EPÓNIMOS

 

Emmy Noether
Noether c. 1900-1910
Información personal
Nombre de nacimiento	Amalie Emmy Noether
Nacimiento	23 de marzo de 1882 Erlangen, Baviera, Alemania
Fallecimiento	14 de abril de 1935 Bryn Mawr (Pensilvania, Estados Unidos)
Sepultura	Old Library
Nacionalidad	Alemana (1882-1933) Estadounidense (1933-35)
Familia
Padres	Ida Amalia Kaufmann Max Noether
Educación
Educación	doctorado y habilitación universitaria
Educada en	Universidad de Erlangen-Núremberg
Tesis doctoral	Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (1907)
Supervisor doctoral	Paul Gordan
Información profesional
Área	Matemáticas y física
Conocida por	Álgebra abstracta, física teórica, Teorema de Noether
Empleador	Universidad de Gotinga Bryn Mawr College
Estudiantes doctorales	Max Deuring Hans Fitting Grete Hermann Zeng Jiongzhi Hans Reichenbach
Alumnos	Bartel Leendert van der Waerden
Obras notables	teorema de Noether
Partido político	Partido Socialdemócrata Independiente de Alemania (1919-1922) Partido Socialdemócrata de Alemania (1922-1924)
Miembro de	Circolo Matematico di Palermo (desde 1908) Deutsche Mathematiker-Vereinigung (desde 1909)
Distinciones	Ackermann-Teubner-Gedächtnispreis (1932)
Firma
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Amalie Emmy Noether (pronunciado en alemán [ˈnøːtʰɐ]; Erlangen, Baviera, 23 de marzo de 1882 - Bryn Mawr, Pensilvania, 14 de abril de 1935) fue una matemática alemana, de ascendencia judía,^[1] especialista en la teoría de invariantes ^[2] y conocida por sus contribuciones de fundamental importancia en los campos de la física teórica y el álgebra abstracta. Considerada por David Hilbert, Albert Einstein y otros personajes como la mujer más importante en la historia de la matemática,^[3][4] revolucionó la teoría de anillos, la teoría de cuerpos y la de K-álgebras. En física, el teorema de Noether explica la conexión fundamental entre la simetría en física y las leyes de conservación.^[5] A pesar de ello, se le negó la posibilidad de un puesto digno en la universidad por el hecho de ser mujer.^[6]

Biografía

Amalie Emmy Noether nació en una familia judía en la ciudad de Erlangen;^[7] su padre era el matemático Max Noether, descendiente de una familia de comerciantes al por mayor de Alemania.^[8] El padre, en gran medida autodidacta, recibió el doctorado de la Universidad de Heidelberg en 1868, y tras desempeñar su labor docente durante siete años, obtuvo un puesto en la ciudad de Erlangen, donde conoció y posteriormente se casó con Ida Amalia Kaufmann; madre de Emmy.^[9] Su primer nombre era Amalie, por su madre y abuela materna, pero comenzó a usar su segundo nombre cuando era joven.

Emmy era miope y hablaba con un leve sigmatismo (llamado coloquialmente «ceceo») durante la infancia.^[10] Un amigo de la familia contó años más tarde una anécdota sobre la joven Emmy, quien resolvió con rapidez un acertijo en una fiesta infantil, dejando ya traslucir su capacidad para la lógica a temprana edad.^[11] A Emmy le enseñaron a cocinar y limpiar –como era costumbre en su época– y recibió lecciones de piano. No se apasionó mucho por ninguna de estas actividades, aunque le gustaba bailar y acudía a las fiestas que organizaban los hijos de los colegas de la universidad de su progenitor.^[12]

De sus tres hermanos solo a Fritz Noether, nacido en 1884, se le recuerda por sus logros académicos. Tras estudiar en Múnich se creó una reputación en el campo de la matemática aplicada. Su hermano mayor, Alfred, quien nació en 1883, obtuvo un doctorado en química por la Universidad de Erlangen-Núremberg en 1909, pero murió nueve años después. El menor de sus hermanos, Gustav Robert, nació en 1889. Se sabe muy poco sobre su vida. Sufría una enfermedad crónica y falleció en 1928.^[13]

Estudios y trayectoria profesional

Emmy estudió el bachillerato en un colegio para chicas donde las matemáticas no tenían gran peso. En abril de 1900 aprobó los exámenes estatales de francés e inglés con calificación de sehr gut (‘sobresaliente’), lo cual la capacitaba para enseñar idiomas en escuelas femeninas. Pero en 1903 se permitió por primera vez que las mujeres estudiaran en las universidades de Baviera; dos años antes, el senado académico de la universidad había declarado que la coeducación podría «subvertir todo el orden académico».^[14] Emmy optó por acudir al Realgymnasium de Núremberg ^[15] para obtener allí, como alumna libre, el Abitur (título de bachillerato que da acceso a la universidad). Durante el semestre de invierno 1903-1904 estudió en la Universidad de Gotinga, asistiendo como oyente, ya que no la aceptaron como estudiante por ser mujer, a clases impartidas por el astrónomo Karl Schwarzschild y los matemáticos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein y David Hilbert. Emmy Noether no quería irse a estudiar a otro país, ya que en esa época Alemania estaba liderando el desarrollo en las matemáticas. Dos años más tarde, y tras aprobar un examen final, finalmente pudo matricularse en la Universidad de Erlangen, donde impartía clases su padre.^[14] En 1907, bajo la supervisión de Paul Gordan, escribió su tesis Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Sobre la construcción del sistema formal de la forma ternaria bicuadrática). Aunque fue bien acogida, Noether describió posteriormente su tesis como «bazofia».^[16] Se había convertido en la segunda mujer alemana que obtenía el doctorado en matemáticas en una universidad alemana.^[17] En 1908 se asoció al Circolo Matematico di Palermo y al año siguiente se afilió a la Deutschen Mathematiker-Vereinigung (Asociación alemana de matemáticos). Además, fue la primera mujer en presentar sus investigaciones en la Conferencia Anual. Cuando su profesor Paul Gordon se jubiló, ocupó su plaza Ernest Fisher; que fue el que le dio el impulso para estudiar álgebra abstracta.

Durante los años 1908-1915 impartió clases en el Instituto matemático de la Universidad de Erlangen sin percibir emolumentos, sustituyendo ocasionalmente a su padre cuando se encontraba demasiado postrado para dar clase. En 1910 y 1911 publicó una ampliación de su tesis doctoral generalizando el caso de 3 variables a n variables.

EPÓNIMO :

Primera página del artículo de Emmy Noether «Invariante Variationsprobleme» (1918), donde demostró su teorema

El teorema de Noether es un resultado central en física teórica. Expresa que cualquier simetría diferenciable, proveniente de un sistema físico, tiene su correspondiente ley de conservación. El teorema se denomina así por la matemática Emmy Noether, que lo formuló en 1916.^[1] Además de permitir aplicaciones físicas prácticas, este teorema constituye una explicación de por qué existen leyes de conservación y magnitudes astronómicas físicas que no cambian a lo largo de la evolución temporal de un sistema físico.

Explicación

El teorema de Noether relaciona un par de ideas básicas de la física: (1) una es la invariancia de la forma que una ley física toma con respecto a cualquier transformación (generalizada) que preserve el sistema de coordenadas (aspectos espaciales y temporales tomados en consideración), y la otra es (2) la ley de conservación de una magnitud física.

Informalmente, el teorema de Noether se puede establecer como: A cada simetría (continua) le corresponde una ley de conservación y viceversa. El enunciado formal del teorema deriva una expresión para la magnitud física que se conserva (y, por lo tanto, también la define) de la condición de invariancia solamente. Por ejemplo:

• la invariancia con respecto a la (dirección del eje de) rotación da la ley de conservación del momento angular.
• la invariancia de sistemas físicos con respecto a la traslación (dicho simplemente, las leyes de la física no varían con la localización en el espacio) da la ley de conservación del momento lineal.
• la invariancia con respecto a (la traslación en) el tiempo da la ley de conservación de la energía.

Al subir a la teoría cuántica de campos, la invariancia con respecto a la transformación general de gauge da la ley de la conservación de la carga eléctrica, etcétera. Así, el resultado es una contribución muy importante a la física en general, pues ayuda a proporcionar intuiciones de gran alcance en cualquier teoría general en física, con sólo analizar las diversas transformaciones que harían invariantes la forma de las leyes implicadas.

Rotaciones y momento angular

Cuando el lagrangiano de un sistema físico presenta simetría rotacional, es decir, existe un grupo de transformaciones isomorfo a un subgrupo unidimensional del grupo de rotaciones o grupo especial ortogonal, entonces existe una magnitud física conservada llamada momento angular que tiene un valor constante a lo largo de la evolución temporal. Es decir, dicha magnitud no cambia de valor a medida que el sistema evoluciona, razón por la cual dicha magnitud se llama constante del movimiento o magnitud conservada.

Traslaciones y momento lineal

Análogamente si el lagrangiano de un sistema físico es invariante bajo cierto grupo uniparamétrico de traslaciones entonces existe una componente del momento lineal paralela a dichas traslaciones que no varía con el tiempo, a medida que el sistema evoluciona. Es decir, a pesar de que el estado de movimiento de una partícula o el estado físico del sistema varíe, dicha magnitud física siempre mantiene el mismo valor, por complicada que sea la evolución del sistema.

Invariancia temporal y energía

De modo similar al caso anterior, la independencia del tiempo del lagrangiano, puede ser vista como una invariancia frente a "traslaciones temporales". En este caso la magnitud conservada es el Hamiltoniano o la integral de Jacobi-Painlevé. En un sistema natural si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo se tiene que la energía se conserva. Es decir, en cualquier evolución temporal del sistema la energía no cambia de valor.

Esbozo de demostración

Para un sistema con un número finito de grados de libertad y usando la representación en coordenadas supóngase que se tiene un grupo uniparamétrico G que transforma las coordenadas o variables dinámicas, dejando el lagrangiano invariante, en ese caso:

${\displaystyle {\varphi }_g(\mathcal{L})={\mathcal{L}}_{\alpha }(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})}$

Donde el grupo se ha parametrizado con el parámetro real ${\displaystyle G=\{g_{\alpha }|\alpha \in A\subset \mathbb{R}\}}$ entonces:

${\displaystyle 0=\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{\alpha }}{\mathrm{\partial }\alpha }=\sum _i\left(\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{\alpha }}{\mathrm{\partial }{q}_i}\frac{\mathrm{\partial }{q}_i}{\mathrm{\partial }\alpha }+\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{\alpha }}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}\frac{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}{\mathrm{\partial }\alpha }\right)}$

Empleando las ecuaciones de Euler-Lagrange, el primer término puede reescribirse:

Por tanto, la última cantidad en forma de sumatorio es una constante del movimiento ya que su derivada temporal es cero. Los otros casos del teorema de Noether en esencia repiten los mismos pasos, expresando la derivada de la acción del grupo y construyendo una función que involucra a los momentos conjugados y elementos de un espacio vectorial isomorfo al álgebra de Lie del grupo de simetría.

Invariancia gauge y carga

En el contexto de la teoría cuántica de campos la existencia de una simetría gauge abstracta del lagrangiano que describe la interacción electromagnética implica que existe una magnitud conservada que puede identificarse con la carga eléctrica, dado que el grupo de simetría gauge del campo electromagnético es el grupo unitario U(1) la magnitud conservada es un escalar.

Análogamente, aunque ligeramente más complicado, es el caso de la interacción débil y la interacción fuerte, cuyos grupos de simetría gauge son SU(2) y SU(3), que no son conmutativos y llevan a la conservación de la carga de sabor y la carga de color.

Tratamiento formal en física clásica

Supóngase que se tiene un conjunto cerrado R de dimensión d y una variedad blanco o codominio ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ . Sea ${\displaystyle {\mathcal{C}}_{\mathrm{\Gamma }}}$ el espacio de todas las funciones diferenciables de R a ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$. Para aclarar ideas particularicemos estas ideas en dos ámbitos diferentes:

• En mecánica clásica, R es un intervalo cerrado de ${\displaystyle \mathbb{R}}$ que representa el tiempo y la variedad blanco es el fibrado tangente del espacio de posiciones o espacio de configuración.
• En la teoría clásica de campos, R es una región del espacio-tiempo y la variedad blanco es el conjunto de valores que los campos pueden tomar en cualquier punto dado. Por ejemplo, si hay m campos escalares real-valorados, φ₁...,φ_m, entonces la variedad blanco podría ser ${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^m)}$, dotada de la estructura topológica adecuada.

Para probar el teorema consideraremos el segundo de estos casos (el resultado para sistemas de partículas clásicas se puede probar particularizando la demostración esbozada aquí).

Paso 1: funcional de acción

Para ello, al estar tratando un sistema físico existirá un funcional de acción que describe el sistema. Matemáticamente este funcional resulta ser una aplicación del tipo:

${\displaystyle S:{\mathcal{C}}_{\mathrm{\Gamma }}⟶\mathbb{R}}$,

Para conseguir la versión usual del teorema de Noether, se necesitan restricciones adicionales en la acción física. Se supone que ${\displaystyle S[{\varphi }^K]}$ es la integral sobre R del lagrangiano del sistema físico:

${\displaystyle \mathcal{L}({\varphi }^K,{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K,x)}$

Este lagrangiano depende de las variables del campo ${\displaystyle {\varphi }^K}$ (siendo K un conjunto de índices tensoriales o de otro tipo, según el tipo de campo), sus derivadas ${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K}$ y la posición en R. Es decir ${\displaystyle {\varphi }^K\in {\mathcal{C}}_{\mathrm{\Gamma }}}$:

${\displaystyle S[\varphi ]\equiv {\int }_R\mathcal{L}({\varphi }^K(x),{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K(x),x)d^{n}x}$

Suponiendo dadas condiciones de contorno, que son básicamente una especificación del valor de ${\displaystyle {\varphi }^K}$ en el borde de R si es compacta, o un cierto límite en ${\displaystyle {\varphi }^K}$ cuando x se acerca a ∞, que permitirá hacer la integración por partes). Podemos denotar por ${\displaystyle {\mathcal{R}}_{\mathrm{\Gamma }}}$ el subconjunto de ${\displaystyle {\mathcal{C}}_{\mathrm{\Gamma }}}$ que consiste en las funciones ${\displaystyle {\varphi }^K}$ tales que todas las derivadas funcionales de S en ${\displaystyle {\varphi }^K}$ son cero y ${\displaystyle {\varphi }^K}$ satisface las condiciones de contorno dadas.

Paso 2: funcional de acción

Ahora, suponga que tenemos una transformación infinitesimal sobre ${\displaystyle \mathcal{C}}$, dada por la derivada funcional, δ tal que:

${\displaystyle \delta {\int }_R{d}^{n}x\mathcal{L}={\int }_{\mathrm{\partial }R}d{S}_{\mu }{f}^{\mu }({\varphi }^K(x),\mathrm{\partial }{\varphi }^K,\mathrm{\partial }\mathrm{\partial }{\varphi }^K,...)}$

para todas las subvariedades compactas R. Entonces, decimos que δ es un generador de un grupo de Lie uniparamétrico. Ahora, para cualquier N, debido al teorema de Euler-Lagrange, tenemos:

${\displaystyle \delta {\int }_R{d}^{n}x\mathcal{L}={\int }_R{d}^{n}x\left(\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }\varphi }-{\mathrm{\partial }}_{\mu }\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K)}\right)\delta {\varphi }^K+{\int }_{\mathrm{\partial }R}d{S}_{\mu }\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K)}={\int }_{{\mathrm{\partial }}_R}d{S}_{\mu }\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K)}}$.

Paso 3: Corriente conservada

Puesto que la última expresión es cierta para cualquier R, tenemos:

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mu }\left(\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K)}-f^{\mu }\right)=0}$.

Se puede reconocer inmediatamente esto como la ecuación de continuidad para la corriente

${\displaystyle J^{\mu }\equiv \frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi )}-f^{\mu }}$

que se llama la corriente de Noether asociada a la simetría. La ecuación de continuidad dice que si se integra esta corriente sobre una "rebanada" (hipersuperficie) de tipo espacio, se consigue una magnitud conservada llamada la carga de Noether (suponiendo, por supuesto, que si R es no compacto, las corrientes decaen suficientemente rápido en el infinito).

Tratamiento formal en física cuántica

En física cuántica la descripción de un sistema se realiza mediante el lagrangiano cuántico que es un funcional definido sobre el espacio de Hilbert relevante para el sistema. Cuando dicho lagrangiano es invariante respecto a un grupo uniparamétrico de aplicaciones unitarias de dicho espacio de Hilbert, entonces cada uno de los generadores ${\displaystyle {\hat{G}}_i}$ del álgebra de Lie de dicho grupo es un observable que es una constante del movimiento en el sentido de que:

${\displaystyle \frac{d{\hat{G}}_i}{dt}=\frac{\mathrm{\partial }{\hat{G}}_i}{\mathrm{\partial }t}+[{\hat{G}}_i,\hat{H}]=0}$

Podemos exponer una transformación que sea mezcla de diferentes campos:

${\displaystyle {\varphi }_{\alpha }(x)\to {\varphi }_{\alpha }^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-\dot{ı}ϵq_{\alpha \beta }}{\varphi }_{\beta };\delta {\varphi }_{\alpha }(x)=-\dot{ı}ϵq_{\alpha \beta }{\varphi }_{\beta }(x)}$ ;\qquad \delta \phi _{\alpha }(x)=-{\dot {\imath }}\epsilon q_{\alpha \beta }\phi _{\beta }(x)}

donde ${\displaystyle ϵ}$ es un parámetro infinitesimal y los ${\displaystyle q_{\alpha \beta }}$ están fijados.

Si ${\displaystyle \mathcal{L}}$ es invariante bajo la transformación, entonces ${\displaystyle \delta \mathcal{L}=ϵ{\mathrm{\partial }}_{\mu }{j}^{\mu }(x)=0,}$ donde

${\displaystyle j^{\mu }(x)=\frac{1}{ϵ}\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }\left({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }_{\alpha }\right)}\delta {\varphi }_{\alpha }(x)=-\dot{ı}\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }\left({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }_{\alpha }\right)}{q}_{\alpha \beta }{\varphi }_{\beta }.}$

Todo esto significa que la carga del sistema se conservará:

${\displaystyle \mathcal{Q}={\int }_{\chi }{j}^0(x)dx=-\dot{ı}{\int }_{\chi }\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }\left({\mathrm{\partial }}_0{\varphi }_{\alpha }\right)}{q}_{\alpha \beta }{\varphi }_{\beta }dx}$

La naturaleza física de la corriente ${\displaystyle j^{\mu }(x)}$ y de la carga ${\displaystyle \mathcal{Q}}$ vendrá dada por una forma específica de la transformación.

En álgebra abstracta, un anillo ${\displaystyle R}$ es Noetheriano por la izquierda si sus ideales por la izquierda satisfacen la condición de cadena ascendente. Diremos que un anillo es noetheriano si es noetheriano por la izquierda y por la derecha. En los anillos conmutativos no se utiliza esta distinción, pues noetheriano por un lado implica noetheriano por el otro.

Los anillos Noetherianos son nombrados así en honor a Amalie Emmy Noether.

Uno de los primeros resultados que puede demostrarse es que un anillo es noetheriano por la izquierda si, y sólo si, todo ideal por la izquierda del anillo es finitamente generado. Otra condición equivalente a las anteriores es que todo conjunto no vacío de ideales del anillo tiene un ideal maximal. También es conocido que si ${\displaystyle R}$ es un anillo noetheriano, entonces ${\displaystyle R[X]}$ es un anillo noetheriano (teorema de la base de Hilbert)

Importancia

El que un anillo sea noetheriano implica de alguna manera ciertas condiciones de finitud. Así, por ejemplo, en un anillo noetheriano todo elemento se descompone en un producto finito de elementos irreducibles, aunque en general esta descomposición no será única. Para que un dominio noetheriano sea dominio de factorización única debe de verificarse que todo elemento irreducible del anillo sea primo.

En anillos noetherianos conmutativos también implica que de la intersección de una familia cualquiera de ideales (infinita o no), puede extraerse un subconjunto finito que tenga esa misma intersección. Y todavía más, todo ideal de un anillo noetheriano conmutativo puede expresarse de forma única como intersección finita de ideales primarios.

Otro punto importante es que si tenemos una familia cualquiera de ecuaciones polinómicas sobre un anillo noetheriano conmutativo, entonces podemos prescindir de todas salvo un número finito para obtener un sistema que tenga la misma solución que el sistema inicial. También juega un papel importante en el "buen comportamiento" de la dimensión de Krull. Estos resultados son fundamentales en geometría algebraica y de ahí la importancia de estos anillos en esta rama de las matemáticas.

Ejemplos

a) El conjunto de los números enteros ${\displaystyle \mathbb{Z}}$
b) Los dominios de ideales principales
c) Los dominios de Dedekind.
d) Cualquier cuerpo y en particular ${\displaystyle \mathbb{Q}}$, ${\displaystyle \mathbb{R}}$ y ${\displaystyle \mathbb{C}}$
e) Los anillos de polinomios sobre un anillo noetheriano (en particular, sobre un cuerpo)

Proposiciones

a) Si R es un anillo noetheriano e I un ideal bilátero, entonces R/I es noetheriano.
b) Todo anillo artiniano por la izquierda es noetheriano por la izquierda (igual por la derecha).