulaciones matemáticas posibles para calcular la fuerza del efecto. Como la intensidad de la fuerza cae rápidamente con la distancia, es solamente medible cuando la distancia entre los objetos es extremadamente pequeña. En una escala por debajo del micrómetro, esta fuerza llega a ser tan fuerte que se convierte en la fuerza dominante entre dos conductores neutros. De hecho, en separaciones de 10 nanómetros, el efecto Casimir produce el equivalente de 1 atmósfera de presión (101.3  kPa).

Los físicos holandeses Hendrik Casimir y Dirk Polder fueron los primeros en proponer la existencia de esta fuerza en 1948 y formularon un experimento para detectarla mientras participaban en la investigación en los laboratorios de investigación de Philips. La forma clásica del experimento utiliza un par de placas paralelas de metal neutras en el vacío, y demostró con éxito la fuerza dentro del 15 % del valor predicho por la teoría.

La fuerza de Van der Waals entre un par de átomos neutros es un efecto similar. En la física teórica moderna, el efecto Casimir desempeña un papel importante en el modelo quiral del nucleón; y en física aplicada, es cada vez más importante en el desarrollo de componentes nanotecnológicos.^[1]

Energía del vacío

Diagrama de Feynman ilustrando la interacción entre dos electrones producida mediante el intercambio de un fotón.

El efecto Casimir es un resultado de la teoría cuántica de campos, que indica que todos los campos fundamentales, tales como el campo electromagnético, deben ser cuánticos en cada punto del espacio. De manera muy simple, un campo en la física puede ser previsto como si el espacio estuviera lleno de bolas y de resortes que vibraran interconectados, y la fuerza del campo se puede visualizar como la dislocación de una bola de su posición de reposo. Las vibraciones en este campo se propagan y están gobernadas por la ecuación de onda apropiada para el campo particular. El campo electromagnético cuantizado en la teoría cuántica de campos requiere que cada combinación bola-resorte sea cuántica, es decir, que la fuerza del campo será cuántica en cada punto en espacio. Canónicamente, el campo en cada punto del espacio es un oscilador armónico simple. Las excitaciones del campo corresponden a partículas elementales de la física de partículas. Sin embargo, incluso el vacío tiene una estructura sumamente compleja. Todos los cálculos de la teoría cuántica de campos se deben hacer referentes a este modelo de vacío.

El vacío tiene, implícito, todas las características que una partícula pueda tener: spin, polarización en el caso de la luz, energía, y así sucesivamente. En promedio, todas estas características se cancelan: el vacío es después de todo, vacío en este sentido. Una excepción importante es la energía del vacío o el valor de la expectativa de la energía del vacío. La cuantización de un oscilador armónico simple indica que la energía posible más baja o la energía del punto cero que tal oscilador puede tener es:

${\displaystyle E=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\hslash \omega }$

Al sumar sobre todos los osciladores posibles en todos los puntos en espacio da una cantidad infinita. Para quitar este infinito, uno puede decir que solamente las diferencias en energía son físicamente mensurables; este principio es la base de la teoría de la renormalización. En los cálculos prácticos, así es como el infinito se maneja siempre. En un sentido más profundo, sin embargo, la renormalización no es satisfactoria, y el eliminar este infinito es uno de los desafíos en la búsqueda de una teoría del todo. No hay actualmente una explicación fuerte sobre cómo este infinito se debe tratar como esencialmente cero; un valor diferente a cero es esencialmente la constante cosmológica y cualquier valor grande causa problemas en la cosmología.^[2]

Interpretaciones

Stephen Hawking en su obra El universo en una cáscara de nuez da dos explicaciones posibles y, tal vez, complementarias:

• Una hace referencia al campo electromagnético cuantizado, que se describe como un conjunto de infinitos osciladores armónicos simples cuya oscilación crea las ondas electromagnéticas. En su estado fundamental estos osciladores poseen algo de energía debido la relación de indeterminación de Heisenberg. Como cada oscilador sólo se corresponde con una frecuencia y tenemos infinitos osciladores en cada punto del espacio, en una cantidad finita de espacio hay una cantidad infinita de dichos osciladores, y sumando la energía media de dichos osciladores obtenemos una cantidad infinita de energía en cada punto del espacio. Al colocar unas placas metálicas plano paralelas en el espacio, estas limitan la cantidad de longitudes de onda que caben entre ellas, creando una diferencia de energía entre el exterior y el interior de las placas. Entre ambas placas sigue habiendo una cantidad infinita de energía, pero aun así es inferior al infinito exterior. Es decir, que hay infinitos más grandes que otros infinitos.^[3][4]
• La otra se basa en el número de "historias en bucle cerrado" de partículas subatómicas. Entre ambas placas hay menos espacio para que estas historias tengan lugar que en el exterior, luego las historias exteriores crearían una diferencia de presión entre las placas que tendería a juntarlas.

Interpretación moderna como fuerza de Van der Waals relativista

El artículo de 2005 de Robert Jaffe del MIT describe que "los efectos de Casimir se pueden formular y las fuerzas de Casimir se pueden calcular sin referencia a las energías de punto cero del vacío, sólo como fuerzas cuánticas relativistas entre cargas y corrientes.

El efecto Casimir como fuerzas de Van der Waals resultantes de fluctuaciones de carga en placas conductoras.

Ese método de cálculo muestra que la fuerza de Casimir por unidad de área entre placas paralelas se desvanece cuando alfa, la constante de estructura fina tiende a cero, mientras que el resultado del tratamiento estándar, independiente de alfa, corresponde al límite al aproximar alfa a infinito, tratando la fuerza de Casimir una fuerza de van der Waals (relativista retardada) entre las placas de metal. El artículo original de Casimir y Polder utilizó este método para derivar la fuerza de Casimir-Polder. En 1978, Schwinger, DeRadd y Milton publicaron una derivación similar para el efecto Casimir entre dos placas paralelas. De hecho, la descripción en términos de las fuerzas de van der Waals es la única descripción correcta desde la perspectiva microscópica fundamental, mientras que otras descripciones de la fuerza de Casimir son meras descripciones macroscópicas efectivas.

Cálculo de Casimir

En el cálculo original realizado por Casimir, éste consideró el espacio libre entre un par de placas conductoras paralelas separadas una distancia ${\displaystyle a}$. En este caso, las ondas estacionarias son particularmente fáciles de calcular, ya que la componente transversal del campo eléctrico y la componente normal del campo magnético deben anularse en la superficie de un conductor. Asumiendo que las placas paralelas residen en el plano x-y, las ondas estacionarias son:

${\displaystyle {\psi }_n(x,y,z,t)=e^{-i{\omega }_{n}t}{e}^{i{k}_{x}x+i{k}_{y}y}\sin \left(k_{n}z\right)}$

donde ${\displaystyle \psi }$ aparece por la componente eléctrica del campo electromagnético, y, como simplificación, la polarización y las componentes magnéticas son despreciadas. Aquí, ${\displaystyle k_x}$ y ${\displaystyle k_y}$ son las componentes del vector de onda en direcciones paralelas a las placas, y

${\displaystyle k_n=\frac{n\pi }{a}}$

es el módulo del vector de onda perpendicular a las mismas, y ${\displaystyle a}$ es la distancia entre placas. Así pues, n es un número entero, que aparece debido a la ligadura de que ψ se anule en las placas metálicas. La frecuencia para esta onda es:

${\displaystyle {\omega }_n=c\sqrt{{k_x}^2+{k_y}^2+\frac{n^2{\pi }^2}{a^2}}}$

donde c es la velocidad de la luz. La energía del vacío es entonces la suma sobre todos los posibles modos de excitación

${\displaystyle ⟨E⟩=\frac{\hslash }{2}\cdot 2\int \frac{d{k}_{x}d{k}_y}{(2\pi {)}^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}A{\omega }_n}$

donde A es el área de las placas de metal, siendo un factor 2 introducido debido a las dos posibles polarizaciones de la onda. Esta expresión es claramente infinita, y para poder realizar el cálculo, es conveniente introducir un regulador. El regulador servirá para hacer que la expresión se vuelva finita, eliminándolo del cálculo en pasos posteriores. La versión regularizada de la función zeta de la energía por unidad de área en la placa es:

${\displaystyle \frac{⟨E(s)⟩}{A}=\hslash \int \frac{d{k}_{x}d{k}_y}{(2\pi {)}^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\omega }_n|{\omega }_n{|}^{-s}}$

Al final del cálculo, se debe considerar el límite ${\displaystyle s\to 0}$. Aquí s es simplemente un número complejo, y no debe confundirse con variables así denotadas con anterioridad. Esta integral/suma es finita para s real y mayor que 3. La suma posee un polo en s=3, pero puede ser analíticamente extensible a s=0, donde la expresión es finita. Expadiendo esto, se obtiene

${\displaystyle \frac{⟨E(s)⟩}{A}=\frac{\hslash c^{1-s}}{4{\pi }^2}\sum _n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}2\pi qdq{\left|q^2+\frac{{\pi }^2{n}^2}{a^2}\right|}^{(1-s)/2}}$

donde se han introducido las coordenadas polares ${\displaystyle q^2=k_x^2+k_y^2}$ para transformar nuestra integral doble en una integral simple. La ${\displaystyle q}$ es el jacobiano, y el ${\displaystyle 2\pi }$ proviene de la integración angular. Esta integral se puede calcular fácilmente, resultando

${\displaystyle \frac{⟨E(s)⟩}{A}=-\frac{\hslash c^{1-s}{\pi }^{2-s}}{2a^{3-s}}\frac{1}{3-s}\sum _n|n{|}^{3-s}}$

Esta suma se puede interpretar como la función zeta de Riemann, de forma que

${\displaystyle \frac{⟨E⟩}{A}=\underset{s\to 0}{lim}\frac{⟨E(s)⟩}{A}=-\frac{\hslash c{\pi }^2}{6a^3}\zeta (-3)}$

Sabiendo que ${\displaystyle \zeta (-3)=1/120}$, se obtiene

${\displaystyle \frac{⟨E⟩}{A}=\frac{-\hslash c{\pi }^2}{3\cdot 240a^3}}$

La fuerza de Casimir por unidad de área ${\displaystyle F_c/A}$ para placas ideales y perfectamente conductoras con vacío entre ambas es, por lo tanto

${\displaystyle \frac{F_c}{A}=-\frac{d}{da}\frac{⟨E⟩}{A}=-\frac{\hslash c{\pi }^2}{240a^4}}$

donde

${\displaystyle \hslash }$ (h barra, ħ) es la constante reducida de Planck,

${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz,

${\displaystyle a}$ es la distancia entre dos placas.

La fuerza es negativa, indicando pues el carácter atractivo de la misma: disminuyendo la distancia entre placas, la energía es reducida. La presencia de ${\displaystyle \hslash }$ indica que la fuerza de Casimir por unidad de área ${\displaystyle F_c/A}$ es muy pequeña, siendo su origen puramente inherente a la mecánica cuántica.

Relación con la serie 1+2+3+4...

Artículo principal: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Si el oscilador está encerrado en una cavidad, la frecuencia podrá tomar también sólo ciertos valores.^[5]

Medición experimental

Una de las primeras pruebas experimentales la realizó Marcus Spaarnay en Philips en Eindhoven, en 1958, en un experimento delicado y difícil con placas paralelas, obteniendo resultados que no estaban en contradicción con la teoría de Casimir, pero que tenían errores experimentales grandes.

El efecto Casimir se midió de forma más precisa en 1997 por Steve K. Lamoreaux del laboratorio nacional de Los Álamos y por Umar Mohideen de la Universidad de California en Riverside y su colega Anushree Roy.^[6] En la práctica, en vez de usar dos placas paralelas, las cuales requieren un alineamiento demasiado preciso para asegurar que son paralelas, los experimentos usaron una placa que es plana y otra placa que es parte de una esfera con un amplio radio de curvatura. En el 2001, otro grupo de la Universidad de Padua consiguió finalmente medir la fuerza de Casimir entre placas paralelas usando microrresonadores.

Más investigaciones han mostrado que con materiales de cierta conductividad y permeabilidad, o con una cierta configuración, el efecto Casimir se puede hacer repulsivo en vez de atractivo, aunque no hay aún pruebas experimentales de tales predicciones.

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