EPÓNIMOS

 Para el satélite artificial de la Agencia Espacial Europea, véase Planck (satélite).

Max Planck
Planck en 1901
Información personal
Nombre de nacimiento	Maximilian Karl Ernst Ludwig Planck
Nacimiento	23 de abril de 1858 Kiel (Ducado de Holstein, Confederación Germánica)
Fallecimiento	4 de octubre de 1947 Gotinga (ocupación aliada en Alemania)
Causa de muerte	Infarto agudo de miocardio
Sepultura	Cementerio municipal de Gotinga
Residencia	Kiel y Múnich
Religión	Luteranismo
Familia
Padres	Johann Julius Wilhelm von Planck Emma Karoline Patzig
Cónyuge	Marie Merck (desde 1887)
Hijos	Erwin Planck
Educación
Educado en	Maximiliansgymnasium München Universidad Federico Guillermo Universidad de Múnich (desde 1874)
Supervisor doctoral	Alexander von Brill
Alumno de	Philipp Ludwig von Seidel Gustav Bauer
Información profesional
Ocupación	Físico teórico, profesor universitario, físico y filósofo
Área	Física teórica, física, termodinámica, filosofía y quantum theory
Cargos ocupados	Profesor (desde 1885) Geheimrat (desde 1908)
Empleador	Universidad Humboldt de Berlín Universidad de Múnich (1880-1885) Universidad de Kiel (1885-1889) Universidad Federico Guillermo (1889-1927)
Estudiantes doctorales	Max von Laue, Moritz Schlick, Max Abraham, Walther Bothe, Walter Gordon, Gustav Hertz, Walter Meissner y Walter H. Schottky
Estudiantes	Max Abraham, Walther Bothe, Gustav Hertz, Max von Laue, Walter Meissner, Moritz Schlick y Walter H. Schottky
Instrumentos	Piano, violonchelo y órgano
Obras notables	ley de Planck constante de Planck
Partido político	Partido Popular Alemán
Miembro de	Deutsche Physikalische Gesellschaft Academia Prusiana de las Ciencias Sociedad Kaiser Wilhelm Real Sociedad de Londres Academia de Ciencias de Baviera Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos Academia de Ciencias de Hungría Academia Pontificia de las Ciencias Real Academia de las Ciencias de Suecia Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias Academia Alemana de las Ciencias Naturales Leopoldina Academia de Ciencias de Gotinga Academia Nacional de los Linces (desde 1914) Academia de Ciencias de Turín (desde 1922) Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos (desde 1926) Academia de Ciencias de Rusia (desde 1926) Academia Sajona de Ciencias (desde 1929) Sociedad Filosófica Estadounidense (desde 1933)
Firma
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Max Karl Ernst Ludwig Planck (Kiel, 23 de abril de 1858-Gotinga, 4 de octubre de 1947) fue un físico alemán. Es considerado el fundador de la teoría cuántica y fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1918.

Biografía

Infancia en Kiel, educación en Múnich y primeros años en Berlín

Max Planck era originario de una familia con gran tradición académica. Su bisabuelo Gottlieb Planck (1751-1833) y su abuelo Heinrich Ludwig Planck (1785-1831) fueron profesores de teología en la Universidad de Gotinga, su padre Wilhelm Johann Julius von Planck (1817-1900) fue profesor de derecho en Kiel y Múnich, su tío Gottlieb Planck (1824-1907) fue también jurista en Gotinga y uno de los padres del Código Civil de Alemania.

Nació el 23 de abril de 1858 en Kiel, del matrimonio de Julius Wilhem con su segunda esposa Emma Patzig (1821-1914). Tenía cuatro hermanos (Hermann, Hildegard, Adalbert y Otto) y dos medio hermanos (Hugo y Emma), hijos de su padre con su primera esposa. Pasó en Kiel sus seis primeros años y, a continuación, su familia se mudó a Múnich, allí se matriculó en el Maximilians-Gymnasium. Sus compañeros de clase eran hijos de familias conocidas de Múnich. Entre ellos se encontraban el hijo del banquero Heinrich Merck y Oskar Miller, fundador más adelante del Deutsches Museum. A los dieciséis años obtuvo su Schulabschluss o graduación. Como mostraba talento para la música, tocaba el órgano, el piano y el chelo, también le gustaban la filosofía clásica y las ciencias. Dudó a la hora de elegir su orientación académica, así que consultó al profesor de física Philipp von Jolly, quien le respondió que en física lo esencial estaba ya descubierto, y que quedaban pocos huecos por rellenar (concepción que compartían muchos otros físicos de su tiempo). Planck respondió a su profesor que no tenía interés en descubrir nuevos mundos sino en comprender los fundamentos de la física; finalmente se decidió por esta materia.

Planck se matriculó para el curso 1874/75 en la Facultad de Física de la Universidad de Múnich. Allí, bajo la tutela del profesor Jolly, Planck condujo sus propios experimentos (por ejemplo sobre la difusión del hidrógeno a través del platino caliente) antes de encaminar sus estudios hacia la física teórica. Además de sus estudios, fue miembro del coro de la universidad donde en 1876/77 realizó una opereta titulada Die Liebe im Walde. En 1877 realizó con otros dos compañeros un viaje por Italia, visitó Venecia, Florencia, Génova, Pavía, los lagos de Como y Lugano, el lago Maggiore, Brescia y el lago de Garda.

El curso 1877/78 lo realizó en Berlín, en la Universidad Friedrich-Wilhelm, donde recibió las enseñanzas de los célebres físicos Hermann von Helmholtz y Gustav Kirchhoff, a quienes ya había conocido en Múnich. De Helmholtz dijo Planck que no preparaba las clases, que constantemente se equivocaba en los cálculos, de modo que cambiaba una y otra vez lo que estaba escrito en la pizarra y que parecía tan aburrido como los estudiantes. El resultado era que pocos estudiantes permanecían en su aula. Al final solo quedaron tres estudiantes, entre los que se encontraban el propio Planck y el más tarde astrónomo Rudolf Lehmann-Filhés. De Kirchhoff decía que aunque sus clases estaban preparadas meticulosamente, a menudo resultaban áridas y monótonas, y que aunque estudiantes admiraban la gran sabiduría del docente, consideraban que no poseía habilidades retóricas y aburría.^[1][2] Pese a esta opinión desfavorable sobre Helmholtz como profesor, trabó una amistad con él. En esta época se dedicó paralelamente por su cuenta al estudio de la obra de Rudolf Clausius, de quien admiró su discurso comprensible y su claridad sobre los principios de la termodinámica. Fue en este tema en el que trabajó para preparar su tesis de doctorado, que llevó por título Über den zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie (Sobre el segundo principio de la termodinámica) y que presentó en 1879 en Múnich, con veintiún años. Volvió a Múnich en 1880 para ejercer como profesor en la universidad. En 1889, volvió a Berlín, donde desde 1892 fue el director de la cátedra de Física teórica.

Profesor en la Universidad de Berlín

En Berlín, Planck ingresó a la Sociedad de Física local. Más tarde escribió sobre este momento: "En aquel tiempo yo era esencialmente el único físico teórico allá, las cosas no fueron fáciles para mí porque empecé a mencionar la entropía, pero esto no estaba mucho de moda, puesto que se consideraba como un fantasma matemático".^[3] Gracias a su iniciativa, las diferentes sociedades locales de física de Alemania se fusionaron en 1898 para formar la Deutsche Physikalische Gesellschaft, (DPG, Sociedad Alemania de Física), Planck fue el presidente desde el 1905 hasta el 1909.

Planck fue profesor en Berlín durante 37 años y era apreciado por sus alumnos como maestro. Según Lise Meitner era "seco, un poco impersonal", "sin usar notas, sin cometer errores, nunca vacilante, el mejor profesor que he escuchado nunca". El número de sus estudiantes graduados fue solo de 20, pero entre ellos están:

1897 Max Abraham (1875–1922)

1904 Moritz Schlick (1882–1936), Fundador del Círculo de Viena

1906 Walther Meißner (1882–1974)

1906 Max von Laue (1879–1960), Premio Nobel de Física de 1914

1907 Fritz Reiche (1883–1960)

1907 Lise Meitner (1878-1968)

1912 Walter Schottky (1886–1976)

1914 Walther Bothe (1891–1957), Premio Nobel de Física del 1954

Sociedad Alemana de Física y Sociedad para el Avance de la Ciencia

Desde 1905 hasta 1909, Planck fue la cabeza de la Deutsche Physikalische Gesellschaft (Sociedad Alemana de Física). En 1913, se puso a la cabeza de la universidad de Berlín. En 1918 recibió el Premio Nobel de física por la creación de la mecánica cuántica. Desde 1930 hasta 1937, Planck dirigió la Kaiser-Wilhelm-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften (KWG, Sociedad Kaiser Wilhelm, sociedad del emperador Guillermo para el Avance de la Ciencia).

Segunda Guerra Mundial, su hijo Erwin Planck y fallecimiento

Durante la Segunda Guerra Mundial, Planck intentó convencer a Adolf Hitler de que permitiera el trabajo de los científicos judíos, sin gran éxito, sin embargo.^[4] El régimen nazi y la guerra azotaron duramente a la familia Planck. Perdió a su hijo Erwin Planck, asesinado por los nazis el 3 de enero de 1945, a pesar de las peticiones de indulto y clemencia que Max Planck hiciera a Hitler, intentando salvar la vida de su hijo. Esta gran pérdida se sumaba a otra, que ya acababa de sufrir: su casa de Berlín-Grünewald (y con ella toda su biblioteca, con miles de volúmenes e irrecuperables manuscritos), resultó incendiada y completamente destruida a causa de un bombardeo aéreo en febrero de 1944.^[2]

Tras la muerte de Max Planck el 4 de octubre de 1947 en Gotinga, la KWG cambió su nombre a Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften (MPG, Sociedad Max Planck).

Planck perdió a su hijo menor, Karl, en la batalla de Verdún durante la Primera Guerra Mundial; un segundo hijo, Erwin —que también había abrazado la carrera científica—, fue ejecutado el 23 de enero de 1945 en la prisión de Plötzensee (Berlín) por su participación en el complot del 20 de julio contra Adolf Hitler. La doble pérdida marcó profundamente la cosmovisión de Planck, cuya reflexión sobre el «hambre del alma» (aceptada por Einstein como descripción del impulso científico) se nutrió de esa experiencia biográfica.

Miembro de la Iglesia evangélica (protestante), Planck encontró en la fe cristiana un horizonte para integrar las tragedias personales. En su ensayo «Ciencia y fe» (Wissenschaft und Glaube, 1930) escribió que la entrega a la ciencia es un «asunto de fe, de la fe inquebrantable en la existencia de un orden racional en el mundo», y describió el acceso al templo de la ciencia como guardado por un indicador: «la fe, que mira hacia delante». Estas convicciones sostuvieron su actividad pública tras la guerra, incluyendo la presidencia de la Academia Pontificia de las Ciencias (de la que ya era miembro) y su protagonismo en la reconstrucción de la ciencia alemana.^[5]

Legado

Los descubrimientos de Planck, que fueron verificados posteriormente por otros científicos, representaron el nacimiento de un campo totalmente nuevo de la física, conocido como mecánica cuántica y proporcionaron los cimientos para la investigación en campos como el de la energía atómica. Reconoció en 1905 la importancia de las ideas sobre la cuantificación de la radiación electromagnética expuestas por Albert Einstein, con quien colaboró a lo largo de su carrera.

Contribuciones científicas

El joven Planck en su época de estudiante (1878)

Aunque en un principio fue ignorado por la comunidad científica, profundizó en el estudio de la teoría del calor y descubrió, uno tras otro, los mismos principios que ya había enunciado Josiah Willard Gibbs (sin conocerlos previamente, pues no habían sido divulgados). Las ideas de Clausius sobre la entropía ocuparon un espacio central en sus pensamientos.

En 1900, Max Planck descubrió la ley espectral de la radiación del cuerpo negro (publicada en 1901^[6]) intentando conciliar la ley de Rayleigh-Jeans que funciona a grandes longitudes de onda (bajas frecuencias) y la ley de Wien que opera en pequeñas longitudes de onda (altas frecuencias). Consideró que su propia función se ajustaba a los datos de forma notable para todas las longitudes de onda.

La corrección de la ley de Rayleigh-Jeans es especialmente importante, ya que está construida sobre una sólida base teórica: la termodinámica tal y como se conocía en la época, pero adolece de un importante defecto en las longitudes de onda cortas: la catástrofe ultravioleta. Este punto sugiere que la termodinámica está equivocada. Por ello, Planck intentó elaborar una nueva teoría fundamental que sustituyera a la termodinámica.

La ley de Rayleigh-Jeans y la ley de Planck utilizan el Teorema de la equipartición de la energía y hacen coincidir un oscilador con cada frecuencia. Rayleigh supone que todos los osciladores están igualmente excitados, su ley predice que los osciladores de longitud de onda muy corta están muy excitados incluso a temperatura.

El 14 de diciembre de 1900 expuso en la Sociedad Alemana de Física el descubrimiento de una constante fundamental,^[7] la denominada constante de Planck, usada para calcular la energía de un fotón. Esto significa que la radiación no puede ser emitida ni absorbida de forma continua, sino solo en determinados momentos y pequeñas cantidades denominadas cuantos o fotones. La energía de un cuanto o fotón depende de la frecuencia f de la radiación:

donde E es la energía, f es la frecuencia de su onda electromagnética asociada y h es la constante de Planck, cuyo valor es 6,626 × 10^-34 J*s o bien 4,13 × 10^-15 eV*s.

La ley de la radiación electromagnética emitida por un cuerpo a una temperatura dada, denominada ley de Planck, que explica el espectro de emisión de un cuerpo negro se convirtió en una de las bases de la mecánica cuántica, que emergió unos años más tarde con la colaboración de Albert Einstein y Niels Bohr, entre otros.

EPÓNIMO :

Valor de h	Unidades
6.626 070 15 × 10-34	J⋅s[1]
4.135 667 696 × 10-15	eV⋅s
Valor de ħ (h-barra)	Unidades
1.054 571 817 × 10-34	J⋅s
6.582 119 569 × 10-16	eV⋅s
Valor de hc	Unidades
1.986 445 86 × 10-25	J⋅m
1.239 841 93	eV⋅μm
Valor de ħc (h-barra)	Unidades
3.161 526 49 × 10-26	J⋅m
0.197 326 9804	eV⋅μm

Placa en la Universidad Humboldt de Berlín que reza:
«En este edificio enseñó
MAX PLANCK, el descubridor
del cuanto de acción h,
de 1889 a 1928»

La constante de Planck es una constante física que desempeña un papel central en la teoría de la mecánica cuántica y recibe su nombre de su descubridor, el físico y matemático alemán Max Planck, uno de los padres de dicha teoría. Denotada como ${\displaystyle h}$, es la constante que frecuentemente se define como el cuanto elemental de acción. Planck la denominaría precisamente «cuanto de acción» (en alemán, Wirkungsquantum), debido a que la cantidad denominada acción de un proceso físico (el producto de la energía implicada y el tiempo empleado) solo podía tomar valores discretos, es decir, múltiplos enteros de ${\displaystyle h}$.

Fue inicialmente propuesta como la constante de proporcionalidad entre la energía ${\displaystyle E}$ de un fotón y la frecuencia ${\displaystyle f}$ de su onda electromagnética asociada.

${\displaystyle E=hf}$

Dado que la frecuencia ${\displaystyle f}$, la longitud de onda ${\displaystyle \lambda }$ y la velocidad de la luz ${\displaystyle c}$ cumplen ${\displaystyle \lambda f=c}$ se puede expresar como:

${\displaystyle E=\frac{hc}{\lambda }}$

Otra ecuación fundamental en la que interviene la constante de Planck es la que relaciona el momento lineal ${\displaystyle p}$ de una partícula con la longitud de onda de De Broglie λ de la misma:

${\displaystyle \lambda =\frac{h}{p}}$

En aplicaciones donde la frecuencia viene expresada en términos de radianes por segundo o frecuencia angular, es útil incluir el factor ${\displaystyle \frac{1}{2\pi }}$ dentro de la constante de Planck. La constante resultante, «constante de Planck reducida» o «constante de Dirac», se expresa como ħ («h barra»):

${\displaystyle \hslash =\frac{h}{2\pi }}$

De esta forma la energía de un fotón con frecuencia angular ${\displaystyle \omega }$, donde ${\displaystyle \omega =2\pi f}$, se podrá expresar como:

${\displaystyle E=\hslash \omega }$

Por otro lado, la constante de Planck reducida es el cuanto del momento angular en mecánica cuántica. Los valores que puede tomar el momento angular orbital, de spin o total, son múltiplos enteros o semienteros de la constante reducida. Así, si ${\displaystyle J}$ es el momento angular total de un sistema con invariancia rotacional y ${\displaystyle J_z}$ es el momento angular del sistema medido sobre una dirección cualquiera, por ejemplo la del eje z, estas cantidades solo pueden tomar los valores:

.

Unicode reserva los códigos U+210E (h) para la constante de Planck y U+210F (h con barra) para la constante de Dirac.

Origen de la constante

Retrato de Max Planck

Historia

El camino que llevó a Max Planck a su constante tuvo su origen en un proyecto que comenzó con un cuarto de siglo de anterioridad, la teoría sobre «la ley de distribución de energía del espectro normal».^[2] En él estudiaba la radiación térmica emitida por un cuerpo debido a su temperatura. En esta teoría se introdujo en 1862 el concepto de cuerpo negro, cuya superficie absorbe toda la radiación térmica que incide sobre él y que además emite la radiación térmica con el mismo espectro a la misma temperatura.

Sin embargo, un estudio experimental del cuerpo negro condujo a una discrepancia entre los resultados experimentales y los obtenidos aplicando las leyes de la Física clásica. Según la ley de Stefan-Boltzmann, la radiancia de los cuerpos aumenta rápidamente con la cuarta potencia de la temperatura y, además, la radiancia espectral se desplaza hacia frecuencias mayores (ley de desplazamiento de Wien). El problema surgió al calcular la energía absorbida por el cuerpo negro a una temperatura dada mediante el teorema de la equipartición de energía, pues a medida que la frecuencia crecía la predicción teórica tendía a infinito mientras que los experimentos mostraban que la densidad de energía siempre es finita y tiende a cero para frecuencias muy altas. Este comportamiento irreal de las teorías clásicas a las altas frecuencias es conocido como «catástrofe ultravioleta». Planck estaba interesado en dar sentido a este dilema; para lograrlo, decidió considerar la energía absorbida y emitida por el cuerpo negro en forma de «paquetes» discretos. Al realizar los cálculos de acuerdo con este procedimiento, y mediante un trabajo numérico, obtuvo una buena concordancia entre los resultados experimentales y los teóricos, introduciendo una constante que posteriormente fue conocida como la constante de Planck (h).

El trabajo de Planck supuso el comienzo de la mecánica cuántica (MC), lo que llevó consigo un cambio de mentalidad en la manera de comprender los fenómenos de la naturaleza a escala atómica.^[3][4] El siguiente paso vino de la mano de Albert Einstein que, de manera análoga a Planck, planteó la absorción de luz por un metal de forma discreta, a cuantos, y su correspondiente emisión de electrones, en el efecto fotoeléctrico. Otro paso dado a comienzos del siglo XX fue el obtenido con el modelo del átomo de Bohr y sus postulados, revolucionando el concepto del átomo; en él interviene este nuevo concepto de la emisión y absorción de la luz por la materia de manera discreta. Por último, también hay una relación de la teoría de Planck y su constante con el principio de indeterminación de Heisenberg.

Orden de magnitud de la constante

Cuando se expresa el valor de la constante de Planck en unidades del SI, el valor resultante es muy pequeño, aproximadamente 6.63 × 10^-34 J·s. La constante de Planck se aplica en física cuando se trabaja a escala atómica; por ejemplo, al calcular la energía de un fotón del espectro visible en el verde, con una frecuencia de 5.77 × 10¹⁴ Hz, cada fotón tiene una energía E=h.f = 3.82 × 10 ^-19 J. Para aplicar la constante de Planck a nivel macroscópico habría que hacerlo con cantidades de fotones propias de nuestra escala. En este caso se puede comparar, por ejemplo, con un mol de fotones (N_A = 6.02 × 10²³ molec/mol). Si aplicamos la constante de Planck no a un fotón sino a una cantidad hipotética de un mol de fotones, la energía resultante es del orden de 230 kJ/mol, que ya es una medida típica en la vida cotidiana, lo cual hace patente las diferentes escalas en las que se puede valorar la naturaleza: la atómica (del orden de, por ejemplo, la constante de Planck), la humana (aplicando las unidades básicas del SI), o la del universo (del orden de, por ejemplo, la velocidad de la luz que permite medir distancias en años luz).

La radiación del cuerpo negro

Figura animada que representa un rayo de luz incidiendo sobre un cuerpo negro hasta su total absorción

Definición de cuerpo negro

Artículo principal: Cuerpo negro

El nombre cuerpo negro fue introducido por Gustav Kirchhoff en 1862 y su idea deriva de la siguiente observación: toda la materia emite radiación electromagnética cuando se encuentra a una temperatura por encima del cero absoluto. La radiación electromagnética emitida por un cuerpo a una temperatura dada es un proceso espontáneo y procede de una conversión de su energía térmica en energía electromagnética. También sucede a la inversa, toda la materia absorbe radiación electromagnética de su entorno en función de su temperatura. Un objeto que absorba toda la radiación que incide sobre él a todas las frecuencias se denomina cuerpo negro. Cuando un cuerpo negro posee una temperatura uniforme, la radiación que emite presenta una distribución en función de la frecuencia (o de la longitud de onda, relacionada inversamente con esta) que es característica y que depende de su temperatura. La superficie de una estrella como nuestro Sol tiene una temperatura de 5800 Kelvin y emite radiación con un máximo que se encuentra sobre los 500 nm (luz visible). En cambio, el cuerpo humano cuya temperatura media es muy inferior, está en torno a los 37 grados Celsius, y emite, por tanto, su máximo a mayores longitudes de onda, en torno a los 10 micrómetros, que corresponde al infrarrojo.

Esta radiación es la que se conoce como radiación del cuerpo negro. El concepto de cuerpo negro es una idealización ya que un cuerpo negro perfecto no existe en la naturaleza.^[5] Por cuerpo negro ideal se considera aquel que absorbe toda la radiación que le llega sin reflejarla de tal forma que solo emite la correspondiente a su temperatura.

Ideas previas

En la gráfica se representa la intensidad de la radiación emitida por el cuerpo negro en función de la longitud de onda a diferentes temperaturas. El máximo de la curva aumenta al ir hacia menores longitudes de onda (ley de Wien). Se compara con el modelo clásico de Rayleigh-Jeans a altas temperaturas (5000 K) comprobándose la llamada catástrofe del ultravioleta

A finales del siglo XIX la física clásica podía proporcionar explicaciones de la mayoría de fenómenos observados. Sin embargo, algunos físicos se percataron de ciertos desajustes relativos a los espectros de emisión y absorción atómicos en el rango de las longitudes de onda situadas en el espectro visible o en la disminución con la temperatura del calor molar de los sólidos que no explicaba la ley de Dulong y Petit.^[6][7] El mayor desajuste de la teoría clásica se conoce como «la catástrofe del ultravioleta» o de Rayleigh-Jeans y está relacionado con la emisión de radiación por los cuerpos en equilibrio térmico a una temperatura dada. De acuerdo con la ley que enunciaron Rayleigh y Jeans, la densidad de energía emitida por un cuerpo negro para cada frecuencia y temperatura era proporcional al cuadrado de la frecuencia, lo que implicaba que cuanto mayor era la frecuencia mayor debía ser la cantidad de energía suministrada por el cuerpo. Por lo tanto, la contribución más importante a la densidad de energía de la emisión de radiación del cuerpo negro corresponde a la radiación de menor longitud de onda (mayor frecuencia), que en el límite del visible corresponde a la radiación ultravioleta.

Sin embargo, las medidas experimentales demuestran lo contrario,^[8] es decir, que la emisión de la radiación disminuye al disminuir la longitud de onda (al aumentar la frecuencia), tendiendo a cero en la región del ultravioleta.^[9] Además, si se calcula la energía total emitida por el cuerpo negro para todas las longitudes de onda a una temperatura elevada como la de una estrella, la ley clásica daría una energía infinita; una estrella no emite una radiación infinita y este resultado viola la ley de conservación de la energía, poniendo así en tela de juicio la ley clásica o ley de Rayleigh-Jeans.^[10]

Fue Max Planck quien propuso la ley que lleva su nombre y que, mediante la idea de emisión y absorción de la luz por la materia en forma discreta a «cuantos» de energía h·f, resuelve el problema de la emisión y absorción de la radiación por los cuerpos en equilibrio térmico a una temperatura dada. Esta manera de abordar el problema de la emisión y la absorción de la energía electromagnética creó una nueva concepción del mundo físico.^[11]

A finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX era virtualmente imposible darse cuenta de que la raíz de los inconvenientes que presentaba la interpretación de algunos fenómenos físicos estaba en la hipótesis de que la energía era continua. Este cambio de mentalidad que supone la emisión y absorción de la luz por los cuerpos en forma de cuantos de energía lo pondría también de manifiesto Einstein en 1905 con la explicación del efecto fotoeléctrico.

Ley de Planck para la emisión del cuerpo negro

Ley de Planck a diferentes temperaturas en función de la frecuencia para la radiación del cuerpo negro

La ley de Planck establece que la energía electromagnética absorbida o emitida por un cuerpo negro se realiza por medio de intercambio de cuantos de energía electromagnética hf, de acuerdo con la siguiente expresión,

${\displaystyle I(f,T)=\frac{2f^2}{c^2}\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}}$

donde:

• I (f, T) es la energía por unidad de tiempo (o la potencia), por unidad de área de la superficie que emite en la dirección normal, por unidad de ángulo sólido, y por unidad de frecuencia, radiada por un cuerpo negro a la temperatura T;
• h es la constante de Planck;
• c es la velocidad de la luz en el vacío;
• k es la constante de Boltzmann;
• f es la frecuencia de la radiación electromagnética y
• T es la temperatura del cuerpo en Kelvin.

Se puede apreciar cómo aparece reflejado en el término exponencial de esta función de distribución ${\displaystyle I(f,T)}$ el cuanto de energía hf. La ley de Planck se comporta correctamente en mediciones experimentales de astrofísica, y más directamente relacionadas con la Tierra, en aquellas aplicaciones donde intervenga el espectro solar para todo el margen de frecuencias del espectro electromagnético.^[8]

A los pocos años, el éxito de su teoría cuántica para la correcta interpretación de la entropía y del tercer principio de la termodinámica, así como las ideas de Einstein sobre la teoría cuántica de la radiación, reafirmaron a Planck en la certeza de su teoría.

Verificación: ley de Rayleigh-Jeans

En el límite clásico de bajas frecuencias la ley de Planck coincide con la ley de Rayleigh-Jeans:

${\displaystyle I(f,T)=\frac{2f^2}{c^2}\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}=\frac{2f^2}{c^2}\frac{hf}{(1+\frac{hf}{kT}+...)-1}\approx \frac{2f^2}{c^2}kT}$

Para frecuencias intermedias y altas, sin embargo, difieren. Es más, al aumentar la frecuencia f, la segunda crece indefinidamente mientras que la primera tiende a cero.

El efecto fotoeléctrico

Esquema del efecto fotoeléctrico. Interacción de los fotones sobre una lámina metálica. A consecuencia de la interacción se liberan algunos electrones

Artículo principal: Efecto fotoeléctrico

En 1887 Heinrich Rudolf Hertz descubrió que una descarga eléctrica entre dos electrodos ocurría más fácilmente cuando sobre uno de ellos incidía luz ultravioleta. Posteriormente, Philipp Lenard demostró que la luz ultravioleta facilita la descarga eléctrica ya que provoca la emisión de electrones desde la superficie del cátodo. Sin embargo a Albert Einstein le valió este experimento para contradecir algunos aspectos de la teoría electromagnética clásica,^[12][13] y su correcta interpretación le valió el premio Nobel de 1921. El efecto fotoeléctrico ha sido uno de los ejemplos más interesantes para ilustrar la naturaleza corpuscular de la luz, llevando al desarrollo de la mecánica cuántica durante el siglo XX.

Cuando la luz de determinada longitud de onda incide sobre la superficie de un metal, este emite un flujo de electrones. En la época en la que se realizó este descubrimiento, la teoría ondulatoria de la luz era el único modelo disponible. Según esta, el número de electrones emitidos debía aumentar proporcionalmente a la intensidad de la luz; además debería existir un margen de tiempo entre la incidencia de los fotones y la emisión de los electrones. Al proceder a la experimentación, ninguna de estas condiciones resultaron ser ciertas. La intensidad luminosa no afecta a la emisión de los electrones, pero sí a la frecuencia, ya que el efecto fotoeléctrico solo se produce para ciertos valores de esta y el margen de tiempo es irrelevante. La teoría ondulatoria, por tanto, no resulta válida a la hora de explicar el efecto fotoeléctrico.

Para justificar el fenómeno, Einstein empleó una idea propuesta por Max Planck en 1900 para explicar una paradoja similar surgida a la hora de interpretar la radiación del cuerpo negro. Planck consideró la luz como una serie de paquetes discretos a los que denominó cuantos en lugar de considerarla como una onda. Utilizando esta teoría, Einstein determinó que la energía de los cuantos, partículas que llamamos fotones, está relacionada con la frecuencia de la onda luminosa mediante la expresión:

${\displaystyle E=hf}$

Donde ${\displaystyle E}$ es la energía cinética del fotón, ${\displaystyle f}$ su frecuencia y ${\displaystyle h}$ la constante de Planck ${\displaystyle (6.63\times {10}^{-34}J\cdot s)}$ Una vez establecida la energía del fotón, el efecto fotoeléctrico se convierte en un caso simple de aplicación del principio de conservación de la energía.

Cuando la luz incide sobre una superficie, está aportando una cierta energía, ${\displaystyle E}$, en particular a los electrones de la superficie. Existe un valor concreto de energía necesario para «despegar» el electrón, llamado energía umbral y también función de trabajo,${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_u}$. El exceso de energía por encima de ${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_u}$ aparecerá en forma de energía cinética del electrón,${\displaystyle E_c}$, el cual adquirirá la velocidad que corresponda a la citada energía cinética.

${\displaystyle E(foton)={\mathrm{\Phi }}_u+E_c(electron)}$

Existen varios procedimientos para verificar esta ecuación. Uno consiste en medir las diferencias de potencial entre los electrodos de una célula fotoeléctrica con un voltímetro al iluminar la célula con luz monocromática de diversas longitudes de onda. Como consecuencia, se crearán distintas diferencias de potencial ${\displaystyle V}$ entre los electrodos y aparecerá un paso de corriente producida por los electrones arrancados del cátodo. Una variación de este experimento consistiría en conectar la célula a una batería con las polaridades invertidas y ajustar el valor de la misma hasta que la corriente de la célula descendiera a cero, lo que significaría que el campo opuesto creado es capaz de evitar que los electrones se desprendan de la superficie metálica. Ambos métodos deben verificar el principio de conservación de la energía y por tanto deben cumplir que la energía cinética de los electrones emitidos procede de la diferencia de potencial ${\displaystyle V}$ existente entre los electrodos de la fotocélula en el primer caso y en el segundo representa el potencial ${\displaystyle V}$ opuesto que se aplica y que anula la corriente establecida. Por ello, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle qV=hf-{\mathrm{\Phi }}_u}$

Donde ${\displaystyle q}$ es la carga del electrón y ${\displaystyle V}$ el potencial de frenado.

La solución que Einstein propuso al problema del efecto fotoeléctrico resuelve por completo las contrariedades del modelo ondulatorio. Al tratar la luz como cuantos, se puede comprender que la intensidad de la luz no afecta a la energía del electrón, sino a la cantidad de electrones que se emiten, todos ellos con la misma energía, la cual depende de la frecuencia. Por la misma razón, este efecto no se aprecia para todas las frecuencias, sino solo cuando el fotón tiene la suficiente energía para superar la energía umbral. Por último, no existen motivos para que exista un margen de tiempo para apreciar el efecto ya que el electrón se desprende tan pronto como el fotón impacta la superficie. Este hecho constituye una prueba definitiva de la naturaleza corpuscular de la luz.

Modelos atómicos: el modelo atómico de Bohr

Niels Bohr fue un físico danés que contribuyó a la comprensión de la estructura del átomo y de la mecánica cuántica. Basándose en las teorías de Ernest Rutherford, publicó su modelo atómico en 1913, en el que introdujo la teoría de las órbitas cuantizadas, y en 1922 recibió el Premio Nobel de Física por sus trabajos sobre la estructura atómica y la radiación. Numerosos físicos, basándose en este principio, concluyeron que la luz presentaba una dualidad onda-partícula.

En la física atómica, el modelo atómico de Bohr presenta el átomo como un pequeño núcleo cargado positivamente rodeado por electrones que se mueven alrededor del núcleo en órbitas circulares, similar en estructura al sistema solar, pero con una atracción producida por fuerzas electrostáticas en lugar de gravitatorias. Supuso una mejora con respecto al anterior modelo de Thomson o el modelo de Rutherford. Dado que el modelo de Bohr es una modificación del modelo de Rutherford basada en la física cuántica, distintas fuentes combinan los dos y hablan del modelo de Rutherford-Bohr.^{[cita requerida]} La clave para el éxito del modelo radica en explicar la fórmula de Rydberg para las líneas de emisión espectrales del hidrógeno atómico. La fórmula de Rydberg funcionaba experimentalmente pero no se pudo justificar teóricamente hasta que Bohr introdujo su modelo. Este no solo explica la razón de la estructura de la fórmula de Rydberg, sino que también proporciona una justificación de sus resultados empíricos en términos de constantes físicas fundamentales. En comparación con la teoría del modelo actual, el de Bohr es un modelo primitivo del átomo de hidrógeno pero, debido a su simplicidad y a sus resultados correctos en la interpretación de algunos sistemas concretos, el modelo de Bohr aparece siempre en las introducciones a la mecánica cuántica.^{[cita requerida]}

Los aportes de Bohr a su modelo del átomo se encierran en el segundo y tercer postulados. En el segundo establece la condición de cuantización de las órbitas de los electrones en el átomo y en el tercero introduce la hipótesis de que la energía de un electrón en el átomo solamente puede intercambiarla con el entorno, en pequeñas cantidades múltiplo de la constante de Planck, pasando de una órbita a otra según la condición del segundo postulado. El tercer postulado impide entre otras cosas que el electrón en su movimiento alrededor del núcleo pierda energía de manera continua y salga despedido hacia el núcleo como predecía la teoría clásica.

Primer postulado

Los electrones se mueven en ciertas órbitas circulares permitidas alrededor del núcleo sin emitir energía. En el átomo no hay emisión de radiación electromagnética mientras el electrón permanece en su órbita. La causa de que el electrón no radie energía es un postulado, ya que según la electrodinámica clásica una carga en movimiento acelerado, como es el movimiento de rotación, debe emitir energía en forma de radiación.

Órbita de un electrón alrededor del átomo de hidrógeno

Para obtener la energía del electrón en una órbita dada en función de su radio, Bohr presupone órbitas circulares y utiliza el siguiente razonamiento: el movimiento de rotación del electrón se mantiene por la acción de la fuerza de Coulomb, atractiva, debida a la presencia del núcleo positivo. Dicha fuerza es precisamente la fuerza centrípeta necesaria para mantener al electrón en su órbita circular. Esto conduce a la siguiente expresión:

${\displaystyle k\frac{Z{e}^2}{r^2}=\frac{m_e{v}^2}{r}}$

Donde el primer término es la fuerza de Coulomb y el segundo es la fuerza centrípeta; k es la constante de la fuerza de Coulomb, Z es el número atómico, e es la carga del electrón, ${\displaystyle m_e}$ es la masa del electrón, v es la velocidad del electrón en la órbita y r el radio de la órbita.

Partiendo de la ecuación anterior y sabiendo que la energía total es la suma de las energías cinética y potencial, la energía de un electrón se expresa en función del radio r de la órbita como:

${\displaystyle E=-\frac{1}{2}\frac{kZ{e}^2}{r}}$

Con este postulado, Bohr evitaba el problema de la inestabiliad orbital del electrón, y por tanto del átomo, predicha por la electrodinámica clásica. Esto lo hace al postular que la radiación de energía por parte de las partículas cargadas es válida a escala macroscópica, pero no es aplicable al mundo microscópico del átomo. Sin embargo, surgía el problema de explicar la transición entre los estados estacionarios y la emisión de radiación por el átomo, para lo que Bohr introdujo otro postulado.

Segundo postulado

La condición de cuantización de las órbitas permitidas para el movimiento del electrón en el átomo es una de las grandes aportaciones de Bohr, si bien no aparece en su primer postulado. Bohr hace uso de la constante de Planck como un momento angular elemental de forma que los momentos angulares posibles del electrón son solo los múltiplos enteros del citado momento angular elemental.^{[cita requerida]} Así, no todas las órbitas del electrón alrededor del núcleo están permitidas, tan solo aquellas cuyo radio cumpla que el momento angular, ${\displaystyle L}$, del electrón sea un múltiplo entero de ${\displaystyle \hslash =\frac{h}{2\pi }}$.

A partir de esto queda la condición de cuantización para los radios permitidos para el electrón son:

${\displaystyle r_n=\frac{n^2{\hslash }^2}{k{m}_{e}Z{e}^2}}$

Con ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$;

Sustituyendo los radios permitidos ${\displaystyle r_n}$ en la expresión de la energía se puede obtener la energía correspondiente a cada órbita permitida:

${\displaystyle E_n=-\frac{1}{2}\frac{k^{2}m{Z}^2{e}^4}{n^2{\hslash }^2}}$

Tercer postulado

Emisión y absorción de energía en forma de cuantos al pasar de una órbita a otra

El electrón solo emite o absorbe energía en los saltos de una órbita permitida a otra. En dicho cambio emite o absorbe un fotón cuya energía es la diferencia de energía entre ambos niveles. El fotón, siguiendo las ideas de Planck, tiene una energía:

${\displaystyle E_{\gamma }=h\nu =E_{n_i}-E_{n_f}}$

Donde ${\displaystyle n_i}$ identifica la órbita inicial y ${\displaystyle n_f}$ la final, y ${\displaystyle \nu }$ es la frecuencia del fotón. Introduciendo los valores de las energías asociadas a cada órbita se obtiene para la frecuencia del fotón emitido o absorbido:

${\displaystyle \nu =\frac{k^2{m}_e{Z}^2{e}^4}{2h{\hslash }^2}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)}$

Esta última expresión obtenida a partir de principios cuánticos confirma la fórmula empírica hallada antes por Balmer y utilizada habitualmente por los espectroscopistas para describir la Serie de Balmer —observada desde finales del siglo XIX— en la desexcitación del Hidrógeno y que venía dada por:

${\displaystyle \overline{\nu }=\frac{1}{\lambda }=R_H\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right)}$

Con ${\displaystyle n=3,4,5,\dots }$ y donde ${\displaystyle R_H}$ es la llamada constante de Rydberg para el hidrógeno. El valor medido experimentalmente de la constante de Rydberg ${\displaystyle (1.097\times {10}^7{m}^{-1})}$, coincide con el valor de la fórmula teórica de Bohr.

Los postulados de Bohr corresponden a una primera consideración del hecho de que los electrones estables orbitando en un átomo están descritos por funciones de onda estacionarias.

Principio de incertidumbre de Heisenberg

Introducción

Principio de Incertidumbre para la medida simultánea de la posición y el momento de una partícula

Werner Heisenberg —Premio Nobel de Física en 1932— enunció el llamado principio de incertidumbre o principio de indeterminación, según el cual es imposible medir simultáneamente, y con precisión absoluta, el valor de la posición y la cantidad de movimiento de una partícula. Esto significa que la precisión con que se pueden medir las propiedades de los objetos microscópicos, como posición y momento, está limitada y el límite viene fijado por una ecuación donde la constante de Planck es sujeto principal.^{[cita requerida]}

El principio de incertidumbre en una dimensión (por ejemplo, a lo largo del eje x) se escribe:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }{p}_x\gtrsim \frac{\hslash }{2}=\frac{h}{4\pi }}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$: indeterminación en la posición.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{p}_x}$: indeterminación en la cantidad de movimiento.

${\displaystyle h}$: constante de Planck.

De manera análoga, se puede considerar la relación de incertidumbre en cualquiera de las proyecciones espaciales (sobre los ejes de coordenadas y o z).

La incertidumbre no se deriva de los instrumentos de medida sino del propio hecho de medir; con los aparatos más precisos la incertidumbre en la medida continúa existiendo. Así, cuanto mayor sea la precisión en la medida de una de estas magnitudes mayor será la incertidumbre en la medida de la otra variable complementaria. La posición y la cantidad de movimiento de una partícula, respecto de uno de los ejes de coordenadas, son magnitudes complementarias sujetas a las restricciones del principio de incertidumbre de Heisenberg. También son variables complementarias afectadas por el principio de incertidumbre para un mismo objeto, su energía E y el tiempo, t empleado en la medida,

${\displaystyle \mathrm{\Delta }E\mathrm{\Delta }t\gtrsim \frac{\hslash }{2}=\frac{h}{4\pi }}$

Aplicación del principio de incertidumbre

Datos simulados de la colisión entre protones con producción de haces de hadrones y electrones. Procedente del detector CMS del LHC en el CERN

En el LHC (Large Hadron Collider) del CERN se producen colisiones de protones a una velocidad próxima a la de la luz. Si los protones alcanzaran velocidades punta de ${\displaystyle v_p=2.998\times {10}^{8}m\cdot s^{-1}}$ y se midieran con un 1% de precisión, se puede calcular entonces la incertidumbre en la posición de dichos protones de masa ${\displaystyle m=1.673\times {10}^{-27}kg}$ con una aproximación del 1% en su velocidad, y por tanto:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{v}_p=(1\times {10}^{-2})(2.998\times {10}^{8}m\cdot s^{-1})=2.998\times {10}^{6}m\cdot s^{-1}}$

Dado que ${\displaystyle \mathrm{\Delta }p=m\times \mathrm{\Delta }{v}_p}$, de la incertidumbre en la determinación simultánea de su velocidad y posición se obtiene la siguiente relación para ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$,

${\displaystyle \mathrm{\Delta }x\ge \frac{6.626\times {10}^{-34}J\cdot s}{(4\pi )(1.673\times {10}^{-27}kg)(2.998\times {10}^{6}m\cdot s^{-1})}\ge \frac{6.626}{63.029}\times {10}^{-13}m}$

Por tanto, ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x\ge (\pm 1,05\times {10}^{-14}m)}$, es la indeterminación en la posición del protón.

En las mismas condiciones de precisión, y siguiendo el principio de incertidumbre, se comprueba que cuanto mayor es la velocidad de la partícula, menor es su indeterminación en la posición y viceversa. Un ejemplo extremo sería el caso de un protón a muy bajas velocidades, entonces su posición estaría muy localizada en el espacio pero, en cambio, su incertidumbre sobre dicha posición sería grande.

Aplicación macroscópica del principio de incertidumbre

Un artículo publicado en la revista Science^[14] en febrero de 2013 demuestra que los efectos de la mecánica cuántica no solo son claramente medibles en los experimentos microscópicos, sino que también es posible observarlos en la macrofísica. Es el caso de un oscilador macroscópico que consta de una membrana situada dentro de una cavidad óptica y cuya posición se puede medir gracias a la luz que se refleja en ambos extremos de la cavidad.

Una analogía para la medida óptica de la posición de un objeto es la que se realiza con el sistema de enfoque automático de una cámara de fotos.^[15][16] Al emitir un pulso de luz infrarroja, este se refleja en el objeto y vuelve a la cámara. El tiempo empleado por el haz en ir y volver lo usa la cámara para estimar la distancia entre el objeto y el plano de la imagen. Los autores han podido comprobar cómo se ve afectada la posición de la membrana por la presión de radiación debida a la radiación incidente en la membrana. La medida es tan precisa que se encuentra influenciada por la naturaleza cuántica de los fotones y el error sistemático de la medida solo está limitado por el ruido cuántico que predice el principio de indeterminación de Heisenberg, ecuación (1). El citado principio conduce a cambios en la intensidad de la luz detectada que permiten medir el retroceso de la membrana debido a la presión de la radiación.

Nueva comprensión en la física

Aplicación macroscópica del principio de indeterminación de Heisenberg en la medida óptica de la posición de un objeto macroscópico (una membrana en una cavidad óptica)

El trabajo publicado en la revista Science, además de representar un avance en la observación de los fenómenos cuánticos, constituye un hito en la medida de este tipo de sucesos ya que el experimento alcanza los límites de precisión impuestos por el principio de indeterminación de Heisenberg en las medidas ópticas de la posición de un objeto (membrana en una cavidad óptica).^[17] Esto se debe a que en la citada experiencia se puede medir con precisión el ruido de disparo debido a la presión de radiación, RPSN (Radiation Pressure Shot Noise) que es el retroceso experimentado por el fotón al colisionar contra el objeto. Por el principio de Heisenberg, este «ruido de disparo» presenta una incertidumbre en la cantidad de movimiento, Δp que conlleva un error en la medida de la posición Δx. Esta relación ha impuesto un límite máximo a la sensibilidad de los experimentos de este tipo. El nuevo procedimiento publicado en Science permite medir la posición de un objeto con un error limitado solo por el RPSN. Con estos experimentos se pueden verificar procedimientos teóricos utilizados para intentar esquivar el límite impuesto por el principio de Indeterminación, como es el uso de la luz comprimida de incertidumbre mínima (quadrature-squeezed light)^[18] o las técnicas para evitar el retroceso.

A medida que la temperatura disminuye, el pico de la curva de radiación del cuerpo negro se mueve a intensidades más bajas y longitudes de onda más largas. El gráfico de radiación del cuerpo negro también se compara con el modelo clásico de Rayleigh y Jeans.

El color (cromaticidad) de la radiación del cuerpo negro depende de la temperatura del cuerpo negro; el locus de tales colores, que se muestra aquí en CIE 1931 x, y espacio, se conoce como el locus planckiano.

La radiación del cuerpo negro es la radiación electromagnética térmica dentro o alrededor de un cuerpo en equilibrio termodinámico con su entorno, o emitida por un cuerpo negro (un cuerpo opaco y no reflectante). Tiene un espectro y una intensidad específicos que dependen solo de la temperatura del cuerpo, que se asumen para simplificar los cálculos y la teoría como uniformes y constantes.^[1][2][3][4]

La radiación térmica emitida espontáneamente por muchos objetos ordinarios puede aproximarse a la radiación de cuerpo negro. Un recinto perfectamente aislado que se encuentra en equilibrio térmico internamente contiene radiación de cuerpo negro y lo emitirá a través de un agujero hecho en su pared, siempre que el agujero sea lo suficientemente pequeño como para tener un efecto insignificante en el equilibrio.

Un cuerpo negro a temperatura ambiente aparece negro, ya que la mayor parte de la energía que irradia es infrarroja y no puede ser percibida por el ojo humano. Debido a que el ojo humano no puede percibir ondas de luz a frecuencias más bajas, un cuerpo negro, visto en la oscuridad a la temperatura más baja y apenas visible, aparece subjetivamente gris, aunque su pico de espectro físico objetivo está en el rango infrarrojo.^[5] Cuando se pone un poco más caliente, aparece rojo apagado. A medida que aumenta su temperatura, se vuelve amarillo, blanco y, finalmente, azul-blanco.

Aunque los planetas y las estrellas no están en equilibrio térmico con sus alrededores ni los cuerpos negros perfectos, la radiación del cuerpo negro se usa como primera aproximación de la energía que emiten.^[6] Los agujeros negros son cuerpos negros casi perfectos, en el sentido de que absorben toda la radiación que cae sobre ellos. Se ha propuesto que emitan radiación de cuerpo negro (radiación de Hawking), con una temperatura que depende de la masa del agujero negro.^[7]

El término cuerpo negro fue introducido por Gustav Kirchhoff en 1860.^[8] La radiación del cuerpo negro también se denomina radiación térmica, radiación de la cavidad, radiación completa o radiación de temperatura.

Espectro

La radiación del cuerpo negro tiene un espectro de frecuencia continuo y característico que depende solo de la temperatura del cuerpo,^[9] llamado espectro de Planck o ley de Planck. El espectro alcanza su punto máximo a una frecuencia característica que se desplaza a frecuencias más altas a medida que aumenta la temperatura y, a temperatura ambiente, la mayor parte de la emisión se encuentra en la región infrarroja del espectro electromagnético.^[10][11][12] A medida que la temperatura aumenta más allá de los 500 °C, los cuerpos negros comienzan a emitir cantidades significativas de luz visible. Visto en la oscuridad por el ojo humano, el primer resplandor débil aparece como un gris "fantasmal" (la luz visible es realmente roja, pero la luz de baja intensidad activa solo los sensores de nivel de gris del ojo). Con el aumento de la temperatura, el brillo se hace visible incluso cuando hay algo de fondo alrededor de la luz: primero como un rojo apagado, luego amarillo, y finalmente un "blanco azulado deslumbrante" a medida que la temperatura aumenta.^[13][14] Cuando el cuerpo aparece blanco, está emitiendo una fracción sustancial de su energía como radiación ultravioleta. El Sol, con una temperatura efectiva de aproximadamente 5800 K,^[15] es un cuerpo negro aproximado con un espectro de emisión que alcanza su punto máximo en la parte central, amarillo-verde del espectro visible, pero también con una potencia significativa en el ultravioleta.

La radiación del cuerpo negro proporciona información sobre el estado de equilibrio termodinámico de la radiación de la cavidad. Si cada modo de Fourier de la radiación de equilibrio en una cavidad por lo demás vacía con paredes perfectamente reflectantes se considera como un grado de libertad capaz de intercambiar energía, entonces, de acuerdo con el teorema de equipartición de la física clásica, habría una cantidad igual de energía en cada modo. Como hay un número infinito de modos, esto implica una capacidad de calor infinita (energía infinita a cualquier temperatura que no sea cero), así como un espectro no físico de radiación emitida que crece sin límite con una frecuencia creciente, un problema conocido como la catástrofe ultravioleta. En cambio, en la teoría cuántica, los números de ocupación de los modos se cuantifican, cortando el espectro a alta frecuencia de acuerdo con la observación experimental y resolviendo la catástrofe. El estudio de las leyes de los cuerpos negros y el fracaso de la física clásica para describirlos ayudaron a establecer los fundamentos de la mecánica cuántica.

Explicación

Toda la materia normal (bariónica) emite radiación electromagnética cuando tiene una temperatura por encima del cero absoluto. La radiación representa una conversión de la energía interna de un cuerpo en energía electromagnética y, por lo tanto, se llama radiación térmica. Es un proceso espontáneo de distribución radiativa de la entropía.

El cuerpo de un cuerpo negro de 800 K a 12200 K. Esta gama de colores se aproxima a la gama de colores de estrellas de diferentes temperaturas, como se ve o se fotografía en el cielo nocturno.

A la inversa, toda la materia normal absorbe la radiación electromagnética en cierto grado. Un objeto que absorbe toda la radiación que cae sobre él, en todas las longitudes de onda, se llama cuerpo negro. Cuando un cuerpo negro está a una temperatura uniforme, su emisión tiene una distribución de frecuencia característica que depende de la temperatura. Su emisión se llama radiación de cuerpo negro.

El concepto del cuerpo negro es una idealización, ya que los cuerpos negros perfectos no existen en la naturaleza.^[16] El grafito y el negro de carbón, con emisividades superiores a 0,95, sin embargo, son buenas aproximaciones a un material negro. Experimentalmente, la radiación del cuerpo negro se puede establecer mejor como la radiación de equilibrio estable en última instancia estable en una cavidad en un cuerpo rígido, a una temperatura uniforme, que es totalmente opaca y solo es parcialmente reflexiva.^[16] Una caja cerrada de paredes de grafito a una temperatura constante con un pequeño orificio en un lado produce una buena aproximación a la radiación ideal del cuerpo negro que emana de la abertura.^[17][18]

La radiación del cuerpo negro tiene una distribución única absolutamente estable de intensidad radiativa que puede persistir en el equilibrio termodinámico en una cavidad.^[16] En equilibrio, para cada frecuencia, la intensidad total de la radiación que se emite y refleja desde un cuerpo (es decir, la cantidad neta de radiación que sale de su superficie, llamada la radiación espectral) se determina únicamente por la temperatura de equilibrio, y no depende de La forma, material o estructura del cuerpo.^[19] Para un cuerpo negro (un absorbente perfecto) no hay radiación reflejada, por lo que la luminosidad espectral se debe enteramente a la emisión. Además, un cuerpo negro es un emisor difuso (su emisión es independiente de la dirección). En consecuencia, la radiación del cuerpo negro puede verse como la radiación de un cuerpo negro en el equilibrio térmico.

La radiación del cuerpo negro se convierte en un resplandor visible de la luz si la temperatura del objeto es lo suficientemente alta. El punto Draper es la temperatura a la que todos los sólidos brillan de un rojo tenue, alrededor de 798 K.^[20] A 1000 K, una pequeña abertura en la pared de una gran cavidad de paredes opacas calentadas uniformemente (horno), vista desde el exterior, se ve roja; A 6000 K, parece blanco. No importa cómo se construya el horno, o de qué material, siempre y cuando se construya de manera que casi toda la luz que ingresa sea absorbida por sus paredes, contendrá una buena aproximación a la radiación del cuerpo negro. El espectro, y por lo tanto el color, de la luz que sale será solo una función de la temperatura de la cavidad. Una gráfica de la cantidad de energía dentro del horno por unidad de volumen y por unidad de intervalo de frecuencia trazada en función de la frecuencia, se denomina curva de cuerpo negro. Diferentes curvas se obtienen variando la temperatura.

La temperatura de un flujo de lava Pāhoehoe se puede estimar observando su color. El resultado concuerda bien con otras mediciones de las temperaturas de los flujos de lava en alrededor de 1000 a 1200 °C (1830 a 2190 °F).

Dos cuerpos que están a la misma temperatura permanecen en equilibrio térmico mutuo, por lo que un cuerpo a temperatura T rodeado por una nube de luz a temperatura T emitirá tanta luz en la nube como absorbe, siguiendo el principio de intercambio de Prevost, que se refiere al equilibrio radiativo. El principio del equilibrio detallado dice que, en el equilibrio termodinámico, cada proceso elemental funciona igualmente en su sentido hacia adelante y hacia atrás.^[21][22] Prevost también demostró que la emisión de un cuerpo está determinada lógicamente únicamente por su propio estado interno. El efecto causal de la absorción termodinámica en la emisión termodinámica (espontánea) no es directo, sino que es solo indirecto, ya que afecta al estado interno del cuerpo. Esto significa que en el equilibrio termodinámico, la dimensión de cada longitud de onda en cada dirección de radiación térmica emitida por un cuerpo a temperatura T, negra o no, es igual a la cantidad correspondiente que el cuerpo absorbe porque está rodeada de luz a temperatura T.^[23]

Cuando el cuerpo es negro, la absorción es obvia: la cantidad de luz absorbida es toda la luz que llega a la superficie. Para un cuerpo negro mucho más grande que la longitud de onda, la energía de la luz absorbida en cualquier longitud de onda λ por unidad de tiempo es estrictamente proporcional a la curva del cuerpo negro. Esto significa que la curva del cuerpo negro es la cantidad de energía luminosa emitida por un cuerpo negro, lo que justifica el nombre. Esta es la condición para la aplicabilidad de la ley de radiación térmica de Kirchhoff: la curva del cuerpo negro es característica de la luz térmica, que depende solo de la temperatura de las paredes de la cavidad, siempre que las paredes de la cavidad sean completamente opacas y no muy reflexivo, y que la cavidad está en equilibrio termodinámico.^[24] Cuando el cuerpo negro es pequeño, por lo que su tamaño es comparable a la longitud de onda de la luz, la absorción se modifica, porque un objeto pequeño no es un absorbente eficiente de la luz de longitud de onda larga, pero el principio de igualdad estricta de emisión y absorción es Siempre mantenidos en una condición de equilibrio termodinámico.

En el laboratorio, la radiación del cuerpo negro se aproxima a la radiación de un agujero pequeño en una cavidad grande, un hohlraum, en un cuerpo totalmente opaco que solo es parcialmente reflectivo, que se mantiene a una temperatura constante. (Esta técnica lleva al término alternativo radiación de la cavidad). Cualquier luz que ingrese al orificio deberá reflejarse en las paredes de la cavidad varias veces antes de que escape, en cuyo proceso es casi seguro que se absorba. La absorción se produce independientemente de la longitud de onda de la radiación que ingresa (siempre que sea pequeña en comparación con el agujero). El orificio, entonces, es una aproximación cercana de un cuerpo negro teórico y, si la cavidad se calienta, el espectro de la radiación del orificio (es decir, la cantidad de luz emitida por el orificio en cada longitud de onda) será continuo y dependerá solo en la temperatura y en el hecho de que las paredes son opacas y al menos parcialmente absorbentes, pero no en el material particular del cual están construidas ni en el material en la cavidad (comparado con el espectro de emisión).

El cálculo de la curva del cuerpo negro fue un desafío importante en la física teórica a finales del siglo XIX. El problema fue resuelto en 1901 por Max Planck en el formalismo ahora conocido como la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro.^[25] Al realizar cambios en la ley de radiación de Wien (que no debe confundirse con la ley de desplazamiento de Wien) en consonancia con la termodinámica y el electromagnetismo, encontró una expresión matemática que se ajustaba satisfactoriamente a los datos experimentales. Planck tenía que asumir que la energía de los osciladores en la cavidad estaba cuantificada, es decir, existía en múltiplos enteros de cierta cantidad. Einstein se basó en esta idea y propuso la cuantificación de la radiación electromagnética en 1905 para explicar el efecto fotoeléctrico. Estos avances teóricos tarde o temprano resultaron en la superación del electromagnetismo clásico por la electrodinámica cuántica. Estos cuantos fueron llamados fotones y se pensaba que la cavidad del cuerpo negro contenía un gas de fotones. Además, condujo al desarrollo de distribuciones de probabilidad cuántica, llamadas estadísticas de Fermi-Dirac y estadísticas de Bose-Einstein, cada una de ellas aplicable a una clase diferente de partículas, fermiones y bosones.

La longitud de onda a la cual la radiación es más fuerte está dada por la ley de desplazamiento de Wien, y la potencia general emitida por unidad de área está dada por la ley de Stefan-Boltzmann. Entonces, a medida que aumenta la temperatura, el color del brillo cambia de rojo a amarillo a blanco a azul. A pesar de que la longitud de onda máxima se mueve hacia el ultravioleta, se sigue emitiendo suficiente radiación en las longitudes de onda azules para que el cuerpo continúe apareciendo en azul. Nunca se volverá invisible, de hecho, la radiación de la luz visible aumenta monótonamente con la temperatura.^[26] La ley de Stefan-Boltzmann también dice que la energía de calor radiante total emitida desde una superficie es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. La ley fue formulada por Josef Stefan en 1879 y luego derivada por Ludwig Boltzmann. Se da la fórmula E = σT⁴, donde E es el calor radiante emitido desde una unidad de área por unidad de tiempo, T es la temperatura absoluta y σ = 5.670367 × 10⁻⁸ W·m⁻²⋅K⁻⁴ es la constante de Stefan-Boltzmann.^[27]

La luminosidad o la intensidad observada no es una función de la dirección. Por lo tanto, un cuerpo negro es un perfecto radiador de Lambert.

Los objetos reales nunca se comportan como cuerpos negros ideales, y en cambio, la radiación emitida a una frecuencia dada es una fracción de lo que sería la emisión ideal. La emisividad de un material especifica qué tan bien un cuerpo real irradia energía en comparación con un cuerpo negro. Esta emisividad depende de factores como la temperatura, el ángulo de emisión y la longitud de onda. Sin embargo, es típico en ingeniería suponer que la emisividad espectral y la capacidad de absorción de una superficie no dependen de la longitud de onda, por lo que la emisividad es una constante. Esto se conoce como la suposición del cuerpo gris.

Imagen WMAP de 9 años (2012) de la radiación de fondo de microondas cósmica en todo el universo.^[28][29]

Con superficies no negras, las desviaciones del comportamiento ideal del cuerpo negro están determinadas por la estructura de la superficie, como la rugosidad o granularidad, y la composición química. En una base "por longitud de onda", los objetos reales en estados de equilibrio termodinámico local siguen la Ley de Kirchhoff: la emisividad es igual a la capacidad de absorción, de modo que un objeto que no absorbe toda la luz incidente también emitirá menos radiación que un cuerpo negro ideal; la absorción incompleta puede deberse a que parte de la luz incidente se transmite a través del cuerpo o que parte de ella se refleje en la superficie del cuerpo.

En astronomía, los objetos como las estrellas son frecuentemente considerados como cuerpos negros, aunque esta es a menudo una mala aproximación. La radiación cósmica de fondo de microondas exhibe un espectro de cuerpo negro casi perfecto. La radiación de Hawking es la hipotética radiación del cuerpo negro emitida por los agujeros negros, a una temperatura que depende de la masa, la carga y el giro del agujero. Si esta predicción es correcta, los agujeros negros se reducirán gradualmente y se evaporarán con el tiempo a medida que pierden masa por la emisión de fotones y otras partículas.

Un cuerpo negro irradia energía en todas las frecuencias, pero su intensidad tiende rápidamente a cero a altas frecuencias (longitudes de onda cortas). Por ejemplo, un cuerpo negro a temperatura ambiente (300 K) con un metro cuadrado de área de superficie emitirá un fotón en el rango visible (390–750 nm) a una tasa promedio de un fotón cada 41 segundos, lo que significa que para la mayoría de los casos prácticos. A tal efecto, dicho cuerpo negro no emite en el rango visible.

Ecuaciones

Artículo principal: Ley de Planck

La ley de Planck de la radiación del cuerpo negro

La ley de Planck establece que^[30]

${\displaystyle B_{\nu }(T)=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu /kT}-1},}$

donde ${\displaystyle B_{\nu }(T)}$ es la luminosidad espectral (la potencia por unidad de ángulo sólido y por unidad de área normal a la propagación) densidad de frecuencia ν radiación por unidad de frecuencia en equilibrio térmico a temperatura T. h es la constante de Planck; c es la velocidad de la luz en el vacío; k es la constante de Boltzmann; ν es la frecuencia de la radiación electromagnética; T es la temperatura absoluta del cuerpo.

Para una superficie de cuerpo negro, la densidad de radiación espectral (definida por unidad de área normal a la propagación) es independiente del ángulo ${\displaystyle \theta }$ de emisión con respecto a la normal. Sin embargo, esto significa que, siguiendo la ley de coseno de Lambert, ${\displaystyle B_{\nu }(T)\cos \theta }$ es la densidad de radiancia por unidad de área de la superficie emisora, ya que el área de la superficie involucrada en la generación de la radiancia se incrementa en un factor ${\displaystyle 1/\cos \theta }$ con respecto a un área normal a la dirección de propagación. En los ángulos oblicuos, los intervalos de ángulos sólidos implicados se hacen más pequeños, lo que da como resultado intensidades agregadas más bajas.

Ley de desplazamiento de Wien

La ley de desplazamiento de Wien muestra cómo el espectro de radiación del cuerpo negro a cualquier temperatura se relaciona con el espectro a cualquier otra temperatura. Si conocemos la forma del espectro a una temperatura, podemos calcular la forma a cualquier otra temperatura. La intensidad espectral puede expresarse en función de la longitud de onda o de la frecuencia.

Una consecuencia de la ley de desplazamiento de Wien es que la longitud de onda en la cual la intensidad por unidad de longitud de onda de la radiación producida por un cuerpo negro es máxima, ${\displaystyle {\lambda }_{max}}$, es una función solo de la temperatura:

${\displaystyle {\lambda }_{max}=\frac{b}{T},}$

donde la constante b, conocida como constante de desplazamiento de Wien, es igual a 2.8977729 (17)×10⁻³ K·m .^[31]

La ley de Planck también se mencionó anteriormente en función de la frecuencia. La intensidad máxima para esto está dada por^[32]

${\displaystyle {\nu }_{max}=T\times 1.04\times {10}^{11}\mathrm{H}\mathrm{z}/\mathrm{K}}$

Ley de Stefan-Boltzmann

Artículo principal: Ley de Stefan-Boltzmann

Al integrar ${\displaystyle B_{\nu }(T)}$ sobre la frecuencia, el brillo integrado ${\displaystyle L}$ es

${\displaystyle L=\frac{2{\pi }^5}{15}\frac{k^4{T}^4}{c^2{h}^3}\frac{1}{\pi }=:\sigma T^4\frac{1}{\pi }}$

utilizando que

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}dx\frac{x^3}{e^x-1}=\frac{{\pi }^4}{15}}$

con ${\displaystyle x\equiv \frac{h\nu }{kT}}$ y con ${\displaystyle \sigma \equiv \frac{2{\pi }^5}{15}\frac{k^4}{c^2{h}^3}=5.670373\times {10}^{-8}\frac{W}{m^2{K}^4}}$ siendo la constante de Stefan-Boltzmann. El resplandor ${\displaystyle L}$ es entonces

${\displaystyle \sigma T^4\frac{\cos \theta }{\pi }}$ por unidad de superficie emisora.

En una nota lateral, a una distancia d, la intensidad ${\displaystyle dI}$ por área ${\displaystyle dA}$ de la superficie radiante es la expresión

${\displaystyle dI=\sigma T^4\frac{\cos \theta }{\pi d^2}dA}$

cuando la superficie receptora es perpendicular a la radiación.

Al integrarse posteriormente sobre el ángulo sólido ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ (donde ) se calcula la ley de Stefan-Boltzmann, que indica que la potencia j* emitida por unidad de área de la superficie de un cuerpo negro es directamente proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta:

${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^4,}$

mediante el uso

${\displaystyle \int \cos \theta d\mathrm{\Omega }={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta d\varphi =\pi .}$

Emisión del cuerpo humano

Gran parte de la energía de una persona se irradia en forma de luz infrarroja. Algunos materiales son transparentes en el infrarrojo, pero opacos a la luz visible, como lo es la bolsa de plástico en esta imagen infrarroja (parte inferior). Otros materiales son transparentes a la luz visible, pero opacos o reflectantes en el infrarrojo, notables por la oscuridad de las gafas del hombre.

El cuerpo humano irradia energía como luz infrarroja. La potencia neta radiada es la diferencia entre la potencia emitida y la potencia absorbida:

${\displaystyle P_{\text{net}}=P_{\text{emit}}-P_{\text{absorb}}.}$

Aplicando la ley de Stefan-Boltzmann,

${\displaystyle P_{\text{net}}=A\sigma \epsilon \left(T^4-T_0^4\right),}$

donde A y T son el área de la superficie corporal y la temperatura, ${\displaystyle \epsilon }$ es la emisividad y T₀ es la temperatura ambiente.

El área de superficie total de un adulto es de aproximadamente 2 m², y la emisividad de la piel en el infrarrojo medio y lejano y la mayoría de la ropa es cercana a la unidad, como lo es para la mayoría de las superficies no metálicas.^[33][34] La temperatura de la piel es de aproximadamente 33 °C,^[35] pero la ropa reduce la temperatura de la superficie a aproximadamente 28 °C cuando la temperatura ambiente es de 20 °C.^[36]

${\displaystyle P_{\text{net}}=100\text{W}.}$

La energía total irradiada en un día es de aproximadamente 8 MJ, o 2000 kcal (calorías de los alimentos). La tasa metabólica basal para un varón de 40 años es de aproximadamente 35 kcal/(m²·h),^[37] lo que equivale a 1700 kcal por día, asumiendo la misma área de 2 m². Sin embargo, la tasa metabólica media de los adultos sedentarios es de aproximadamente 50 a 70 % mayor que su tasa basal.^[38]

Existen otros mecanismos importantes de pérdida térmica, incluyendo la convección y la evaporación. La conducción es despreciable: el número de Nusselt es mucho mayor que la unidad. La evaporación por transpiración solo es necesaria si la radiación y la convección son insuficientes para mantener una temperatura en estado estable (pero la evaporación de los pulmones ocurre independientemente). Las tasas de libre convección son comparables, aunque algo más bajas, que las tasas de radiación.^[39] Por lo tanto, la radiación representa aproximadamente dos tercios de la pérdida de energía térmica en aire frío y en calma. Dada la naturaleza aproximada de muchas de las suposiciones, esto solo puede tomarse como una estimación cruda. El movimiento del aire ambiente, que causa convección forzada o evaporación, reduce la importancia relativa de la radiación como mecanismo de pérdida térmica.

La aplicación de la ley de Wien a los resultados de emisión del cuerpo humano en una longitud de onda máxima de

${\displaystyle {\lambda }_{\text{peak}}=\frac{2.898\times {10}^{-3}\text{K}\cdot \text{m}}{305\text{K}}=9.50\mu \text{m}.}$

Por esta razón, los dispositivos de imagen térmica para sujetos humanos son más sensibles en el rango de 7 a 14 μm.

Relación de temperatura entre un planeta y su estrella

Artículo principal: Temperatura del equilibrio planetario

La ley del cuerpo negro puede usarse para estimar la temperatura de un planeta que orbita alrededor del Sol.

La intensidad de radiación térmica de onda larga de la Tierra, desde las nubes, la atmósfera y el suelo.

La temperatura de un planeta depende de varios factores:

• Radiación incidente de su estrella.
• Radiación emitida por el planeta, por ejemplo, el resplandor infrarrojo de la Tierra.
• El efecto albedo que causa que una fracción de la luz sea reflejada por el planeta.
• El efecto invernadero para planetas con una atmósfera.
• Energía generada internamente por un planeta en sí debido a la descomposición radioactiva, el calentamiento de las mareas y la contracción adiabática debida al enfriamiento.

El análisis solo considera el calor del Sol para un planeta en el sistema solar.

La ley de Stefan-Boltzmann da la potencia total (energía/segundo) que emite el Sol:

La Tierra solo tiene un área de absorción igual a un disco bidimensional, en lugar de la superficie de una esfera.

${\displaystyle P_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{t}}=4\pi R_{\mathrm{S}}^2\sigma T_{\mathrm{S}}^4(1)}$

donde

${\displaystyle \sigma }$es la constante de Stefan-Boltzmann,

${\displaystyle T_{\mathrm{S}}}$ es la temperatura efectiva del Sol, y

${\displaystyle R_{\mathrm{S}}}$ es el radio del Sol.

El Sol emite ese poder por igual en todas las direcciones. Debido a esto, el planeta es golpeado con solo una pequeña fracción de él. El poder del Sol que golpea el planeta (en la parte superior de la atmósfera) es:

${\displaystyle P_{\mathrm{S}\mathrm{E}}=P_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{t}}\left(\frac{\pi R_{\mathrm{E}}^2}{4\pi D^2}\right)(2)}$

donde

${\displaystyle R_{\mathrm{E}}}$es el radio del planeta y

${\displaystyle D}$es la distancia entre el Sol y el planeta.

Debido a su alta temperatura, el Sol emite en gran medida en el rango de frecuencia ultravioleta y visible (UV-Vis). En este rango de frecuencia, el planeta refleja una fracción ${\displaystyle \alpha }$de esta energía donde ${\displaystyle \alpha }$es el albedo o reflectancia del planeta en el rango UV-Vis. En otras palabras, el planeta absorbe una fracción ${\displaystyle 1-\alpha }$de la luz del Sol y refleja el resto. El poder absorbido por el planeta y su atmósfera es entonces:

${\displaystyle P_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}}=(1-\alpha )P_{\mathrm{S}\mathrm{E}}(3)}$

Aunque el planeta solo se absorbe como un área circular ${\displaystyle \pi R^2}$, se emite igualmente en todas las direcciones como una esfera. Si el planeta fuera un cuerpo negro perfecto, emitiría de acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann

${\displaystyle P_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{t}\mathrm{b}\mathrm{b}}=4\pi R_{\mathrm{E}}^2\sigma T_{\mathrm{E}}^4(4)}$

donde ${\displaystyle T_{\mathrm{E}}}$es la temperatura del planeta. Esta temperatura, calculada para el caso del planeta que actúa como un cuerpo negro al establecer ${\displaystyle P_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}}=P_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{t}\mathrm{b}\mathrm{b}}}$, se conoce como temperatura efectiva. La temperatura real del planeta probablemente será diferente, dependiendo de su superficie y sus propiedades atmosféricas. Ignorando la atmósfera y el efecto invernadero, el planeta, ya que se encuentra a una temperatura mucho más baja que el Sol, emite principalmente en la porción infrarroja (IR) del espectro. En este rango de frecuencia, emite ${\displaystyle \overline{ϵ}}$ de la radiación que un cuerpo negro emitiría donde ${\displaystyle \overline{ϵ}}$es la emisividad promedio en el rango de IR. La potencia emitida por el planeta es entonces:

${\displaystyle P_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{t}}=\overline{ϵ}{P}_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{t}\mathrm{b}\mathrm{b}}(5)}$

Para un cuerpo en equilibrio de intercambio radiativo con su entorno, la velocidad a la que emite energía radiante es igual a la velocidad a la que lo absorbe:^[40][41]

${\displaystyle P_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}}=P_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{t}}(6)}$

Sustituyendo las expresiones de energía solar y planetaria en las ecuaciones 1-6 y simplificando los rendimientos de la temperatura estimada del planeta, ignorando el efecto invernadero, T_P:

${\displaystyle T_P=T_S\sqrt{\frac{R_S\sqrt{\frac{1-\alpha }{\overline{\epsilon }}}}{2D}}(7)}$

En otras palabras, dados los supuestos realizados, la temperatura de un planeta depende solo de la temperatura de la superficie del Sol, el radio del Sol, la distancia entre el planeta y el Sol, el albedo y la emisividad IR del planeta.

Tenga en cuenta que una bola gris (de espectro plano) donde ${\displaystyle (1-\alpha )=\overline{\epsilon }}$llega a la misma temperatura que un cuerpo negro, sin importar qué tan oscuro o claro sea el gris.

Temperatura efectiva de la Tierra

Sustituyendo los valores medidos por los rendimientos del Sol y la Tierra:

${\displaystyle T_{\mathrm{S}}=5778\mathrm{K},}$^[42]

${\displaystyle R_{\mathrm{S}}=6.96\times {10}^8\mathrm{m},}$^[42]

${\displaystyle D=1.496\times {10}^{11}\mathrm{m},}$^[42]

${\displaystyle \alpha =0.306}$^[43]

Con la emisividad promedio ${\displaystyle \overline{\epsilon }}$establecida en la unidad, la temperatura efectiva de la Tierra es:

${\displaystyle T_{\mathrm{E}}=254.356\mathrm{K}}$

o −18.8 °C.

Esta es la temperatura de la Tierra si se irradiara como un cuerpo negro perfecto en el infrarrojo, asumiendo un albedo inalterable e ignorando los efectos de efecto invernadero (que pueden elevar la temperatura de la superficie de un cuerpo por encima de lo que sería si fuera un cuerpo negro perfecto todos los espectros^[44]). De hecho, la Tierra no irradia exactamente como un cuerpo negro perfecto en el infrarrojo que elevará la temperatura estimada algunos grados por encima de la temperatura efectiva. Si deseamos estimar cuál sería la temperatura de la Tierra si no tuviera atmósfera, podríamos tomar el albedo y la emisividad de la Luna como una buena estimación. El albedo y la emisividad de la Luna son aproximadamente 0.1054^[45] y 0.95^[46] respectivamente, produciendo una temperatura estimada de aproximadamente 1.36 °C.

Las estimaciones del albedo promedio de la Tierra varían en el rango de 0.3 a 0.4, lo que resulta en diferentes temperaturas efectivas estimadas. Las estimaciones a menudo se basan en la constante solar (densidad de potencia de insolación total) en lugar de la temperatura, el tamaño y la distancia del Sol. Por ejemplo, al usar 0.4 para el albedo y una insolación de 1400 W·m⁻², se obtiene una temperatura efectiva de aproximadamente 245 K.^[47] De manera similar, utilizando albedo 0.3 y constante solar de 1372 W·m⁻², se obtiene una temperatura efectiva de 255 K.^[48][49][50]

Cosmología

La radiación de fondo de microondas cósmica observada hoy es la radiación de cuerpo negro más perfecta jamás observada en la naturaleza, con una temperatura de aproximadamente 2,7 K.^[51] Es una "instantánea" de la radiación en el momento del desacoplamiento entre la materia y la radiación en el universo primitivo. Antes de este momento, la mayor parte de la materia en el universo estaba en forma de plasma ionizado en equilibrio térmico, aunque no termodinámico completo, con radiación.

Según Kondepudi y Prigogine, a temperaturas muy altas (por encima de 10¹⁰ K; tales temperaturas existían en el universo muy temprano), donde el movimiento térmico separa los protones y los neutrones a pesar de las fuerzas nucleares fuertes, los pares electrón-positrón aparecen y desaparecen espontáneamente y están en equilibrio térmico con radiación electromagnética. Estas partículas forman parte del espectro del cuerpo negro, además de la radiación electromagnética.^[52]

Efecto Doppler para un cuerpo negro en movimiento

El efecto Doppler relativista provoca un cambio en la frecuencia f de la luz que se origina en una fuente que se está moviendo en relación con el observador, de modo que se observa que la onda tiene una frecuencia f':

${\displaystyle f^{\prime }=f\frac{1-\frac{v}{c}\cos \theta }{\sqrt{1-v^2/c^2}},}$

donde v es la velocidad de la fuente en el cuadro de descanso del observador, θ es el ángulo entre el vector de velocidad y la dirección de la fuente del observador medida en el cuadro de referencia de la fuente, y c es la velocidad de la luz.^[53] Esto se puede simplificar para los casos especiales de objetos que se mueven directamente hacia (θ = π) o alejados (θ = 0) del observador, y para velocidades mucho menores que c.

A través de la ley de Planck, el espectro de temperatura de un cuerpo negro está proporcionalmente relacionado con la frecuencia de la luz y uno puede sustituir la temperatura (T) por la frecuencia en esta ecuación.

En el caso de que una fuente se mueva directamente hacia o lejos del observador, esto se reduce a

${\displaystyle T^{\prime }=T\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}.}$

Aquí v>0 indica una fuente de retroceso, y v<0 indica una fuente que se aproxima.

Este es un efecto importante en la astronomía, donde las velocidades de las estrellas y galaxias pueden alcanzar fracciones significativas de c. Un ejemplo se encuentra en la radiación de fondo de microondas cósmica, que muestra una anisotropía dipolar del movimiento de la Tierra en relación con este campo de radiación de cuerpo negro.

Historia

Balfour Stewart

En 1858, Balfour Stewart describió sus experimentos sobre los poderes emisivos y absorbentes de radiación térmica de las placas pulidas de diversas sustancias, en comparación con los poderes de las superficies de lámpara negra, a la misma temperatura.^[23] Stewart eligió las superficies de color negro como su referencia debido a varios hallazgos experimentales anteriores, especialmente los de Pierre Prevost y John Leslie. Escribió: "Lámpara de color negro, que absorbe todos los rayos que caen sobre ella y, por lo tanto, posee el mayor poder de absorción posible, también tendrá el mayor poder de radiación posible". Más como experimentador que como lógico, Stewart no señaló que su afirmación presuponía un principio general abstracto, que existe idealmente en teoría o en realidad en cuerpos naturales o superficies que, respectivamente, tienen el mismo poder universal de absorción más universal posible, igualmente. Para la potencia de radiación, para cada longitud de onda y temperatura de equilibrio.

Stewart midió la potencia irradiada con un termómetro y un galvanómetro sensible leído con un microscopio. Le preocupaba la radiación térmica selectiva, que investigó con placas de sustancias que irradiaban y absorbían selectivamente para diferentes calidades de radiación en lugar de para todas las cualidades de radiación. Discutió los experimentos en términos de rayos que podían reflejarse y refractarse, y que obedecían el principio de reciprocidad de Stokes-Helmholtz (aunque no usó un epónimo para ello). En este artículo no mencionó que las cualidades de los rayos podrían describirse por sus longitudes de onda, ni tampoco utilizó aparatos de resolución espectral como prismas o rejillas de difracción. Su trabajo fue cuantitativo dentro de estas limitaciones. Hizo sus mediciones en un ambiente a temperatura ambiente, y rápidamente para atrapar sus cuerpos en una condición cerca del equilibrio térmico en el que se habían preparado calentando al equilibrio con agua hirviendo. Sus mediciones confirmaron que las sustancias que emiten y absorben respetan selectivamente el principio de igualdad selectiva de emisión y absorción en el equilibrio térmico.

Stewart ofreció una prueba teórica de que este debería ser el caso por separado para cada calidad seleccionada de radiación térmica, pero sus matemáticas no eran rigurosamente válidas.^[54] No mencionó la termodinámica en este documento, aunque sí se refirió a la conservación de vis viva. Él propuso que sus mediciones implicaban que la radiación era absorbida y emitida por partículas de materia a través de las profundidades de los medios en los que se propagaba. Aplicó el principio de reciprocidad de Helmholtz para tener en cuenta los procesos de interfaz del material a diferencia de los procesos en el material interior. No postulaba superficies negras perfectas perfectamente irrealizables. Llegó a la conclusión de que sus experimentos demostraron que en una cavidad en equilibrio térmico, el calor irradiado desde cualquier parte de la superficie delimitadora interior, sin importar de qué material pudiera estar compuesto, era el mismo que se habría emitido desde una superficie de la misma superficie. Forma y posición que habrían estado compuestas por lámpara-negro. No declaró explícitamente que los cuerpos recubiertos con negro de lámpara que usaba como referencia debían tener una función de emisión espectral común única que dependía de la temperatura de una manera única.

Gustav Kirchhoff

En 1859, sin conocer el trabajo de Stewart, Gustav Robert Kirchhoff informó la coincidencia de las longitudes de onda de las líneas de absorción y emisión de luz visible resueltas espectralmente. Importante para la física térmica, también observó que las líneas brillantes o líneas oscuras eran evidentes dependiendo de la diferencia de temperatura entre el emisor y el absorbente..^[55]

Kirchhoff luego pasó a considerar algunos cuerpos que emiten y absorben la radiación de calor, en un recinto o cavidad opaca, en equilibrio a temperatura T.

Aquí se usa una notación diferente de la de Kirchhoff. Aquí, la potencia emisora E (T, i) denota una cantidad dimensionada, la radiación total emitida por un cuerpo etiquetado por el índice i a la temperatura T. La relación de absorción total a (T, i) de ese cuerpo es adimensional, la relación de Absorbido a la radiación incidente en la cavidad a temperatura T. (En contraste con la de Balfour Stewart, la definición de Kirchhoff de su relación de absorción no se refería en particular a una superficie de lámpara negra como la fuente de la radiación incidente). Por lo tanto, la relación E (T, i) / a (T, i) de La relación entre la potencia de emisión y la absorción es una cantidad dimensionada, con las dimensiones de la potencia de emisión, porque a (T, i) no tiene dimensiones. También aquí, la potencia de emisión específica de la longitud de onda del cuerpo a la temperatura T se denota por E (λ, T, i) y la relación de absorción específica de la longitud de onda por a (λ, T, i). Una vez más, la relación E (λ, T, i) / a (λ, T, i) de la relación entre el poder de emisión y la absorción es una cantidad dimensionada, con las dimensiones de la potencia de emisión.

En un segundo informe realizado en 1859, Kirchhoff anunció un nuevo principio general o ley para el cual ofreció una prueba teórica y matemática, aunque no ofreció mediciones cuantitativas de los poderes de radiación.^[56] Su prueba teórica fue y aún es considerada por algunos escritores como inválida.^[54][57] Su principio, sin embargo, ha perdurado: fue que para los rayos de calor de la misma longitud de onda, en equilibrio a una temperatura dada, la relación de longitud de onda específica de la potencia de emisión a la de absorción tiene el mismo valor común para todos los cuerpos que emiten y absorber en esa longitud de onda. En los símbolos, la ley establece que la relación de longitud de onda específica E (λ, T, i) / a (λ, T, i) tiene el mismo valor para todos los cuerpos, es decir, para todos los valores del índice i. En este informe no hubo mención de cuerpos negros.

En 1860, aún sin conocer las medidas de Stewart para las calidades seleccionadas de radiación, Kirchhoff señaló que durante mucho tiempo se estableció experimentalmente que para la radiación de calor total, de calidad no seleccionada, emitida y absorbida por un cuerpo en equilibrio, la relación de radiación total dimensionada E ( T, i) / a (T, i) tiene el mismo valor común a todos los cuerpos, es decir, para cada valor del índice de material i.^[58] De nuevo, sin mediciones de los poderes radiativos u otros nuevos datos experimentales, Kirchhoff ofreció una nueva prueba teórica de su nuevo principio de la universalidad del valor de la relación de longitud de onda específica E (λ, T, i) / a (λ, T, i) En el equilibrio térmico. Su nueva prueba teórica fue y aún es considerada por algunos escritores como inválida.^[54][57]

Pero lo que es más importante, se basó en un nuevo postulado teórico de "cuerpos perfectamente negros", que es la razón por la que se habla de la ley de Kirchhoff. Tales cuerpos negros mostraron una absorción completa en su superficie infinitamente más delgada y superficial. Corresponden a los cuerpos de referencia de Balfour Stewart, con radiación interna, recubiertos con negro de humo. No eran los cuerpos perfectamente negros, más realistas, considerados más tarde por Planck. Los cuerpos negros de Planck irradiaban y absorbían únicamente el material en sus interiores; sus interfaces con medios contiguos eran solo superficies matemáticas, no capaces de absorción ni emisión, sino solo de reflejar y transmitir con refracción.^[18]

La prueba de Kirchhoff consideraba un cuerpo arbitrario no ideal i así como varios cuerpos negros perfectos BB. Se requería que los cuerpos se mantuvieran en una cavidad en equilibrio térmico a temperatura T. Su prueba pretendía mostrar que la relación E (λ, T, i) / a (λ, T, i) era independiente de la naturaleza del cuerpo no ideal, sin embargo, en parte era transparente o parcialmente reflectante.

Su prueba primero argumentó que para la longitud de onda λ y a la temperatura T, en equilibrio térmico, todos los cuerpos perfectamente negros del mismo tamaño y forma tienen el mismo valor común de potencia emisiva E (λ, T, BB), con las dimensiones de poder. Su prueba señaló que la relación de absorción específica de longitud de onda adimensional a (λ, T, BB) de un cuerpo perfectamente negro es, por definición, exactamente 1. Luego, para un cuerpo perfectamente negro, la relación específica de longitud de onda de poder de emisión a relación de absorción E ( λ, T, BB) / a (λ, T, BB) es nuevamente solo E (λ, T, BB), con las dimensiones de potencia. Kirchhoff consideró, sucesivamente, el equilibrio térmico con el cuerpo arbitrario no ideal, y con un cuerpo perfectamente negro del mismo tamaño y forma, colocado en su cavidad en equilibrio a temperatura T. Argumentó que los flujos de radiación de calor deben ser los mismos en cada caso. Por lo tanto, argumentó que en el equilibrio térmico la relación E (λ, T, i) / a (λ, T, i) era igual a E (λ, T, BB), que ahora puede denominarse Bλ (λ, T), una función continua, dependiente solo de λ a temperatura fija T, y una función creciente de T a longitud de onda fija λ, a bajas temperaturas que desaparecen para longitudes de onda visibles pero no para longitudes de onda más largas, con valores positivos para longitudes de onda visibles a temperaturas más altas, lo cual no depende Sobre la naturaleza i del cuerpo arbitrario no ideal. (Los factores geométricos, tomados en cuenta detalladamente por Kirchhoff, han sido ignorados en lo anterior).

Por lo tanto, la ley de la radiación térmica de Kirchhoff puede establecerse: para cualquier material, irradiando y absorbiendo en equilibrio termodinámico a cualquier temperatura T dada, para cada longitud de onda λ, la relación entre el poder de emisión y la capacidad de absorción tiene un valor universal, característico de un cuerpo negro perfecto, y es un poder emisivo que aquí representamos por Bλ (λ, T). (Para nuestra notación Bλ (λ, T), la notación original de Kirchhoff era simplemente e.)^{[58][59][60][61][62][15]}

Kirchhoff anunció que la determinación de la función Bλ (λ, T) era un problema de la mayor importancia, aunque reconoció que habría dificultades experimentales que superar. Supuso que, al igual que otras funciones que no dependen de las propiedades de los cuerpos individuales, sería una función simple. Ocasionalmente, por parte de los historiadores, la función Bλ (λ, T) se ha denominado "función de Kirchhoff (emisión, universal)",^{[63][64][65][66]} aunque su forma matemática precisa no se conocería durante otros cuarenta años. hasta que fue descubierto por Planck en 1900. La evidencia teórica del principio de universalidad de Kirchhoff fue analizada y debatida por varios físicos durante el mismo tiempo y más adelante.^[57] Kirchhoff declaró más tarde en 1860 que su prueba teórica era mejor que la de Balfour Stewart, y en algunos aspectos lo fue.^[54] El documento de Kirchhoff de 1860 no mencionó la segunda ley de la termodinámica y, por supuesto, no mencionó el concepto de entropía que no se había establecido en ese momento. En un relato más considerado en un libro en 1862, Kirchhoff mencionó la conexión de su ley con el principio de Carnot, que es una forma de la segunda ley.^[67]

Según Helge Kragh, "la teoría cuántica debe su origen al estudio de la radiación térmica, en particular a la radiación del" cuerpo negro "que Robert Kirchhoff había definido por primera vez en 1859–1860".^[

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