EPÓNIMOS

 Un epónimo es el nombre de una persona (real o ficticia) que designa a un pueblo, lugar, concepto u objeto de cualquier clase.

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Henry Bessemer
Información personal
Nombre en inglés	Henry Bessemer‎
Nacimiento	19 de enero de 1813  Charlton (Reino Unido)
Fallecimiento	15 de marzo de 1898  (85 años) Londres (Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda)
Sepultura	Cementerio de West Norwood
Nacionalidad	Británica
Información profesional
Ocupación	Ingeniero, inventor, metalúrgico y empresario
Área	Metalurgia
Miembro de	Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias Royal Society of London (desde 1879)
Distinciones	Knight Bachelor Miembro de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias Miembro de la Royal Society Medalla Albert (1872) Salón Nacional de la Fama de los Inventores (2002)
Firma
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Sir Henry Bessemer (19 de enero de 1813 - 15 de marzo de 1898) fue un inventor británico de ascendencia francesa, cuyo proceso de fabricación siderúrgico se convertiría en la técnica más importante para producir acero en el siglo XIX, utilizándose durante casi cien años (desde 1856 hasta 1950).^[1][2] También desempeñó un papel importante en el establecimiento de la ciudad de Sheffield como un importante centro industrial.^[3]

Anthony Bessemer

El padre de Henry, Anthony Bessemer, nació en Londres en el seno de una familia hugonote, pero se mudó a París cuando tenía unos 21 años.^[4] Fue un inventor que, mientras estaba contratado por la Monnaie de Paris, construyó una máquina para fabricar medallones que podía producir troqueles de acero a partir de un modelo más grande. Se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias de Francia,^[5] por sus mejoras en el microscopio óptico cuando tenía 26 años. Los acontecimientos de la revolución francesa le obligaron a abandonar París y regresó a Gran Bretaña. Allí inventó un proceso para hacer cadenas de oro, que tuvo éxito y le permitió comprar una pequeña propiedad en el pueblo de Charlton, cerca de Hitchin en Hertfordshire, donde nació Henry.^[6][7] Según el propio Bessemer, recibió el nombre de Henry por su padrino, Henry Caslon, quien había empleado a su padre como grabador tipográfico.^[8][9]

Primeros inventos

El invento con el que Bessemer hizo su primera fortuna fue una serie de seis máquinas de vapor para fabricar polvo de bronce, que se utilizaba en la fabricación de pintura dorada. Según relata en su autobiografía,^[10] examinó el polvo de bronce elaborado en Núremberg, que era el único lugar donde se fabricaba en esa época. Luego copió y mejoró el producto, desarrollándolo para que pudiera fabricarse en una línea de producción simple. Fue un ejemplo temprano de ingeniería inversa, proceso en el que se analiza un producto y luego se reconstituye. El proceso se mantuvo en secreto, y solo los miembros de su familia inmediata tenían acceso a la fábrica. El polvo de Núremberg, que se fabricaba a mano, tuvo un gran éxito en el mercado.^[11] Las ganancias de la venta de la pintura le permitieron continuar con sus otros inventos.

También patentó un método para hacer una cinta continua de vidrio plano en 1848, aunque no tuvo éxito comercial (véase su autobiografía, capítulo 8). Pero le sirvió para adquirir experiencia en el diseño de hornos, lo que le sería de gran utilidad para su nuevo proceso de fabricación de acero.

Proceso Bessemer

Artículo principal: Convertidor Bessemer

Convertidor Bessemer

Bessemer trabajó en el problema de la fabricación de acero barato para la construcción de piezas de artillería desde 1850 hasta 1855, cuando patentó su método.^[12]

El 24 de agosto de 1856, Bessemer describió por primera vez el proceso durante una reunión de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia en Cheltenham, ponencia a la que tituló "La fabricación de hierro y acero maleable sin combustible". El trabajo se publicó completo en The Times. El convertidor Bessemer se valía del uso del oxígeno del aire soplado a través de arrabio fundido para quemar las impurezas y así crear acero.^[13] James Nasmyth había estado trabajando en una idea similar durante algún tiempo con anterioridad. Reacio a registrar patentes, y todavía trabajando en algunos problemas que presentaba su método, Nasmyth abandonó el proyecto después de escuchar en la reunión a Bessemer, quien reconoció los esfuerzos de Nasmyth ofreciéndole una participación de un tercio del valor de su patente, pero este rechazó el ofrecimiento cuando estaba a punto de retirarse.^[14]

Convertidor Bessemer en el Museo de Kelham Island en Sheffield (2010)

Muchas industrias se veían limitadas por la falta de acero, produciendo sobre todo hierro forjado y fundición de hierro, cuya naturaleza traicionera como material con el que se estaban construyendo puentes y vías del ferrocarril estaba siendo lamentada por muchos ingenieros y diseñadores. De hecho, se habían producido numerosos graves accidentes cuando las vigas de hierro fundido colapsaban repentinamente, como en el desastre del puente del Dee de mayo de 1847, el colapso del puente de Wootton y el accidente del puente de Bull en 1860. El problema se repitió en el desastre del puente del Tay de 1879 y los accidentes continuaron hasta que todos los puentes de hierro fundido fueron reemplazados por otros de acero. Las estructuras de hierro forjado eran mucho más fiables, y experimentaron muy pocos fallos.

Aunque este proceso ya no se usa comercialmente, en el momento de su invención tenía una enorme importancia industrial porque reducía el costo de producción del acero, lo que llevó a que este material sustituyera ampliamente a la fundición de hierro y al hierro forjado. La atención de Bessemer se centró en el problema de la fabricación de acero en el curso de un intento por mejorar la construcción de armas.^[15]

Desarrollo

Caricatura de Bessemer por Leslie Ward en Vanity Fair, 6 de noviembre de 1880

Bessemer licenció la patente de su proceso a cinco fundiciones, pero desde el principio, las empresas tuvieron grandes dificultades para producir acero de buena calidad.^[16] Göran Fredrik Göransson, un maestro de forja sueco, utilizando el arrabio puro de su país, fue el primero en obtener buenos resultados con el método de Bessemer, pero solo después de muchos intentos. Sus resultados impulsaron a Bessemer a probar un hierro puro obtenido de la hematita procedente de Cumberland, pero incluso con este mineral de gran calidad solo tuvo un éxito limitado^[15] porque la cantidad de carbono era difícil de controlar. Robert Forester Mushet había llevado a cabo miles de experimentos en Darkhill Ironworks, en el bosque de Dean, y había demostrado que la cantidad de carbono podía controlarse quitando casi todo su contenido del hierro y luego agregando una cantidad exacta de carbono y manganeso, en forma de hierro de espejo. Esto mejoró la calidad del producto terminado y aumentó su maleabilidad.^[17][18][19]

Cuando Bessemer trató de introducir su sistema mejorado entre los fabricantes, se encontró con un rechazo general y, finalmente, se vio obligado a emprender él mismo la explotación del proceso. Levantó su acería en Sheffield formsndo una sociedad comercial con otros socios, como W & J Galloway & Sons, y comenzó a fabricar acero. Al principio, la producción era insignificante, pero gradualmente la magnitud de las operaciones se amplió hasta que la competencia se hizo efectiva, y los comerciantes de acero en general se dieron cuenta de que la empresa Henry Bessemer & Co. estaba vendiendo su metal a un precio inferior de entre 10 y 15 libras esterlinas la tonelada. Este argumento económico surtió efecto rápidamente, y se solicitaron licencias en tal cantidad que, en derechos por el uso de su proceso, Bessemer recibió una suma que superó considerablemente el millón de libras esterlinas.^[15]

Desde alrededor de 1865 explotó otra acería en Greenwich, Londres, junto al río Támesis.^[20]

Sin embargo, Mushet no recibió porcentaje alguno por su trabajo y en 1866 se encontraba desamparado y enfermo. En ese año su hija de 16 años, Mary, viajó sola a Londres para hablar con Bessemer en sus oficinas, argumentando que su éxito se basaba en los resultados del trabajo de su padre.^[10] Bessemer decidió dotar a Mushet con una pensión anual de 300 libras esterlinas, una suma muy considerable, que pagó durante más de 20 años; posiblemente con el fin de evitar que los Mushet emprendan acciones legales.^[10]

W.M. Lord afirmó con respecto a este éxito que "Sir Henry Bessemer fue algo excepcional. Había desarrollado su proceso desde una idea hasta convertirla en una realidad práctica a lo largo de su vida, y era un hombre de negocios suficientemente capaz como para haberse beneficiado de ello. En otros muchos casos, las invenciones no se desarrollaron rápidamente y el fruto del trabajo de los inventores fue a parar a otras personas además de a ellos mismos".^[14]

Otros inventos

Bessemer fue un inventor prolífico y poseía al menos 129 patentes, que abarcan desde 1838 hasta 1883. Incluyen artillería militar, troqueles móviles para sellos postales en relieve, una extrusora de tornillo para extraer azúcar de la caña de azúcar y otras ideas novedosas en los campos de la metalurgia del hierro y del acero, y las lentes, que se describen con cierto detalle en su autobiografía.

Después de sufrir mareos durante una travesía en 1868, diseñó el SS Bessemer (también llamado "Bessemer Saloon"), un barco de vapor de pasajeros que disponía de una cabina sobre una suspensión cardán diseñada para mantenerla nivelada, sin importar cuán agitado estuviera el mar, evitando a sus pasajeros el mareo. El mecanismo hidráulico controlado por un timonel que vigilaba un nivel de burbuja, funcionó en forma de modelo y en una versión de prueba construida en su jardín en Denmark Hill, Londres. Sin embargo, nuncamse sometió a una prueba de navegación adecuada, ya que, cuando el barco derribó parte del muelle de Calais en su viaje inaugural, se perdió la confianza de los inversores y el barco acabaría siendo desguazado.^[21]

Bessemer también obtuvo una patente en 1857 para la fundición de metal entre rodillos contrarrotativos, un precursor de los procesos de moldeado continuo actuales y, sorprendentemente, la idea original de Bessemer se emplea en la fundición directa continua de piezas de acero planas.

En sus últimos años continuó inventando y haciendo descubrimientos. Construyó un horno solar y un telescopio astronómico para su propia diversión; y desarrolló un conjunto de máquinas para pulir diamantes que contribuyeron a restablecer este comercio en Londres.

EL EPÓNIMO ES :

Convertidor Bessemer, Kelham Island Museum, Sheffield, Inglaterra (2002).

El procedimiento Bessemer^[1] fue el primer proceso de fabricación químico que sirvió para la fabricación en serie de acero, fundido en lingotes, de buena calidad y con poco costo a partir del arrabio. Este procedimiento fue llamado así en honor de Henry Bessemer, quien reclamó la patente el 10 de enero de 1855 y la utilizó a través de la Henry Bessemer and Company, sociedad implantada en Sheffield, ciudad del Norte de Inglaterra.

El procedimiento fue descubierto de forma independiente en 1851 por William Kelly,^[2][3] y también había sido usado fuera de Europa durante cientos de años, pero no a una escala industrial.^[4] El principio clave es la retirada de impurezas del hierro mediante la oxidación producida por el insuflado de aire en el hierro fundido. La oxidación causa la elevación de la temperatura de la masa de hierro y lo mantiene fundido.

El convertidor

El convertidor es un horno giratorio en forma de retorta, de cuello ancho. En él se lleva a cabo el procedimiento.

Este aparato es de palastro,^{[nota 1]} y está revestido interiormente de ladrillos refractarios. Estos ladrillos, para el proceso ácido (en el denominado convertidor Bessemer propiamente dicho), se hacen de cuarcita, arcilla y una pequeña cantidad de arcilla refractaria, que son mezcladas y sometidas a calcinación.

Para el proceso básico (en el denominado convertidor Thomas) se hacen de dolomía calcinada (óxido de calcio y magnesio), reducida a polvo y aglomerada con alquitrán. Después se llevan a la prensa hidráulica, donde son fuertemente comprimidos. Otras veces se comprimen en matrices metálicas y después se calcinan.

Convertidor Bessemer (figura 1).

El fondo C del convertidor (figura 1), o está unido invariablemente al cuerpo principal o puede quitarse para arreglar el revestimiento refractario, en el cual hay alojamientos cónicos para recibir siete toberas, atravesadas cada una por siete y hasta trece conductos cilíndricos de 9 a 12 mm de diámetro, por los que penetra el aire.

Mediante el empleo de una plataforma movida hidráulicamente, se pone la caja de viento D, que descansa sobre rodillos, en contacto con el fondo del convertidor. Este está sostenido por medio de dos muñones a y b que se apoyan sobre los soportes E. El aire, procedente del conducto F, pasa por el tubo c y de aquí a la cámara anular que rodea el muñón a; y atravesando el tubo c por medio de la brida f, y desde aquella pasa al convertidor por las toberas.

La regulación del aire la hace un operario por medio de una válvula situada en el tubo portavientos, o bien se obtiene automáticamente al hacer girar el convertidor alrededor de su eje, mediante un anillo excéntrico colocado en el muñón a. El cual, al girar, levanta o baja una palanca y, por lo tanto, sube o baja la válvula situada en G, que puede interceptar la entrada del viento en el tubo c. Y que tiende siempre a descender bajo la acción del peso.

El giro del convertidor se efectúa mediante el engranaje de un piñón H fijo al muñón b, con una cremallera g unida al émbolo de una prensa hidráulica. En los convertidores grandes se usa vapor para poner la prensa en acción. En los pequeños basta un volante movido a mano.

Los convertidores pequeños tiene una cabida de 1 tonelada, y los grandes hasta 8. Uno de estos, por ejemplo, de 5000 a 6000 kilogramos, tiene un diámetro en su parte media de 1,50 a 2 metros, y de 0,8 a 1 m de altura.

Disposición de convertidores Bessemer (figura 2)

Valiéndose de un canal revestido de arcilla refractaria, se hace entrar al convertidor, que estará inclinado, la fundición líquida, que procede directamente del alto horno o de un cubilote. Se hace bascular el horno, dando al mismo tiempo entrada automáticamente al aire. El cuello B´' de la retorta A´ se encuentra entonces debajo de una campana K´ que se comunica con la chimenea L´ (véase figura 2).

Después de haber efectuado la descarburación^{[nota 2]} completa de la fundición, se introduce por la boca del convertidor, inclinándolo, la aleación de ferromanganeso (Spiegeleisen)^{[nota 3]} o de ferrosilicio calentados de antemano; se vuelve a levantar el convertidor y se da entrada al aire, si es necesario durante 2 o 3 segundos, dejando luego reposar el baño metálico de 5 a 10 minutos, cerrando la entrada al aire para dar lugar al desprendimiento de los gases que hayan sido absorbidos. Se inclina luego el aparato, vertiendo su contenido en el caldero de colada, que está sostenido por una plataforma, unida al extremo del vástago, de una grúa hidráulica P, que puede subir y bajar. Q es un contrapeso situado al otro extremo de la plataforma, que puede hacerse mayor o menor según el contenido del caldero (véase figura 2).

Para llenar los moldes y lingoteras, preparados bien en la fosa semicircular alrededor de la grúa, se levanta el tapón h de un agujero que hay en el fondo del caldero de colada. Este se coloca sucesivamente encima de los moldes, mediante el movimiento semicircular de la plataforma que produce un operario haciendo girar el volante i, que arrastra el piñón k, el cual engrana a su vez con la rueda dentada l (véase figura 2).

Diagrama de un convertidor Bessemer

Para limpiar el caldero se inclina, lo que se consigue moviendo el otro volante n´ que arrastra la palanca m; o es un mantelete de chapa que protege a los operarios que hacen girar la plataforma;p p´ es el alojamiento del cilindro de la máquina hidráulica antes mencionada (véase figura 2).

Se empezó a operar en los convertidores Bessemer con cargas de 3 toneladas, que con el tiempo llegaron a ser de 8 a 10, incluso más.

Al principio se instalaban sin excepción 2 convertidores (en la figura 2 hay dos), a lo sumo 3, de los cuales uno trabajaba mientras los otros estaban de reserva. Con el tiempo se instalaron en número variable, alineados uno al lado del otro, disponiéndose la fosa de colada delante de ellos o a sus costados.

Hubo tendencia a suprimir la fosa de colada, que antes se hacía siempre, por lo general de una profundidad de 1 a 1,5 m. La colada se hacía sobre el suelo del taller y los convertidores se colocaban algo más elevados. En los siglos XIX e inicios del XX, por regla general se prefería colocar lingoteras de pequeñas proporciones y así se repartía el contenido de un convertidor en 6 o 7 lingoteras de 1 a 2 toneladas que, mediante trenes de laminado, se dejaban con la forma y grueso deseados.

Similares al convertidor Bessemer se han construido gran número de convertidores, en los cuales la operación es idéntica y no se diferencian más que en sus proporciones menores y en la mayor acción productiva.

Pequeños convertidores Bessemer

Convertidor Bessemer sueco

Los pequeños convertidores Bessemer son de una instalación mucho más sencilla y económica. El modo de conducir la operación es la misma que la descrita.

Uno de los tipos más populares es el convertidor sueco, que se compone de una cámara B cuya boca A se prolonga en forma de cuello. En C hay una tolva para la carga, estando representada en H la caja de vientos. De esta parten las toberas que penetran lateralmente y con una ligera inclinación en el cuerpo del convertidor. Esta disposición permite conservar el baño metálico a una altura uniforme y asegurar un contacto prolongado de la fundición con el aire, y también trabajar a menor presión. La carga de este convertidor es de tonelada y media.

Convertidor Thomas

Artículo principal: Convertidor Thomas

El convertidor Thomas,^[1] inventado en 1877 por Sidney Thomas y su primo Percy Gilchrist, es una modificación del convertidor Bessemer, ideado para poder aprovechar el mineral de hierro con un elevado contenido en fósforo, un elemento cuya presencia indeseable en el acero lo convierte en un material duro pero muy quebradizo. Se caracterizaba porque la cubeta estaba revestida con una mezcla de materiales de pH básico a base de dolomía y de alquitrán, que permitía eliminar del acero el fósforo presente en el mineral de hierro.

El fósforo contenido en el arrabio, convertido a óxido de fósforo(V) se combinaba con la caliza presente en la escoria agregada para formar la escoria de Thomas, que una vez triturada finamente se vendía como fertilizante agrícola fosfatado.

Pierre Bézier
Información personal
Nacimiento	1 de septiembre de 1910  XIV Distrito de París (Sena, Francia)
Fallecimiento	25 de noviembre de 1999  (89 años) Bures-sur-Yvette (Essonne, Francia)
Sepultura	Cementerio de Gallardon
Residencia	Francia
Nacionalidad	Francesa
Educación
Educado en	Universidad de París Lycée Jean-Baptiste-Say Arts et Métiers (1927-1930) École Supérieure d'Électricité (1930-1931) Universidad de Poitiers (Doc. en Matemáticas; hasta 1969) Universidad Pierre y Marie Curie (Doc. en Física; hasta 1977)
Información profesional
Ocupación	Ingeniero, matemático e informático teórico
Área	Matemáticas
Empleador	Conservatorio Nacional de Artes y Oficios Renault (1933-1975)
Obras notables	Curva de Bézier
Distinciones	Caballero de la Orden Nacional de la Legión de Honor Cruz de guerra 1939-1945 Premio Nessim-Habif (1972)
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Pierre Bézier (París, 4 de diciembre de 1910 - Bures-sur-Yvette, Francia, 25 de noviembre de 1999) fue un ingeniero francés, creador de las llamadas curvas y superficies de Bézier. En la actualidad se usan de manera habitual en la mayoría de los programas de diseño gráfico y de diseño CAD.

Trayectoria

Bézier nació en París el 1 de septiembre de 1910. Obtuvo el título de ingeniero mecánico de la École nationale supérieure d'arts et métiers en 1930 y, un año más tarde, el título de ingeniero eléctrico por la École supérieure d'électricité, doctorándose en matemáticas por la Universidad de París en 1977.

Trabajó para la Renault en el periodo 1933 a 1975, donde desarrolló un sistema de diseño asistido por ordenador denominado UNISURF CAD, patentado en 1968. Hizo toda su carrera en el puesto de director de métodos mecánicos. Al final de su carrera, por discordancias con sus superiores, pudo concentrarse en la modelización de superficies.

Desde 1968 a 1979 fue profesor de ingeniería de producción en el Conservatoire National des Arts et Métiers.

En 1985 fue reconocido por la ACM SIGGRAPH con un premio Steven Anson Coons por sus contribuciones, a lo largo de su vida, en los gráficos generados por ordenador y en las técnicas interactivas.

EL EPÓNIMO ES :

Construcción de una curva de Bézier

Las curvas de Bézier son un tipo de curvas paramétricas polinómicas utilizadas en diseño asistido por computador (CAD), gráficos por computadora y animación. Fueron desarrolladas a partir de la década de 1960 para el trazado de dibujos técnicos en la industria aeronáutica y automotriz. Su nombre proviene del ingeniero francés Pierre Bézier, quien ideó este método de representación matemática mientras trabajaba en Renault, y lo popularizó en los sistemas de diseño asistido por computadora. De forma independiente, Paul de Casteljau, en Citroën, había desarrollado un método equivalente, aunque su trabajo permaneció inédito durante años.

Historia

Las curvas de Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés, Pierre Bézier y posteriormente, trabajando en la Renault, las usó con abundancia en el diseño de las diferentes partes del automóvil. Las curvas fueron desarrolladas por Paul de Casteljau usando el algoritmo que lleva su nombre. Se trata de un método numéricamente estable para evaluar las curvas de Bézier.

Posteriormente, los inventores del PostScript, lenguaje que permitió el desarrollo de sistemas de impresión de alta calidad desde el ordenador, introdujeron en ese código el método de Bézier para la generación del código de las curvas y los trazados. El lenguaje PostScript sigue empleándose ampliamente y se ha convertido en un estándar de calidad universal; por ello, los programas de diseño vectorial como Adobe Illustrator, el extinto Macromedia FreeHand y Corel Draw, tres de los programas más importantes de dibujo vectorial y otros como Inkscape, denominan «bézier» a algunas de sus herramientas de dibujo, y se habla de «trazados bézier», «pluma bézier», «lápiz bézier», etc. Su facilidad de uso la ha estandarizado en el diseño gráfico, extendiéndose también a programas de animación vectorial, como Adobe Flash, y retoque fotográfico (bitmap), como Photoshop y Gimp, donde se usa para crear trazos, formas cerradas o selecciones.

La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un punto A tiene unas coordenadas (x₁, y₁) y a un punto B le corresponde (x₂,y₂). Para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición. Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva Bézier; los puntos se denominan «puntos de anclaje» o «nodos». La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados «puntos de control», «manejadores» o «manecillas».

Examen de los casos

Curvas lineales de Bézier

Dados los puntos P₀ y P₁, una curva lineal de Bézier es una línea recta entre los dos puntos. La curva viene dada por la expresión:

${\displaystyle \mathbf{B}(t)={\mathbf{P}}_0+({\mathbf{P}}_1-{\mathbf{P}}_0)t=(1-t){\mathbf{P}}_0+t{\mathbf{P}}_1\text{ , }t\in [0,1].}$

Curvas cuadráticas de Bézier

Una curva cuadrática de Bézier es el camino trazado por la función B(t), dados los puntos: P₀, P₁, y P₂,

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=(1-t{)}^2{\mathbf{P}}_0+2t(1-t){\mathbf{P}}_1+t^2{\mathbf{P}}_2\text{ , }t\in [0,1].}$

Las fuentes de letras TrueType usan curvas de Bézier desdobladas compuestas por curvas cuadráticas de Bézier.

Curvas cúbicas de Bézier

Curva cúbica de Bézier donde se aprecian los puntos o nodos de anclaje P₁ y P₂

Cuatro puntos del plano o del espacio tridimensional, P₀, P₁, P₂ y P₃ definen una curva cúbica de Bézier. La curva comienza en el punto P₀ y se dirige hacia P₁ y llega a P₃ viniendo de la dirección del punto P₂. Usualmente, no pasará ni por P₁ ni por P₂. Estos puntos solo están ahí para proporcionar información direccional. La distancia entre P₀ y P₁ determina «qué longitud» tiene la curva cuando se mueve hacia la dirección de P₂ antes de dirigirse hacia P₃.

La forma paramétrica de la curva es:

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=(1-t{)}^3{\mathbf{P}}_0+3t(1-t{)}^2{\mathbf{P}}_1+3t^2(1-t){\mathbf{P}}_2+t^3{\mathbf{P}}_3\text{ , }t\in [0,1].}$

Los modernos sistemas de imágenes como PostScript, Asymptote y Metafont usan curvas de Bézier desdobladas, compuestas por curvas cúbicas de Bézier para dibujar las formas de las curvas.

Generalización

La generalización pasaría a ser las curvas denominadas "Spline", es decir la curva cúbica de Bézier es un Spline de tercer grado. La curva de Bézier de grado ${\displaystyle n}$ puede ser generalizada de la siguiente manera. Dados los puntos P₀, P₁,..., P_n, la curva de Bézier es del tipo:

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}){\mathbf{P}}_i(1-t{)}^{n-i}{t}^i={\mathbf{P}}_0(1-t{)}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}){\mathbf{P}}_1(1-t{)}^{n-1}t+\cdots +{\mathbf{P}}_n{t}^n\text{ , }t\in [0,1].}$

Por ejemplo, una curva de orden cinco (${\displaystyle n=5}$) quedaría como:

${\displaystyle \mathbf{B}(t)={\mathbf{P}}_0(1-t{)}^5+5{\mathbf{P}}_{1}t(1-t{)}^4+10{\mathbf{P}}_2{t}^2(1-t{)}^3+10{\mathbf{P}}_3{t}^3(1-t{)}^2+5{\mathbf{P}}_4{t}^4(1-t)+{\mathbf{P}}_5{t}^5\text{ , }t\in [0,1].}$

Esta ecuación puede ser expresada de manera recursiva como sigue: sea la expresión ${\displaystyle {\mathbf{B}}_{{\mathbf{P}}_0{\mathbf{P}}_1\dots {\mathbf{P}}_n}}$ que denota la curva de Bézier determinada por los puntos P₀, P₁,..., P_n. Entonces

${\displaystyle \mathbf{B}(t)={\mathbf{B}}_{{\mathbf{P}}_0{\mathbf{P}}_1\dots {\mathbf{P}}_n}(t)=(1-t){\mathbf{B}}_{{\mathbf{P}}_0{\mathbf{P}}_1\dots {\mathbf{P}}_{n-1}}(t)+t{\mathbf{B}}_{{\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\dots {\mathbf{P}}_n}(t)}$

En otras palabras, el grado ${\displaystyle n}$ de la curva de Bézier es una interpolación entre los dos grados ${\displaystyle n-1}$ de las curvas de Bézier.

Terminología

Existe una terminología asociada exclusivamente para este tipo de curvas. Se tiene:

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=\sum _{i=0}^n{\mathbf{P}}_i{\mathbf{b}}_{i,n}(t),t\in [0,1]}$

donde las polinomiales

${\displaystyle {\mathbf{b}}_{i,n}(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})t^i(1-t{)}^{n-i},i=0,\dots n}$

son conocidas como polinomios de Bernstein de grado n, definidos por 0⁰ = 1.

Los puntos P_i son llamados puntos de control de las curvas de Bézier. El polígono formado por la conexión de los puntos de Bézier con rectas, comenzando por P₀ y terminando en P_n, se denomina polígono de Bézier (o polígono de control). La envolvente convexa del polígono de Bézier contiene las curvas de Bézier.

Notas

• La curva de Bézier se encuentra en el interior de la envolvente convexa de los puntos de control.
• La curva de Bézier es infinitamente derivable.
• El control de la curva es global. Modificar un punto de control implica modificar completamente la curva.
• Para efectuar una transformación afín de la curva es suficiente efectuar la transformación sobre todos los puntos de control.
• La curva comienza en el punto P₀ y termina en el P_n. Esta peculiaridad es llamada interpolación del punto final.
• La curva es un segmento recto si, y solo si, todos los puntos de control están alineados.
• El comienzo (final) de la curva es tangente a la primera (última) sección del polígono de Bézier.
• Una curva puede ser desdoblada en algunos puntos en dos curvas, o de manera arbitraria en tantas curvas como se quieran, cada una de las cuales es una nueva curva de Bézier.
• Algunas curvas que parecen simples, tales como una circunferencia, no pueden ser descritas de manera exacta mediante curvas de Bézier o segmentos de esta clase de curvas (por raro que parezca una curva formada a su vez por cuatro segmentos de curva puede aproximarse a un círculo, con un error radial máximo menor de una parte por mil, en cada punto de control interno la distancia es ${\displaystyle \left(\frac{4}{3}\sqrt{2}-1\right)}$ de manera horizontal o vertical de un punto de control del exterior sobre el círculo unidad).
• La curva compensada obtenida a partir de una curva de Bézier dada, frecuentemente llamada curva compensada (falsa "paralela" a la curva original, como los raíles en una vía de tren) no puede ser trazada de manera exacta mediante curvas de Bézier. De todas formas hay métodos heurísticos que proporcionan, normalmente, una aproximación adecuada en algunos propósitos prácticos.

Construcción de curvas de Bézier

Curvas lineales

La ${\displaystyle t}$ en la función para la curva lineal de Bézier se puede considerar como un descriptor de lo lejos que está ${\displaystyle B(t)}$ de ${\displaystyle P_0}$ a ${\displaystyle P_1}$. Por ejemplo cuando ${\displaystyle t=0.25}$, ${\displaystyle B(t)}$ es un cuarto de la longitud entre el punto ${\displaystyle P_0}$ y el punto ${\displaystyle P_1}$. Como ${\displaystyle t}$ varía entre 0 y 1, ${\displaystyle B(t)}$ describe una línea recta de ${\displaystyle P_0}$ a ${\displaystyle P_1}$.

Curvas cuadráticas

Para curvas cuadráticas se pueden construir puntos intermedios desde ${\displaystyle Q_0}$ a ${\displaystyle Q_1}$ tales que ${\displaystyle t}$ varía de 0 a 1: Punto ${\displaystyle Q_0}$ varía de ${\displaystyle P_0}$ a ${\displaystyle P_1}$ y describe una curva lineal de Bézier. Punto ${\displaystyle Q_1}$ varía de ${\displaystyle P_1}$ a ${\displaystyle P_2}$ y describe una curva lineal de Bézier. Punto ${\displaystyle B(t)}$ varía de ${\displaystyle Q_0}$ a ${\displaystyle Q_1}$ y describe una curva cuadrática de Bézier.

Curvas de órdenes superiores

Para curvas de orden superior se necesitan, lógicamente, más puntos intermedios. Para curvas cúbicas se pueden localizar puntos intermedios Q0, Q1 y Q2 que describen las curvas lineales de Bézier y los puntos R0 y R1 que describen las curvas cuadráticas:

Y para curvas de grado 4, se pueden localizar los puntos intermedios Q0, Q1, Q2 y Q3 que describen las curvas lineales de Bézier, los puntos R0, R1 y R2 que describen las curvas cuadráticas y los puntos S0 y S1 que describen las curvas cúbicas.

Aplicaciones

Gráficos de ordenador

Las curvas de Bézier han sido ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para modelado de curvas suaves. Como la curva está completamente contenida en la envolvente convexa de los puntos de control, dichos puntos pueden ser visualizados gráficamente sobre el área de trabajo y usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. Las transformaciones afines tales como traslaciones y rotaciones pueden ser aplicadas, con gran facilidad, a las curvas, aplicando las transformaciones respectivas sobre los puntos de control.

Las curvas cuadráticas y cúbicas son muy corrientes. Las curvas de grados superiores son más difíciles de evaluar. Cuanto más complejas son las superficies que se necesitan, las curvas de bajo orden son menos apropiadas. Para garantizar la suavidad de las curvas el punto de control en el que se juntan dos curvas y el punto de control sobre cualquiera de los lados debe ser colineal. Esta opción está frecuentemente desactivada en programas como Adobe Illustrator o Inkscape. Estas curvas poli-Bézier pueden ser observadas en el formato de archivo SVG.

El método más simple para rasterizar una curva de Bézier es evaluarla en muchos puntos espaciados, muy próximos entre sí, y escanearla aproximando la secuencia de segmentos lineales.

Esta manera de proceder no garantiza un resultado con la suficiente suavidad porque los puntos pueden estar espaciados demasiado separados. A la inversa, se pueden generar bastantes puntos de control en áreas donde la curva está cercana a la forma lineal.

Un método adoptado, muy común, es la subdivisión recursiva, en el que los puntos de control de la curva son ajustados para ver si la curva se aproxima a segmentos lineales sin pequeñas tolerancias. Si esto no se logra, la curva es subdividida paramétricamente en dos segmentos ${\displaystyle 0\le t\le 0.5}$ y ${\displaystyle 0.5\le t\le 1}$ y el mismo procedimiento se aplica por recursividad a cada mitad.

También hay métodos que usan la diferenciación, pero se debe tener cuidado y analizar los errores de propagación. Los métodos analíticos donde un desdoble es intersecado con cada línea escaneada hallando raíces de polinomios de grado tres (por segmentación cúbica) y con múltiples raíces, pero no son frecuentes en la práctica.

Síntesis de sonido

La síntesis de Bézier es un nuevo método de síntesis de ondas sonoras que se puede usar para crear sonidos usando curvas de Bézier.

Ejemplo de código

El código que se lista a continuación es un ejemplo práctico que muestra como se traza una curva cúbica de Bézier en un programa usando lenguaje de programación C. Nótese que este simplemente calcula los coeficientes de un polinomio y se ejecuta a través de una serie de valores de ${\displaystyle t}$ comprendidos en el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$. En la práctica no es como se procede de manera normal. Con frecuencia, una solución recursiva es más rápida, consumiendo menos ciclos de procesador y a expensas de requerir más memoria para el cálculo, de manera temporal. Incluso el método directo ilustrado aquí es más fácil de comprender y produce el mismo resultado. El siguiente código ha sido compilado para hacer esta operación más clara. En la práctica una optimización podría ser calcular los coeficientes una vez y posteriormente usar los resultados para reprocesarlos y calcular los puntos de la curva. Aquí son recalculados cada vez, lo que es menos eficiente pero ayuda a clarificar el código.

La curva resultante puede ser trazada dibujando líneas entre puntos sucesivos en la matriz de la curva. A más puntos más suavidad en la silueta de la curva.

En algunas arquitecturas, el código de abajo puede ser optimizado también por programación dinámica. Por ejemplo donde ${\displaystyle dt}$ es constante, ${\displaystyle cx\ast t}$ cambia una cantidad constante con cada iteración. Por aplicación repetida, el bucle puede ser reescrito sin ninguna multiplicación, aunque tal procedimiento no es numéricamente estable.

/*
Código para generar una curva cúbica de Bézier
*/

typedef struct
{
    float x;
    float y;
}
Point2D;

/*
cp es una matriz de 4 elementos donde:
cp[0] es el primer punto, o P0 en el diagrama de abajo
cp[1] es el primer punto de control, o P1 en el diagrama de abajo
cp[2] es el segundo punto de control, o P2 en el diagrama de abajo
cp[3] es el punto final, o P3 en el diagrama de abajo
t es el valor del parámetro, 0 <= t <= 1
*/

Point2D PointOnCubicBezier( Point2D* cp, float t )
{
    float   ax, bx, cx;
    float   ay, by, cy;
    float   tSquared, tCubed;
    Point2D result;

    /* cálculo de los coeficientes polinomiales */

    cx = 3.0 * (cp[1].x - cp[0].x);
    bx = 3.0 * (cp[2].x - cp[1].x) - cx;
    ax = cp[3].x - cp[0].x - cx - bx;
	
    cy = 3.0 * (cp[1].y - cp[0].y);
    by = 3.0 * (cp[2].y - cp[1].y) - cy;
    ay = cp[3].y - cp[0].y - cy - by;
	
    /* calculate the curve point at parameter value t */
	
    tSquared = t * t;
    tCubed = tSquared * t;
	
    result.x = (ax * tCubed) + (bx * tSquared) + (cx * t) + cp[0].x;
    result.y = (ay * tCubed) + (by * tSquared) + (cy * t) + cp[0].y;
	
    return result;
}

/*
 ComputeBezier fills an array of Point2D structs with the curve 
 points generated from the control points cp. Caller must 
 allocate sufficient memory for the result, which is 
 <sizeof(Point2D) numberOfPoints>
*/

void ComputeBezier( Point2D* cp, int numberOfPoints, Point2D* curve ) {
    float   dt;
    int	  i;

    dt = 1.0 / ( numberOfPoints - 1 );

    for( i = 0; i < numberOfPoints; i++)
        curve[i] = PointOnCubicBezier( cp, i*dt );
}

Otra aplicación de las curvas de Bézier es la descripción de los pasos para el movimiento de objetos en animaciones, etc. Aquí la x y las posiciones de la curva no son usadas para trazar la curva pero sí la posición en la gráfica. Cuando se usa de este modo, la distancia entre puntos sucesivos puede llegar a ser muy importante y, en general, estos no están espaciados de manera ecuánime. Si se requiere una linealidad en el movimiento, para procesar el cálculo más rápido, incluso en contra del camino deseado es necesario desdoblar los puntos resultantes.

Curvas racionales de Bézier

Este tipo de curvas ajustan automáticamente los coeficientes de las ecuaciones paramétricas para obtener una aproximación a una figura arbitraria. El numerador es una ponderación de una curva Bézier en su forma de Berstein y el denominador es una suma ponderada de polinomios de Berstein.

Dados n + 1 puntos de control P_i, la curva racional puede ser descrita por:

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=\frac{\sum _{i=0}^n{b}_{i,n}(t){\mathbf{P}}_i{w}_i}{\sum _{i=0}^n{b}_{i,n}(t)w_i}}$

o simplemente:

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=\frac{\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})t^i(1-t{)}^{n-i}{\mathbf{P}}_i{w}_i}{\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})t^i(1-t{)}^{n-i}{w}_i}.}$