EPÓNIMOS

 

Srinivasa Ramanujan
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
Información personal
Nombre en tamil	சீனிவாச இராமானுஜன்,
Nacimiento	22 de diciembre de 1887 Erode, Tamil Nadu, Raj Británico
Fallecimiento	26 de abril de 1920 (32 años) Kumbakonam, Tamil Nadu, Raj Británico
Causa de muerte	Absceso hepático amébico
Residencia	Raj Británico (actual India) Reino Unido
Nacionalidad	indio
Religión	Hindú
Familia
Cónyuge	Janakiammal
Educación
Educado en	Universidad de Cambridge
Supervisores doctorales	G. H. Hardy J. E. Littlewood
Supervisor doctoral	Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littlewood
Alumno de	John Edensor Littlewood
Información profesional
Área	Matemáticas
Conocido por	Suma de Ramanujan Constante de Landau-Ramanujan Constante de Ramanujan-Soldner Identidades de Rogers-Ramanujan
Empleador	Puerto de Chennai (1912-1914) Trinity College (1916-1919)
Obras notables	constante de Landau-Ramanujan Función theta de Ramanujan identidades de Rogers-Ramanujan constante de Ramanujan-Soldner número de Hardy-Ramanujan Suma de Ramanujan Ecuación de Ramanujan–Nagell número primo de Ramanujan Conjetura de Ramanujan–Petersson sumatorio de Ramanujan grafo de Ramanujan Fracción continua de Rogers-Ramanujan Series de Ramanujan-Sato función tau de Ramanujan forma cuadrática ternaria de Ramanujan Teorema maestro de Ramanujan
Miembro de	Royal Society de Londres
Distinciones	Miembro de la Royal Society (1918) Miembro del Trinity College (1918)
Firma
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Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan (/ʃriːnivɑːsə rɑːmɑːnʊdʒən/^ⓘ en tamil: ஸ்ரீனிவாஸ ஐயங்கார் ராமானுஜன், transliterado: Srinivasa Ramanujan Iyengar o simplemente como Ramanujan; Erode, Tamil Nadu, 22 de diciembre de 1887- Kumbakonam, Tamil Nadu, 26 de abril de 1920) fue un matemático autodidacta indio que, con una mínima educación académica en matemáticas puras, hizo contribuciones extraordinarias al análisis matemático, la teoría de números, las series y las fracciones continuas.

Ramanujan desarrolló inicialmente su propia investigación matemática en forma aislada, que fue rápidamente reconocida por los matemáticos indios. Cuando sus habilidades se hicieron evidentes para una comunidad matemática más amplia, centrada en Europa en ese momento, comenzó su famosa colaboración con el matemático británico G. H. Hardy. Redescubrió teoremas conocidos previamente, además de formular numerosas nuevas proposiciones.

Durante su corta vida, Ramanujan fue capaz de compilar casi 3900 resultados independientes (en su mayoría identidades y ecuaciones).^[1] Casi todos sus hallazgos se han demostrado válidos, aunque algunos ya eran previamente conocidos.^[2] Logró resultados que eran a la vez originales y muy poco convencionales, como los números primos de Ramanujan y la función theta de Ramanujan, que a su vez han inspirado una gran cantidad de investigaciones posteriores.^[3]

Datos biográficos

Primeros años

Casa de Ramanujan. Sarangapani Street, Kumbakonam

Ramanujan nació el 22 de diciembre de 1887 en Erode, en la provincia de Madrás, por entonces perteneciente al Imperio británico, en la residencia de sus abuelos maternos. Descendiente de una familia de brahmanes,^[4] su padre, K. Srinivasa Iyengar, trabajaba como empleado en una tienda de saris y provenía del barrio de Thanjavur.^[5] Su madre, Komalatammal, era un ama de casa, aficionada a cantar en un templo local.^[6] Vivían en una casa tradicional de la calle Sarangapani de la ciudad de Kumbakonam (la casa de la familia es actualmente un museo). Cuando Ramanujan tenía un año y medio de edad, su madre dio a luz a otro hijo llamado Sadagopan, que murió menos de tres meses después. En diciembre de 1889, Ramanujan padeció la viruela, de la que pudo recuperarse.^[7] Se trasladó con su madre a la casa de sus abuelos maternos en Kanchipuram, cerca de Madrás (ahora Chennai). En noviembre de 1891, y nuevamente en 1894, su madre dio a luz a otros dos hijos, que murieron en la infancia.

El 1 de octubre de 1892, Ramanujan se matriculó en la escuela local.^[8] En marzo de 1894 fue trasladado a una escuela de grado medio. Después de que su abuelo materno perdiera su trabajo como oficial de la corte en Kanchipuram,^[9] Ramanujan y su madre regresaron a Kumbakonam y fue inscrito en la escuela primaria de Kangayan.^[10] Cuando su abuelo paterno murió, fue enviado de vuelta con sus abuelos maternos, quienes entonces vivían en Madrás. La escuela en Madrás no le gustaba, y el joven Ramanujan evitaba acudir a clase siempre que podía. Su familia contrató a un agente de policía local para asegurarse de que asistía a la escuela. Seis meses después, Ramanujan estaba de vuelta en Kumbakonam.^[10]

Dado que el padre de Ramanujan se pasaba en su trabajo la mayor parte del día, fue su madre quien cuidó de él casi en exclusiva cuando era niño. La relación entre ambos fue muy estrecha. Ella fue la que le instruyó en la tradición y en las puranas (literatura tradicional hinduista). Aprendió a cantar canciones religiosas, para asistir a las pujas en el templo, y a mantener determinados hábitos alimentarios propios de la cultura de los brahmanes.^[11] Ramanujan comenzó por fin a rendir satisfactoriamente en la escuela primaria de Kangayan. Justo antes de cumplir diez años, en noviembre de 1897, pasó sus exámenes de primaria en Inglés, Tamil, Geografía y Aritmética, con las mejores calificaciones del distrito.^[12] Ese año, Ramanujan entró en la escuela secundaria superior de la ciudad, donde se encontró con las matemáticas formales por primera vez.^[12]

Con once años, Ramanujan había agotado el conocimiento matemático de dos estudiantes universitarios que eran inquilinos en su casa. Fue más tarde cuando le prestaron un libro de trigonometría avanzada escrito por S. L. Loney.^[13][14] Llegó a dominar por completo este libro con trece años y descubrió teoremas sofisticados por su cuenta. A los catorce años, estaba recibiendo certificados de mérito y premios académicos que continuaron durante toda su carrera escolar y también ayudaba a la dirección de la escuela colaborando en la logística de la asignación de sus 1200 estudiantes (cada uno con sus propias necesidades) a sus poco más de 35 profesores.^[15] Completaba los exámenes matemáticos en la mitad del tiempo asignado, y mostró una sorprendente familiaridad con la geometría y con las series infinitas. Ramanujan fue instruido en cómo resolver ecuaciones cúbicas en 1902 y a continuación encontró su propio método para resolver las de cuarto grado. Al año siguiente, sin saber que la ecuación de quinto grado no podía ser resuelta por radicales como había demostrado Évariste Galois setenta años antes, trató de resolverla por su cuenta.

En 1903, cuando tenía 16 años, Ramanujan obtuvo de un amigo una copia de un libro de G. S. Carr prestado en una biblioteca.^[16][17] El libro, titulado Synopsis of Pure Mathematics, era una colección de 5000 teoremas. Ramanujan estudió los artículos y el contenido del libro en detalle.^[18] Este libro es generalmente reconocido como un elemento clave para despertar el genio de Ramanujan.^[18] Al año siguiente, había trabajado de manera independiente e investigó los números de Bernoulli y había calculado la constante de Euler–Mascheroni con 15 decimales de precisión.^[19] Sus compañeros de aquella época comentaron después que «rara vez lo entendían» y que sentían por él «un temor respetuoso».^[15]

Cuando se graduó en la escuela secundaria en 1904, Ramanujan fue galardonado con el premio de matemáticas K. Ranganatha Rao por el director de la escuela, Krishnaswami Iyer. Iyer distinguió a Ramanujan como un estudiante sobresaliente que merecía una puntuación más alta que la máxima nota posible.^[15] Recibió una beca para estudiar en el Government Arts College de Kumbakonam.^[20][21] Sin embargo, Ramanujan estaba tan concentrado en el estudio de las matemáticas que no era capaz de dedicarse a otros asuntos, hasta el punto de que perdió la beca en el proceso de su tramitación.^[22] En agosto de 1905, se escapó de su casa en dirección a Visakhapatnam y se quedó en Rajahmundry^[23] alrededor de un mes.^[24] Más tarde se matriculó en el Pachaiyappa's College de Madrás. Nuevamente destacó en Matemáticas, pero tuvo problemas con otras materias como la Fisiología. Ramanujan falló en su examen de Fellow of Arts en diciembre de 1906 y de nuevo un año más tarde. Sin un título, dejó la universidad y continuó con la investigación independiente en matemáticas. En este punto de su vida, subsistió en la pobreza extrema y estuvo a menudo al borde de la inanición.^[25]

Edad adulta en la India

El 14 de julio de 1909, Ramanujan se casó con una novia de diez años de edad, Srimathi Janaki (Janakiammal) (21 de marzo de 1899 - 13 de abril de 1994)^[26][27] procedente de Rajendram, un pueblo cercano a la estación de ferrocarril de Marudur (distrito de Karur). El padre de Ramanujan no participó en la ceremonia del matrimonio.^[28]

Después de la unión, Ramanujan desarrolló un hidrocele testis, una hinchazón anormal de la membrana interna de los testículos.^[29] La afección pudo haber sido tratada con una operación quirúrgica de rutina que libera el fluido bloqueado en el saco escrotal, pero su familia carecía del dinero necesario para costear la operación. No fue hasta enero de 1910, cuando un médico se ofreció a hacer la cirugía gratuitamente.^[30]

Después de su cirugía exitosa, Ramanujan buscó un empleo. Se quedó en casa de sus amigos mientras iba de puerta en puerta en torno a la ciudad de Madrás (actualmente Chennai) en busca de un trabajo de oficina. Para conseguir algo de dinero, fue tutor de algunos estudiantes de la Universidad de la Presidencia que se preparaban para su examen de First Arts.^[31]

A finales de 1910, Ramanujan estaba enfermo de nuevo, posiblemente como resultado de la cirugía que se le practicó a principios de año. Temía por su salud, e incluso le llegó a encargar a su amigo, R. Radakrishna Iyer, que "se entregasen [los cuadernos matemáticos de Ramanujan] al profesor Singaravelu Mudaliar [profesor de matemáticas en el Colegio de Pachaiyappa] o al profesor británico Edward B. Ross, del Madras Christian College".^[32] Después de que Ramanujan sanó de nuevo, recuperó sus cuadernos de Iyer y tomó un tren hacia el norte desde Kumbakonam a Viluppuram, una ciudad costera por entonces bajo control francés.^[33][34]

Atención hacia las matemáticas

Ramanujan conoció al alto funcionario V. Ramaswamy Aiyer, que había fundado recientemente la Sociedad Matemática de la India.^[35] Deseando conseguir un trabajo en el departamento de recaudación, donde Ramaswamy Aiyer trabajaba, le mostró sus cuadernos de matemáticas. Como Ramaswamy Aiyer recordó más tarde:

Me llamaron la atención los extraordinarios resultados matemáticos contenidos en ellos [los cuadernos]. Yo no tenía en mente ahogar su genio con un puesto en los peldaños más bajos del departamento de recaudación.^[36]

Ramaswamy Aiyer envió cartas de presentación de Ramanujan a sus amigos matemáticos en Madrás.^[35] Algunos de estos amigos vieron su trabajo y le dieron a su vez cartas de presentación para R. Ramachandra Rao, recaudador del distrito de Nellore y secretario de la Sociedad Matemática de la India.^[37][38][39] Ramachandra Rao quedó impresionado por la investigación de Ramanujan, pero dudaba de que en realidad fuera su propia obra. Ramanujan menciona una correspondencia que tuvo con el profesor Saldhana, un matemático notable de Bombay, en la que Saldhana expresaba una falta de comprensión de su obra, pero llegaba a la conclusión de que Ramanujan no era un farsante.^[40] Su amigo C.V. Rajagopalachari persistió ante Ramachandra Rao y trató de sofocar cualquier duda sobre la integridad académica de Ramanujan. Rao accedió a darle otra oportunidad, y escuchó a Ramanujan disertando sobre integrales elípticas, series hipergeométricas y su teoría de series divergentes. Rao manifestó en última instancia que se había "convertido", y que estaba convencido de la brillantez de la matemática de Ramanujan.^[40] Cuando Rao le preguntó lo que quería, Ramanujan respondió que necesitaba un poco de trabajo y apoyo financiero. Rao estuvo de acuerdo y lo envió a Madrás. Continuó su investigación matemática con la ayuda financiera de Rao cuidando de sus necesidades diarias. Ramanujan, con la ayuda de Ramaswamy Aiyer, pudo publicar su trabajo en el Diario de la Sociedad Matemática de la India.^[41]

Uno de los primeros problemas planteados en la revista fue:

${\displaystyle \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots }}}.}$

Esperó a que llegase una solución durante tres ediciones de la revista, más de seis meses, pero no recibió ninguna. Al final, Ramanujan facilitó la solución al problema. En la página 105 de su primer cuaderno, formuló una ecuación que se podía utilizar para resolver el problema de la sucesión infinita de radicales anidados:

${\displaystyle X+N+A=\sqrt{ax+(n+a{)}^2+x\sqrt{a(x+n)+(n+a{)}^2+(x+n)\sqrt{\cdots }}}}$

Utilizando esta ecuación, la respuesta a la pregunta planteada en el Diario era simplemente 3.^[42]

Ramanujan escribió su primer documento formal para el Diario sobre las propiedades de los números de Bernoulli. Una propiedad que descubrió fue que los denominadores (sucesión A027642 en OEIS) de las fracciones de números de Bernoulli eran siempre divisibles por seis. También ideó un método de cálculo B_n sobre la base de los números de Bernoulli anteriores. Uno de estos métodos era el siguiente:

Se observa que si n es par pero distinto de cero, entonces
(i) B_n es una fracción de Bernoulli y el numerador de ${\displaystyle \frac{B_n}{n}}$ en sus términos más bajos es un número primo,
(ii) el denominador de B_n contiene cada uno de los factores 2 y 3 una vez y solo una vez,
(iii) ${\displaystyle 2^n(2^n-1)\frac{B_n}{n}}$ es un entero y ${\displaystyle 2(2^n-1)B_n}$ consecuentemente es un 'entero impar'.

En su documento de 17 páginas, "Algunas propiedades de los números de Bernoulli", Ramanujan formuló tres pruebas, dos corolarios y tres conjeturas.^[43] Ramanujan al principio redactaba sus artículos con bastantes carencias. Como el editor del 'Diario' M. T. Narayana Iyengar señaló:

Los métodos del señor Ramanujan eran tan escuetos y los textos y su presentación tan faltos de claridad y precisión, que de ordinario [un lector de matemática], poco acostumbrado a este tipo de gimnasia intelectual, apenas podía seguirle.^[44]

Ramanujan escribió más tarde otro artículo y también siguió publicando problemas en el Diario.^[45] A principios de 1912, consiguió un trabajo temporal en la oficina de Contabilidad General de Madrás, con un salario de 20 rupias al mes. Duró allí solo unas semanas,^[46] solicitando entonces un puesto a las órdenes del Jefe de Contabilidad del Trust del Puerto de Madrás. En una carta de fecha 9 de febrero de 1912, Ramanujan escribió:

Sir,
Entiendo que hay una pasantía vacante en su oficina, y le ruego que considere mi solicitud. Tengo aprobado el examen de ingreso y los estudios del First Arts, pero no he podido proseguir mis estudios debido a varias circunstancias adversas. He estado, sin embargo, dedicando todo mi tiempo a las matemáticas y a su desarrollo. Puedo decir que estoy bastante seguro de que puedo hacer justicia a mi trabajo si soy nombrado para el puesto. Me permito confiar en que va a ser lo suficientemente bondadoso como para conferirme el nombramiento.^[47]

Se adjunta a su solicitud una recomendación de E. W. Middlemast, profesor de matemáticas en el Colegio Presidencial de Chennai, quien escribió que Ramanujan era "un joven de capacidad excepcional en Matemáticas".^[48] Tres semanas después de haber mandado la carta, el 1 de marzo, se enteró de que había sido aceptado como auxiliar de contabilidad, con un sueldo de 30 rupias al mes.^[49] En su oficina, Ramanujan completaba su trabajo fácil y rápidamente, por lo que podía pasar el tiempo restante haciendo investigación matemática. El jefe de Ramanujan, Sir Francis Spring, y S. Narayana Iyer, su colega que también era el tesorero de la Sociedad Matemática de la India, animaron a Ramanujan en sus actividades matemáticas.

Contacto con matemáticos británicos

En la primavera de 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rao y E. W. Middlemast trataron de presentar el trabajo de Ramanujan a los matemáticos británicos. Un matemático, M. J. M. Hill del University College de Londres, comentó que los trabajos de Ramanujan "estaban llenos de agujeros",^[50] señalando que aunque Ramanujan tenía "un cierto gusto por las matemáticas, y un poco de habilidad", carecía de la formación académica y de los fundamentos necesarios para ser aceptado por la comunidad matemática.^[51] Aunque Hill no se ofreció a tomar a Ramanujan como estudiante, sí le dio asesoramiento profesional completo y formal en su trabajo. Con la ayuda de amigos, Ramanujan redactó cartas dirigidas a los principales matemáticos de la Universidad de Cambridge.^[52]

Los dos primeros profesores, H. F. Baker y E. W. Hobson, devolvieron los escritos de Ramanujan sin comentarios.^[53] El 16 de enero de 1913, Ramanujan escribió a G. H. Hardy. Viniendo de un matemático desconocido, Hardy pensó en las nueve páginas manuscritas que recibió de Ramanujan como un posible "fraude".^[54] Reconoció algunas de las fórmulas de Ramanujan, pero otras le "parecían casi imposibles de creer".^[55] Uno de estos teoremas que Hardy encontró casi imposibles de creer estaba en la parte inferior de la página tres (válido para 0  < a < b + 1/2):

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1+x^2/(b+1{)}^2}{1+x^2/(a{)}^2}\times \frac{1+x^2/(b+2{)}^2}{1+x^2/(a+1{)}^2}\times \cdots dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\times \frac{\mathrm{\Gamma }(a+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(b+1)\mathrm{\Gamma }(b-a+1)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(b-a+\frac{1}{2})}.}$

Hardy también quedó impresionado por algunos de los trabajos de Ramanujan en relación con las series infinitas:

${\displaystyle 1-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+9{\left(\frac{1\times 3}{2\times 4}\right)}^3-13{\left(\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}\right)}^3+\cdots =\frac{2}{\pi }}$

${\displaystyle 1+9{\left(\frac{1}{4}\right)}^4+17{\left(\frac{1\times 5}{4\times 8}\right)}^4+25{\left(\frac{1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}\right)}^4+\cdots =\frac{2^{\frac{3}{2}}}{{\pi }^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}.}$

El primer resultado ya había sido determinado por un matemático llamado Bauer. El segundo era nuevo para Hardy, y se deriva de una clase de funciones llamadas series hipergeométricas que primero habían sido investigadas por Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss. En comparación con el trabajo de Ramanujan en integrales, Hardy encontró estos resultados "mucho más intrigantes".^[56] Después vio los teoremas de Ramanujan en fracciones continuas en la última página de los manuscritos, y comentó que "[los teoremas] me derrotaron por completo, yo nunca había visto antes nada parecido en absoluto".^[57] Se imaginó que los teoremas de Ramanujan "deben ser verdad, porque, si no eran ciertos, nadie tendría la imaginación necesaria para inventárselos".^[57] Hardy pidió a un colega, J. E. Littlewood, que mirase el manuscrito. Littlewood quedó sorprendido por el genio matemático de Ramanujan. Después de estudiar el escrito con Littlewood, Hardy llegó a la conclusión de que las cartas eran "sin duda lo más notable que he recibido", y comentaron que Ramanujan era "un matemático de la más alta calidad, un hombre de originalidad y capacidad totalmente excepcionales".^[58] Un colega, E. H. Neville, posteriormente comentó que "ni uno solo de los [teorema]s podría haberse incluido en el examen de matemáticas más avanzado del mundo".^[59]

El 8 de febrero de 1913, Hardy escribió una carta a Ramanujan, expresando su interés por su trabajo. Hardy también añadió que era "esencial que yo vea pruebas de algunas de sus afirmaciones".^[60] Antes de que su carta llegase a Madrás durante la tercera semana de febrero, Hardy se puso en contacto con la Oficina de la India para planificar el viaje de Ramanujan a Cambridge. Arthur Davies, Secretario del Comité Asesor para los Estudiantes de la India, se reunió con Ramanujan para organizar su viaje a Inglaterra.^[61] Sin embargo, de acuerdo con su educación brahmán, Ramanujan se negó en principio a salir de su país para "ir a un país extranjero".^[62] Mientras tanto, Ramanujan envió una nueva carta a Hardy con teoremas, en la que le decía que "He encontrado un amigo en ti que ve mi trabajo con simpatía."^[63]

Para complementar el respaldo de Hardy, un exprofesor de matemáticas en el Trinity College de Cambridge, Gilbert Walker, pudo ver el trabajo de Ramanujan y expresó su asombro, instándolo a pasar un tiempo en Cambridge.^[64] Como resultado de la aprobación de Walker, B. Hanumantha Rao, profesor de matemáticas en una universidad de ingeniería, invitó a Narayana Iyer a una reunión de la Junta de Estudios de Matemáticas para discutir "lo que podemos hacer por S. Ramanujan".^[65] La junta acordó conceder a Ramanujan una beca de investigación de 75 rupias por mes durante los siguientes dos años en la Universidad de Madrás.^[66] Mientras estuvo contratado como estudiante de investigación, Ramanujan continuó presentando trabajos a la Revista de la Sociedad Matemática de la India. En un caso, Narayana Iyer presentó algunos teoremas de Ramanujan relativos a la suma de una serie a la revista, añadiendo que "El siguiente teorema se debe a S. Ramanujan, estudiante de matemáticas de la Universidad de Madrás". Más tarde, en noviembre, el profesor británico Edward B. Ross del Christian College de Madrás, a quien Ramanujan había conocido unos años antes, irrumpió en su clase un día con sus ojos brillantes, preguntando a sus estudiantes "¿Sabe Ramanujan polaco?" La razón era que en un artículo, Ramanujan había anticipado el trabajo de un matemático polaco cuya ponencia acababa de llegar en el correo del día.^[67] En sus trabajos trimestrales, Ramanujan elaboró teoremas para resolver integrales definidas con mayor facilidad. Trabajó sobre el teorema integral de Giuliano Frullani publicado en 1821, formulando generalizaciones que se podían hacer para evaluar integrales anteriormente inabordables.^[68]

La correspondencia de Hardy con Ramanujan se agrió después de que Ramanujan se negase a viajar a Inglaterra. Hardy encargó a un colega que estaba dando conferencias en Madrás, E. H. Neville, que convenciese a Ramanujan para ir a Inglaterra.^[69] Neville preguntó a Ramanujan que por qué no quería ir a Cambridge. Al parecer, Ramanujan ahora había aceptado la propuesta; como Neville dijo, "Ramanujan no necesitaba ser convencido, y la oposición de sus padres había sido retirada".^[59] Al parecer, la madre de Ramanujan tuvo un sueño vívido en el que la diosa de la familia, Namagiri Thayar, le ordenó que "no prolongase más tiempo la separación entre su hijo y el cumplimiento del propósito de su vida".^[59] Ramanujan se embarcó por fin hacia Inglaterra, dejando a su esposa con sus padres en la India.

Estancia en Inglaterra

Ramanujan (centro) con otros científicos en el Trinity College

Whewell's Court, Trinity College, Cambridge

Ramanujan embarcó en el SS Nevasa el 17 de marzo de 1914. A las 10 de la mañana, el barco partió de Madrás.^[70] Llegó a Londres el 14 de abril, con EH Neville esperándole con un coche. Cuatro días después, Neville lo llevó a su casa en Chesterton Road, en Cambridge. Ramanujan comenzó inmediatamente su trabajo con Littlewood y Hardy. Después de seis semanas, se mudó de la casa de Neville y fijó su residencia en Whewell Court, a solo cinco minutos a pie de la habitación de Hardy.^[71] Hardy y Littlewood comenzaron a echar un vistazo a los cuadernos de Ramanujan. El propio Hardy ya había recibido 120 teoremas de Ramanujan en las dos primeras cartas, pero había muchos más resultados y teoremas en los cuadernos. Vio que algunos estaban equivocados, otros ya habían sido descubiertos, pero el resto eran nuevas ideas originales.^[72] Ramanujan causó una profunda impresión en Hardy y en Littlewood, quien comentó: "Creo que es al menos un nuevo Jacobi",^[73] mientras Hardy dijo que "Se le puede comparar únicamente con [Leonhard] Euler o Jacobi."^[74]

Ramanujan pasó casi cinco años en Cambridge colaborando con Hardy y Littlewood, y publicó una parte de sus hallazgos allí. Hardy y Ramanujan tenían personalidades totalmente contrapuestas. Su colaboración fue un choque de diferentes culturas, creencias y estilos de trabajo. Hardy era ateo y un apóstol de la prueba y el rigor matemático, mientras que Ramanujan era un hombre profundamente religioso y se apoyaba fuertemente en su intuición. Mientras que Ramanujan permaneció en Inglaterra, Hardy hizo todo lo posible para llenar las lagunas en la educación de su colega sin interrumpir su hechizo de inspiración.

Ramanujan fue galardonado con una licenciatura en Ciencias (este grado fue más tarde renombrado PhD) en marzo de 1916 por su trabajo de investigación en números altamente compuestos,^[75] la primera parte de la cual fue publicada como un documento en las Actas de la London Mathematical Society. El artículo tenía más de 50 páginas con la demostración de diferentes propiedades de tales números pero debido a una escasez de papel ocasionada por la Primera Guerra Mundial no se terminó de publicar sino hasta 1997 en "The Ramanujan Journal".^[76] Hardy comentó que Ramanujan mostró un extraordinario ingenio en su manejo pero a pesar de ello no hizo que esta área de conocimientos fuera algo interesante, en su opinión.^[77]

El 6 de diciembre de 1917, fue elegido miembro de la Sociedad Matemática de Londres. Fue nombrado miembro de la Royal Society en 1918, convirtiéndose en el segundo indio en conseguirlo, tras Ardaseer Cursetjee en 1841, a los 31 años, siendo uno de los estudiosos más jóvenes en la historia de la Royal Society. Resultó elegido "por su investigación en Funciones Elípticas y en la Teoría de Números." El 13 de octubre de 1918, se convirtió en el primer indio elegido miembro del Trinity College.

^[

EPÓNIMOS :

Número primo de Ramanujan, función theta de Ramanujan, suma de Ramanujan, teorema maestro de Ramanujan, constante de Landau-Ramanujan, constante de Ramanujan-Soldner, conjetura de Ramanujan-Petersson, identidades de Rogers-Ramanujan, número de Hardy-Ramanujan.

No debe confundirse con el Número de Hardy-Ramanujan (el número 1729).

En matemáticas, un primo de Ramanujan es un número primo que satisface el resultado demostrado por Srinivasa Ramanujan relativo a la función contador de números primos.

Orígenes y definición

En 1919, Ramanujan publicó una nueva prueba del postulado de Bertrand, demostrado por primera vez por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821-1894).^[1] Al final de las dos páginas del documento publicado, Ramanujan deduce el siguiente resultado generalizado:

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\ge 1,2,3,4,5,\dots \text{ para todo }x\ge 2,11,17,29,41,\dots \text{ respectivamente}}$ (véase: A104272)

donde ${\displaystyle \pi (x)}$ es la función contador de números primos, igual a la cantidad de números primos menores o iguales a x.

El inverso de este resultado es la definición de los números primos de Ramanujan:

El enésimo primo de Ramanujan es el menor entero R_n para el que ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\ge n,}$ para todo x ≥ R_n^[2]
En otras palabras: los números primos de Ramanujan son los menores enteros R_n para los que hay al menos n primos entre x y x/2 para todo x ≥ R_n.

Los cinco primeros números primos de Ramanujan son entonces: 2, 11, 17, 29, y 41.

Téngase en cuenta que el número entero R_n es necesariamente un número primo, dado que: ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ y, por lo tanto, ${\displaystyle \pi (x)}$ debe aumentar mediante la obtención de otro primo en x = R_n. Desde ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ puede aumentar como máximo en 1,

${\displaystyle \pi (R_n)-\pi \left(\frac{R_n}{2}\right)=n.}$

Límites y fórmula asintótica

Para todo ${\displaystyle n\ge 1}$, se fijan los límites

Si , entonces también

donde p_n es el enésimo número primo.

Cuando n tiende a infinito, R_n es asintótico respecto al primo 2enésimo, por ejemplo,

R_n ~ p_2n (n → ∞).

Todos estos resultados fueron probados por Sondow (2009),^[3] excepto para el límite superior R_n < p_3n que fue conjeturado por él y probado por Laishram (2010).^[4] El valor de contorno fue mejorada por Sondow, Nicholson, y Noe (2011)^[5] hasta convertirse en la expresión:

${\displaystyle R_n\le \frac{41}{47}{p}_{3n}}$

forma óptima para R_n ≤ c·p_3n que se convierte en una igualdad para n = 5.

En una dirección diferente, Axler^[6] demostró que

es óptima para t > 48/19, donde ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ es la función techo.

Una mejora adicional de los valores de contorno superiores fue llevada a cabo a finales de 2015 por Anitha Srinivasan y John W. Nicholson.^[7] Demostró que si

${\displaystyle \alpha =1+\frac{3}{\ln n+\ln \ln n-4}}$

a continuación, para todo , donde ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ es la función suelo. Para valores grandes de n, el valor de contorno es más pequeño y por lo tanto mejor que ${\displaystyle p_{\lfloor 2nc\rfloor }}$ para cualquier constante fijada .

Generalización de los primos de Ramanujan

Dada una constante c entre 0 y 1, el enésimo c-primo de Ramanujan es definido como el menor entero R_c,n con la propiedad de que para cualquier entero x ≥ R_c,n haya al menos n primos entre cx y x, esto es, ${\displaystyle \pi (x)-\pi (cx)\ge n}$. En particular, cuando c = 1/2, el enésimo 1/2-primo de Ramanujan es igual al enésimo primo de Ramanujan: R_0.5,n = R_n.

Para c = 1/4 y 3/4, la secuencia de c-primo de Ramanujan comienza como

R_0.25,n = 2, 3, 5, 13, 17, ... A193761,

R_0.75,n = 11, 29, 59, 67, 101, ... A193880.

Es sabido^[8] que, para todo n y c, el enésimo c-primo de Ramanujan R_c,n existe y es en efecto primo. También, cuando n tiende a infinito, R_c,n es asintótico en relación con p_{n/(1 − c)}

R_c,n ~ p_{n/(1 − c)} (n → ∞)

donde p_{n/(1 − c)} es el ${\displaystyle \lfloor }$n/(1 − c)${\displaystyle \rfloor }$ésimo primo y ${\displaystyle \lfloor .\rfloor }$ es la función suelo.

Corolario de los primos de Ramanujan

es decir, p_k es el késimo primo y el nésimo primo de Ramanujan.

Esto es muy útil para demostrar que el número de números primos en el rango [p_k, 2p_i−n] es mayor que o igual a 1. Teniendo en cuenta el tamaño de los huecos entre los números primos en [p_i−n,p_k], puede verse que el hueco promedio entre primos es de ln(p_k) usando la aproximación siguiente: R_n/(2n) ~ ln(R_n).

Prueba del Corolario:

Si p_i > R_n, entonces p_i es impar y p_i − 1 ≥ R_n, y por lo tanto π(p_i − 1) − π(p_i/2) = π(p_i − 1) − π((p_i − 1)/2) ≥ n.
Así p_i − 1 ≥ p_i−1 > p_i−2 > p_i−3 > ... > p_i−n > p_i/2, y por lo tanto 2p_i−n > p_i.

Un ejemplo de este corolario:

Con n = 1000, R_n = p_k = 19403, y k = 2197, entonces i ≥ 2198 y i−n ≥ 1198. El menor i − n primo es p_i−n = 9719, y por lo tanto 2p_i−n = 2 × 9719 = 19438. El 2198ésimo primo, p_i, está comprendido entre p_k = 19403 y 2p_i−n = 19438 y es 19417.

El lado izquierdo del Primer Corolario de Ramanujan es la secuencia de números A168421; el menor primo en el lado derecho figura en A168425. La secuencia A165959 es el rango del menor primo mayor que p_k. Los valores de ${\displaystyle \pi (R_n)}$ aparecen en la secuencia A179196.

El Primer Corolario Ramanujan es debido a John Nicholson.

El lema de Srinivasa^[9] establece que p_k−n < p_k/2 si R_n = p_k y  n > 1. Prueba: Por la minimalidad de R_n, el intervalo (p_k/2,p_k] contiene exactamente n primos y por lo tanto p_k−n < p_k/2.

En matemática, la función theta de Ramanujan generaliza la forma de las funciones theta de Jacobi, a la vez que conserva sus propiedades generales. En particular, el producto triple de Jacobi se puede escribir elegantemente en términos de la función theta de Ramanujan. La función toma nombre de Srinivasa Ramanujan, y fue su última gran contribución a las matemáticas.

Definición

La función theta de Ramanujan está definida como:

${\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n(n+1)/2}{b}^{n(n-1)/2}}$

para |ab| < 1 . La identidad del producto triple de Jacobi toma la forma

${\displaystyle f(a,b)=(-a;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(-b;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty }}}$

Aquí, la expresión ${\displaystyle (a;q{)}_n}$ denota el símbolo q-Pochhammer. Entre otras, las identidades que se pueden obtener se incluyen

${\displaystyle f(q,q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{(-q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}{(-q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}}$

y

${\displaystyle f(q,q^3)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n(n+1)/2}=\frac{(q^2;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q;q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}}$

y

${\displaystyle f(-q,-q^2)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(3n-1)/2}=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

esta última se convierte en la función de Euler, que está estrechamente relacionada con la función eta de Dedekind.

Este artículo trata sobre la suma de Ramanujan. Para otros usos de este término, véase Sumatorio de Ramanujan.

En matemáticas, la suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como c_q(n), se define como

${\displaystyle c_q(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{a=1}{(a,q)=1}}^q{e}^{2\pi i\frac{a}{q}n},}$

donde n y q son los dos enteros positivos que definen la suma; (a,q)=1 indica que a solo puede tomar valores cuyo máximo común divisor con respecto a q sea 1 (es decir, que a y q sean coprimos entre sí); y e^(x) es la función exponencial.

Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, por ejemplo,

c_q(n)c_r(n)=c_qr(n)

para cualquier (q,r) = 1.

Otra propiedad es que c_q(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.

Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:

${\displaystyle c_q(n)=\mu (q/d)\frac{\varphi (q)}{\varphi (q/d)}.}$

Series relacionadas con la suma de Ramanujan

Ramanujan evaluó infinitas series de la forma

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_q{c}_q(n)}$

para diversas secuencias (a_q).^[1] En particular, para s cualquier número real mayor o igual que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q^s}=\frac{{\sigma }_{1-s}(n)}{\zeta (s)},}$

donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2 esto es

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q}=0}$

y

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q^2}=\frac{6}{{\pi }^2}\frac{{\sigma }_1(n)}{n}}$

respectivamente.

Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q}\log (q)=-{\sigma }_0(n)}$

y

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{q-1}\frac{c_{2q-1}(n)}{2q-1}=r_2(n),}$

donde r₂(n) son el número de representaciones de n como x² + y² en enteros x e y.

Página de un cuaderno de Ramanujan declarando su teorema maestro.

En matemáticas, el teorema maestro de Ramanujan, llamado así en honor a Srinivasa Ramanujan,^[1] es una técnica que proporciona una expresión analítica para la transformada de Mellin de una función analítica.

El resultado se muestra como sigue:

Si una función de variable compleja $f(x)$ tiene una expresión de la forma

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (k)}{k!}(-x{)}^k}$

entonces la transformada de Mellin de $f(x)$ está dada por

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}f(x)dx=\mathrm{\Gamma }(s)\phi (-s)}$

donde $\mathrm{\Gamma }(s)$ es la función gamma.

Esto fue usado ampliamente por Ramanujan para calcular integrales definidas y series infinitas.

Versiones en dimensiones altas de este teorema también aparecen en física cuántica (a través de diagramas de Feynman).^[2]

Un resultado similar fue también obtenido por Glaisher.^[3]

Formalismo alternativo

Una formulación alternativa del teorema maestro de Ramanujan es la siguiente:

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}\left(\lambda (0)-x\lambda (1)+x^2\lambda (2)-\cdots \right)dx=\frac{\pi }{\sin (\pi s)}\lambda (-s)}$

la cual se convierte en la forma de arriba después de sustituir $\lambda (n)\equiv \frac{\phi (n)}{\mathrm{\Gamma }(1+n)}$ y usando la ecuación funcional de la función gamma.

La integral de arriba es convergente para sujeta a las condiciones de crecimiento de $\phi$.

^[

En Matemática, la constante de Landau-Ramanujan aparece como un resultado de la teoría de números que enuncia que la proporción de los enteros positivos menores o iguales que x que son suma de dos cuadrados es, para x suficientemente grande, proporcional a

${\displaystyle 1/\sqrt{\ln (x)}.}$

La constante de proporcionalidad es la constante de Landau-Ramanujan.

Más formalmente, si N(x) es el número de enteros positivos menores o iguales que x que son suma de dos cuadrados, en el límite para x creciente,

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{N(x)\sqrt{\ln (x)}}{x}\approx 0,76422365358922066299069873125.}$

Este número es la constante de Landau-Ramanujan.