EPÓNIMOS

 Para otros usos de este término, véase Pareto (desambiguación).

Vilfredo Pareto
Información personal
Nombre de nacimiento	Vilfredo Federico Damaso Pareto
Nacimiento	15 de julio de 1848 París, Francia
Fallecimiento	19 de agosto de 1923 (75 años) Céligny, Suiza
Sepultura	New cemetery of Céligny
Nacionalidad	Francesa
Religión	Catolicismo
Familia
Padres	Raffaele Pareto Marie Métenier
Cónyuge	Jeanne Regis Alessandrina Bakunina (1889-1902)
Educación
Educado en	Politécnico de Turín
Información profesional
Ocupación	Economista, filósofo, sociólogo, profesor universitario, ingeniero y matemático
Área	Ciencia económica y sociología
Empleador	Universidad de Lausana Universidad de Roma La Sapienza Universidad de Génova
Movimiento	Escuela de Lausana
Miembro de	Academia de Ciencias de Turín (desde 1918)
Firma
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Vilfredo Federico Damaso Pareto^[1] (nacido como Wilfried Fritz Pareto;^[2] París, 15 de julio de 1848-Céligny, 19 de agosto de 1923)^[3] fue un polímata italiano, cuyas áreas de interés incluían la sociología, la ingeniería civil, la economía, la ciencia política y la filosofía. Realizó varias contribuciones importantes a la economía, particularmente en el estudio de la distribución del ingreso y en el análisis de las elecciones individuales, y ha sido una de las mentes detrás de la Escuela de Lausana de economía. Fue responsable de popularizar el uso del término «élite» en el análisis social. Ha sido descrito como «uno de los últimos eruditos del Renacimiento». Formado en física y matemáticas, se convirtió en un polímata cuyo genio se expandió hacia casi todos los demás campos importantes del conocimiento.^[4]

Biografía

Nació en París el 15 de julio de 1848.^[5] Su padre, Raffaele Pareto, patriarca genovés y partidario de Giuseppe Mazzini, vivía un exilio voluntario. Vilfredo pasó los primeros años de su vida en Francia, pero realizó todos sus estudios en Italia, a donde regresó en 1858 y donde obtuvo su doctorado en Ingeniería en 1869, en el Instituto Politécnico de Turín. Ejerció su profesión por al menos veinte años, fue administrador de una compañía ferroviaria, y luego ocupó el puesto de superintendente de minas de hierro, las de San Giovanni Valdarno, y luego de las minas de hierro italianas.

Pertenecía a la alta sociedad de Florencia, y la naturaleza de la actividad que desempeñaba lo mantenía en un constante roce con la economía política y, particularmente, con las tarifas proteccionistas. Por ser un consultor industrial, no centraba su atención solo en su profesión, sino que se involucró hasta volverse un especialista en la doctrina librecambista y representó a los que atacaban firmemente el proteccionismo. Más adelante, en la madurez de su etapa intelectual, y disfrutando la tranquilidad de Céligny, abandonó formalmente su carácter polémico por el motivo de que su perspectiva teórica había cambiado, y el ángulo con el que juzgaba los hechos se había ampliado notablemente.

Lettere a Maffeo Pantaleoni, 1960.

Habitaba todavía Florencia cuando el artículo «Elementi di economia pura», de Maffeo Pantaleoni, llegó a sus manos y lo atrajo a la especulación abstracta. Al principio fue solo un pasatiempo para Pareto, pero esto luego alcanzó grados más importantes en su vida cotidiana, hasta que lo llevó a abandonar cualquier otra actividad.^{[cita requerida]} Contribuyó desde 1890 a 1905 con el Giornale degli Economisti, y dio fundamento científico a la economía matemática, concepto antes introducido por los marginalistas Jevons, Léon Walras y Cournot. Esto lo llevó a formar posteriormente una idea que se tradujo en su teoría del equilibrio económico. En virtud de ese descubrimiento, recibió una propuesta para mudarse a una localidad valdense, Lausana, para ocupar la cátedra que había dejado libre Walras en 1893 como profesor de Economía Política.

Pareto abandonó la docencia en 1906, y se retiró a Céligny, en el cantón de Ginebra, a un tranquilo poblado llamado Villa Angora, donde dedicó el último período de su vida al estudio. Este fue, sin duda alguna, el más fructífero desde el punto de vista intelectual, durante el cual publicó sus más reconocidos trabajos: el Manual de economía política y el Tratado de sociología. Continuó siguiendo la economía y la política, y los cambios que estas sufrían, y el estudio y la meditación lo llevaron a una actitud espiritual, que denotaba una personalidad antitética a la que había tenido en los comienzos de su vida adulta, el liberal que supo ser había sido conducido al radicalismo, y si no al socialismo, y lo llevó gradualmente a convertirse en uno de los más profundos y vigorosos críticos del socialismo y la democracia.^{[cita requerida]}

Las cualidades mentales más importantes obtenidas durante la formación de Pareto fueron, sin dudas, el conocimiento matemático y la cultura humanística.^{[cita requerida]} Era Ingeniero y además, siendo italiano, escribía en francés con estilo literario y leía con fluidez en inglés, latín y griego. Tradujo, por el mero placer de ejercitarse lingüísticamente, la Antología griega. Fue el creador del concepto eficiencia de Pareto, y contribuyó, con ideas como la de las curvas de indiferencia, al desarrollo de la microeconomía.

Economía

Fue un autor muy prolífico. Escribió obras de economía y panfletos antigubernamentales desde 1870 hasta la llegada de Mussolini, criticando el intervencionismo y las ilusiones democráticas. En la primera etapa de su desarrollo intelectual, que luego tomaría otro giro, fue un continuador de los neoclásicos y un economista liberal radical.

Pareto fue nombrado en 1893 profesor de Economía en la Universidad de Lausana, donde permaneció el resto de su vida. En 1906 hizo la famosa observación de que el 20% de la población poseía el 80% de la propiedad en Italia, posteriormente generalizada por Joseph M. Juran en el principio de Pareto (también conocida como la «regla del 80/20»). En 1909, Pareto introdujo el índice de Pareto —la medida de la desigualdad de la distribución del ingreso— e intentó mostrar el modo de distribución de la riqueza «a través de cualquier sociedad humana, en cualquier época o país»^[6] (véase «Distribución de Pareto»). Esto, a su juicio, explicaría por qué sus teorías económicas no coincidían con la realidad observada, y lo empujó al estudio de la sociología y la política.

Desde esa perspectiva, Pareto desechó algunos postulados económicos, sugiriendo que los individuos actúan basados en elementos instintivos residuales, no lógicos ni racionales.^[7]

Las curvas de indiferencia

Uno de los conceptos más importantes dentro de los aportes de Pareto a la teoría neoclásica es de la curva de indiferencia. Una curva de indiferencia es «un conjunto de puntos en el espacio de bienes —o conjuntos de bienes— entre los que el consumidor se siente indiferente. Cada punto de una curva de indiferencia genera la misma utilidad total que cualquier otro punto de esa misma curva de indiferencia. Si la función de utilidad está dada por ${\displaystyle U(x_1,x_2,..,x_n)}$ donde ${\displaystyle X_1}$ es la cantidad del bien 1 consumida, ${\displaystyle X_2}$ es la cantidad del bien 2 consumida, etc., se definirá una curva de indiferencia como el conjunto de todos los bienes que satisfacen la ecuación de ${\displaystyle U(x_1,x_2,..,x_n)=c}$, donde c es el nivel de utilidad constante de la curva de indiferencia».^[8]

Para generar un mapa de curvas de indiferencia, se otorgan diferentes valores a la constante c, hasta cubrir todos los valores posibles. Cada individuo tiene un mapa ilimitado de curvas de indiferencia; no importa donde se ubique, hay siempre una opción mejor (aumentando mínimamente la dotación de un bien). Pero, en la realidad, estamos restringidos por la capacidad que tenemos para adquirir esos bienes en el mercado. A esta restricción se la conoce como «recta de balance».

Óptimo paretiano y equilibrio general

Pareto continúa la obra de Walras al subrayar el valor de equilibrio general y asentar las que concebía como condiciones matemáticas del equilibrio general. Partiendo de las sencillas reglas matemáticas relativas a la determinación de un sistema de ecuaciones de n variables, señala —de la misma manera que lo había realizado Walras— la interdependencia general de todas las cantidades económicas y la legitimidad teórica del concepto de un equilibrio económico general determinado. En su Curso, manifiesta la esperanza de que sus ecuaciones algebraicas puedan un día con valores cuantitativos derivados de un conjunto de datos estadísticos. No parece haberse dado cuenta la dificultad metodológica que eso suponía. Es por ello que en su obra posterior al Curso sugiere, sin embargo, que había abandonado la esperanza de llegar alguna vez a cuantificar sus ecuaciones funcionales. En este respecto, aunque quizá no fue tan lejos como Marshall en los detalles, por lo menos en su primera obra, su modo de abordar los problemas parece haber sido más sugestivo, y en él se han basado muchos trabajos recientes.^[9]

Además, Pareto optó por incorporar a la teoría del equilibrio general walrasiano el concepto antes mencionado de óptimo paretiano (véase «Óptimo de Pareto»). En esta teoría enunció que, en equilibrio general, debe llegarse a una situación tal que todos los individuos consumidores y todos los agentes productores y oferentes se encuentren en el punto en el que no puedan mejorar su utilidad sin perjudicar la de otro. Este concepto es también utilizado con frecuencia en la curva de contrato de la caja de Edgeworth.

EPÓNIMO :

 principio de Pareto, Eficiencia de Pareto, distribución de Pareto, Índice de Pareto.

No debe confundirse con Óptimo de Pareto.

Vilfredo Pareto

El principio de Pareto, denominado también regla del 80/20 o ley del 80/20, es un concepto formulado por el economista italiano Vilfredo Pareto en 1896. Este principio establece que, en muchos fenómenos, aproximadamente el 80 % de los efectos o resultados son causados por el 20 % de las causas o factores.

Pareto observó originalmente que alrededor del 80 % de la tierra en Italia era propiedad del 20 % de la población, lo que dio origen a la formulación de la ley empírica.

El principio ha sido ampliamente aplicado en diversos campos, tales como la economía, la administración de empresas, la ingeniería de calidad, la gestión del tiempo, y la distribución de recursos. En el ámbito empresarial, por ejemplo, se ha observado que el 80 % de las ventas provienen del 20 % de los clientes o productos.

Joseph Juran sugiere que el principio no debe tomarse como una ley matemática estricta, ya que las proporciones exactas pueden variar, su utilidad radica en su capacidad para identificar desequilibrios y permitir una mejor toma de decisiones al centrarse en los aspectos que generan el mayor impacto.

No obstante, investigaciones recientes de 2026 han propuesto una base teórica más rigurosa. Antti Hippeläinen formalizó el principio demostrando que este comportamiento es una propiedad inevitable de los procesos acumulativos acotados. Al modelar estos procesos mediante densidades de ganancia, se observó que la distribución desigual de resultados (el fenómeno Pareto) surge estructuralmente en diversas familias de distribución estadística (como la normal, exponencial o de ley de potencia), sugiriendo que la regla es más una consecuencia matemática de estos sistemas que una simple observación empírica.^[1]

Este principio se aplica también en la optimización de procesos, en la gestión de inventarios y en el análisis de riesgos, entre otros ámbitos.

Descripción

Pareto enunció el principio basándose en el denominado conocimiento empírico. Mostró que la población se reparte entre dos grupos y estableció arbitrariamente la proporción 80/20 de modo tal que el grupo minoritario, formado por un 20 % de población, se reparte el 80 % de algo y el grupo mayoritario, formado por un 80 % de población, se reparte el 20 % de la misma riqueza o bien. En concreto, Pareto estudió la propiedad de la tierra en Italia y lo que descubrió fue que el 20 % de los propietarios poseían el 80 % de las tierras, mientras que el restante 20 % de los terrenos pertenecía al 80 % de la población restante.

Estas cifras son arbitrarias; no son exactas y pueden variar. Su aplicación reside en la descripción de un fenómeno y, como tal, es aproximada y adaptable a cada caso particular.

El principio de Pareto se ha aplicado con éxito a los ámbitos de la política y la economía. Se describió cómo una población en la que aproximadamente el 20 % ostentaba el 80 % del poder político y la abundancia económica, mientras que el otro 80 % de población, lo que Pareto denominó «las masas», tenía poca influencia política. Así sucede, en líneas generales, con el reparto de los bienes naturales y la riqueza mundial.

Si bien Pareto determinó esta relación basándose en sus estudios sobre la riqueza, la aplicación universal, es decir, la aplicación del principio a otras áreas fuera de la economía se debe al trabajo de Joseph Juran,^[2] quien encontró la relación 80-20 y la aplicó a otros fenómenos.

Aplicaciones

El Principio de Pareto asegura que un pequeño número de vainas produce la mayoría de los guisantes.

Cuando un almacén tiene un inventario grande, para concentrar los esfuerzos de control en los artículos o mercancías más significativos, se suele utilizar el principio de Pareto. Así, controlando el 20 % de los productos almacenados puede controlarse aproximadamente el 80 % del valor de los artículos del almacén. La clasificación ABC de los productos también se utiliza para agrupar los artículos dentro del almacén en un número limitado de categorías, cuando se controlan según su nivel de disponibilidad. Los productos A, 20 % de los artículos, que generan el 80 % de los movimientos del almacén, se colocarán cerca de los lugares donde se preparan los pedidos, para que se pierda el menor tiempo posible en mover mercancías dentro de un almacén.

En control de calidad

El principio de Pareto permite utilizar herramientas de gestión, como el diagrama de Pareto, que se usa ampliamente en cuestiones relacionadas con el control de calidad (el 20 % de los defectos afectan en el 80 % de los procesos). Así, de forma relativamente sencilla, aparecen los distintos elementos que participan en un fallo y se pueden identificar los problemas realmente relevantes, que acarrean el mayor porcentaje de error.

El principio de Pareto, denominado también regla del 80/20 o ley del 80/20, es un concepto formulado por el economista italiano Vilfredo Pareto en 1896. Este principio establece que, en muchos fenómenos, aproximadamente el 80 % de los efectos o resultados son causados por el 20 % de las causas o factores.

Pareto observó originalmente que alrededor del 80 % de la tierra en Italia era propiedad del 20 % de la población, lo que dio origen a la formulación de la ley empírica.

El principio ha sido ampliamente aplicado en diversos campos, tales como la economía, la administración de empresas, la ingeniería de calidad, la gestión del tiempo, y la distribución de recursos. En el ámbito empresarial, por ejemplo, se ha observado que el 80 % de las ventas provienen del 20 % de los clientes o productos.

Joseph Juran sugiere que el principio no debe tomarse como una ley matemática estricta, ya que las proporciones exactas pueden variar, su utilidad radica en su capacidad para identificar desequilibrios y permitir una mejor toma de decisiones al centrarse en los aspectos que generan el mayor impacto.

No obstante, investigaciones recientes de 2026 han propuesto una base teórica más rigurosa. Antti Hippeläinen formalizó el principio demostrando que este comportamiento es una propiedad inevitable de los procesos acumulativos acotados. Al modelar estos procesos mediante densidades de ganancia, se observó que la distribución desigual de resultados (el fenómeno Pareto) surge estructuralmente en diversas familias de distribución estadística (como la normal, exponencial o de ley de potencia), sugiriendo que la regla es más una consecuencia matemática de estos sistemas que una simple observación empírica.^[1]

Este principio se aplica también en la optimización de procesos, en la gestión de inventarios y en el análisis de riesgos, entre otros ámbitos.

Descripción

Pareto enunció el principio basándose en el denominado conocimiento empírico. Mostró que la población se reparte entre dos grupos y estableció arbitrariamente la proporción 80/20 de modo tal que el grupo minoritario, formado por un 20 % de población, se reparte el 80 % de algo y el grupo mayoritario, formado por un 80 % de población, se reparte el 20 % de la misma riqueza o bien. En concreto, Pareto estudió la propiedad de la tierra en Italia y lo que descubrió fue que el 20 % de los propietarios poseían el 80 % de las tierras, mientras que el restante 20 % de los terrenos pertenecía al 80 % de la población restante.

Estas cifras son arbitrarias; no son exactas y pueden variar. Su aplicación reside en la descripción de un fenómeno y, como tal, es aproximada y adaptable a cada caso particular.

El principio de Pareto se ha aplicado con éxito a los ámbitos de la política y la economía. Se describió cómo una población en la que aproximadamente el 20 % ostentaba el 80 % del poder político y la abundancia económica, mientras que el otro 80 % de población, lo que Pareto denominó «las masas», tenía poca influencia política. Así sucede, en líneas generales, con el reparto de los bienes naturales y la riqueza mundial.

Si bien Pareto determinó esta relación basándose en sus estudios sobre la riqueza, la aplicación universal, es decir, la aplicación del principio a otras áreas fuera de la economía se debe al trabajo de Joseph Juran,^[2] quien encontró la relación 80-20 y la aplicó a otros fenómenos.

Aplicaciones

El Principio de Pareto asegura que un pequeño número de vainas produce la mayoría de los guisantes.

Cuando un almacén tiene un inventario grande, para concentrar los esfuerzos de control en los artículos o mercancías más significativos, se suele utilizar el principio de Pareto. Así, controlando el 20 % de los productos almacenados puede controlarse aproximadamente el 80 % del valor de los artículos del almacén. La clasificación ABC de los productos también se utiliza para agrupar los artículos dentro del almacén en un número limitado de categorías, cuando se controlan según su nivel de disponibilidad. Los productos A, 20 % de los artículos, que generan el 80 % de los movimientos del almacén, se colocarán cerca de los lugares donde se preparan los pedidos, para que se pierda el menor tiempo posible en mover mercancías dentro de un almacén.

Para otros usos de este término, véase Pareto (desambiguación).

Pareto
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  (k) con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac. Función de densidad de probabilidad
Funciones de densidad de distribución para diferentes α  (k) con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Función de distribución de probabilidad
Parámetros	escala (real) forma (real)
Dominio	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm{m}},+\mathrm{\infty })}$
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-{\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{x}\right)}^{\alpha }}$
Media
Mediana	${\displaystyle x_{\mathrm{m}}\sqrt[\alpha ]{2}}$
Moda	${\displaystyle x_{\mathrm{m}}}$
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía	${\displaystyle \ln \left(\frac{\alpha }{x_{\mathrm{m}}}\right)-\frac{1}{\alpha }-1}$
Función generadora de momentos (mgf)	No existe
Función característica	${\displaystyle \alpha (-i{x}_{\mathrm{m}}t{)}^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-i{x}_{\mathrm{m}}t)}$
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En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución Pareto es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, la geofísica y la economía. Fue formulada por el ingeniero civil, economista y sociólogo Vilfredo Pareto, aunque en ciertas áreas de estudio se hace referencia a la ley de Bradford. Cabe señalar que el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).

Cuando la distribución de Pareto es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro ${\displaystyle \alpha }$ es conocido como índice de Pareto.

Definición

Notación

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria continua con distribución Pareto con parámetros y entonces escribimos ${\displaystyle X\sim \mathrm{Pareto}(\alpha ,x_m)}$.

Función de densidad

La función de densidad de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \mathrm{Pareto}(\alpha ,x_m)}$ es

${\displaystyle f_X(x)=\frac{\alpha x_m^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}$

para ${\displaystyle x_m\le x}$.

Probabilidad acumulada

La función de distribución de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \mathrm{Pareto}(\alpha ,x_m)}$ es, para ${\displaystyle x_m\le x}$,

${\displaystyle F_X(x)=1-{\left(\frac{x_m}{x}\right)}^{\alpha }}$

Propiedades

Si ${\displaystyle X\sim \mathrm{Pareto}(\alpha ,x_m)}$ entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \mathrm{E}[X]=\frac{\alpha x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}}$

con .

Varianza

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\frac{\alpha x_m^2}{(\alpha -1{)}^2(\alpha -2)}}$

para .

Momentos

El ${\displaystyle n}$-ésimo momento sólo está definido para y en tal caso es

${\displaystyle \mathrm{E}[X^n]=\frac{\alpha x_{\mathrm{m}}^n}{\alpha -n}}$

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos es

${\displaystyle M_X(t)=\alpha (-x_{\mathrm{m}}t{)}^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-x_{\mathrm{m}}t)}$

y está definida para valores .

Caso degenerado

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

${\displaystyle \underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{lim}f(x;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\delta (x-x_{\mathrm{m}}).}$

Distribución simétrica

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:^[1]

Distribución Generalizada de Pareto

Pareto Generalizado
Parámetros	${\displaystyle \mu \in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}$ localización (real) ${\displaystyle \sigma \in (0,\mathrm{\infty })}$ escala (real) ${\displaystyle \xi \in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}$ forma (real)
Dominio	${\displaystyle x⩾\mu (\xi ⩾0)}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle \frac{1}{\sigma }(1+\xi z{)}^{-(1/\xi +1)}}$ where ${\displaystyle z=\frac{x-\mu }{\sigma }}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-(1+\xi z{)}^{-1/\xi }}$
Media
Mediana	${\displaystyle \mu +\frac{\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}$
Varianza
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La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros ${\displaystyle \mu ,\sigma }$ y ${\displaystyle \xi }$.

La función de probabilidad acumulada es

Para ${\displaystyle x⩾\mu }$, con ${\displaystyle \xi ⩾0}$, y ${\displaystyle x⩽\mu -\sigma /\xi }$ con , donde ${\displaystyle \mu \in \mathbb{R}}$ es el parámetro localización, es el parámetro escala y ${\displaystyle \xi \in \mathbb{R}}$ es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como ${\displaystyle \kappa =-\xi }$.

La función de densidad de probabilidad es:

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{1}{\sigma }{\left(1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma }\right)}^{\left(-\frac{1}{\xi }-1\right)}.}$

o

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{{\sigma }^{\frac{1}{\xi }}}{{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)}^{\frac{1}{\xi }+1}}.}$

de nuevo, para ${\displaystyle x⩾\mu }$, y ${\displaystyle x⩽\mu -\sigma /\xi }$ si

Inferencia estadística

Estimación de parámetros

La función de verosimilitud para los parámetros de la distribución de Pareto α y x_m, dada una muestra independiente x = (x₁, x₂, ..., x_n), es

${\displaystyle L(\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\prod _{i=1}^n\alpha \frac{x_{\mathrm{m}}^{\alpha }}{x_i^{\alpha +1}}={\alpha }^n{x}_{\mathrm{m}}^{n\alpha }\prod _{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\alpha +1}}.}$

Por lo tanto, la función de verosimilitud logarítmica es

${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm{m}})=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm{m}}-(\alpha +1)\sum _{i=1}^n\ln x_i.}$

Se puede ver que ${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm{m}})}$ es monotonamente ascendente con x_m, es decir, cuanto mayor es el valor de x_m, mayor es el valor de la función de verosimilitud. Por lo tanto, dado que x ≥ x_m, se concluye que

${\displaystyle {\hat{x}}_{\mathrm{m}}=\underset{i}{min}{x}_i.}$

Para calcular el estimador de α, se calcula la derivada parcial correspondiente y se determina dónde es cero:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\ell }{\mathrm{\partial }\alpha }=\frac{n}{\alpha }+n\ln x_{\mathrm{m}}-\sum _{i=1}^n\ln x_i=0.}$

Por lo tanto el estimador de máxima verosimilitud para α ess:

${\displaystyle \hat{\alpha }=\frac{n}{\sum _i\ln (x_i/{\hat{x}}_{\mathrm{m}})}.}$

El error estadístico esperado es:^[2]

${\displaystyle \sigma =\frac{\hat{\alpha }}{\sqrt{n}}.}$

Malik (1970)^[3] da la distribución conjunta exacta de ${\displaystyle ({\hat{x}}_{\mathrm{m}},\hat{\alpha })}$. En particular, ${\displaystyle {\hat{x}}_{\mathrm{m}}}$ y ${\displaystyle \hat{\alpha }}$ son independientes y ${\displaystyle {\hat{x}}_{\mathrm{m}}}$ es Pareto con parámetro de escala x_m y parámetro de forma nα, mientras que ${\displaystyle \hat{\alpha }}$ posee una distribución gama inversa con parámetros de forma y escala n − 1 y nα, respectivamente.

Ocurrencia y aplicaciones

General

Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Pareto a lluvias diarias máximas.^[4]

Vilfredo Pareto utilizó originalmente esta distribución para describir la asignación de la riqueza entre los individuos, ya que parecía mostrar bastante bien la forma en que una mayor parte de la riqueza de cualquier sociedad es propiedad de un porcentaje menor de las personas de esa sociedad. También lo utilizó para describir la distribución de la renta.^[5] Esta idea se expresa a veces de forma más sencilla como el principio de Pareto o la "regla del 80-20", que dice que el 20% de la población controla el 80% de la riqueza.^[6] Sin embargo, la regla del 80-20 corresponde a un valor particular de α, y de hecho, los datos de Pareto sobre los impuestos británicos sobre la renta en su Cours d'économie politique indican que aproximadamente el 30% de la población tenía alrededor del 70% de los ingresos. La función de densidad de probabilidad (PDF) al principio de este artículo muestra que la "probabilidad" o fracción de la población que posee una pequeña cantidad de riqueza por persona es bastante alta, y luego disminuye constantemente a medida que aumenta la riqueza. (Sin embargo, la distribución de Pareto no es realista para la riqueza del extremo inferior. De hecho, el patrimonio neto puede ser incluso negativo). Esta distribución no se limita a describir la riqueza o la renta, sino muchas situaciones en las que se encuentra un equilibrio en la distribución de lo "pequeño" a lo "grande". Los siguientes ejemplos se consideran a veces como una distribución de Pareto aproximada:

• Los tamaños de los asentamientos humanos (pocas ciudades, muchas aldeas/pueblos)^[7][8]
• Distribución de los tamaños de los archivos del tráfico de Internet que utiliza el protocolo TCP (muchos archivos pequeños, pocos archivos grandes^[7]
• Tasas de error en los Unidades de disco duro^[9]
• Clusters de condensado de Bose-Einstein cerca del cero absoluto^[10]

Distribución acumulativa de Pareto (Lomax) ajustada a las precipitaciones máximas de un día utilizando CumFreq, véase también ajuste de distribución

• Los valores de las reservas de petróleo en los yacimientos petrolíferos (unos pocos grandes yacimientos, muchos pequeños yacimientos)^[7]
• La distribución de la longitud en los trabajos asignados a los superordenadores (unos pocos grandes, muchos pequeños)^[11]
• La rentabilidad estandarizada de los precios de las acciones individuales^[7]
• Los tamaños de las partículas de arena^[7]
• El tamaño de los meteoritos
• La gravedad de las grandes pérdidas por fallecimiento en el negocio de Seguros, para ciertas líneas de negocio como la responsabilidad civil general, el automóvil comercial y la compensación de los trabajadores.^[12][13]
• Cantidad de tiempo que un usuario en el servicio Steam pasará jugando a diferentes juegos. (Algunos juegos se juegan mucho, pero la mayoría no se juegan casi nunca)
• En hidrología la distribución de Pareto se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y las descargas de los ríos.^[14] y además para describir épocas de sequía.^[15][16] La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Pareto a las precipitaciones máximas anuales de un día clasificadas mostrando también la banda de confianza del 90% basada en la distribución binomial. Los datos de las precipitaciones se representan mediante posición de trazado como parte del análisis de la frecuencia acumulada.
• En la fiabilidad de la distribución de los servicios eléctricos (el 80% de los minutos de los clientes interrumpidos se producen en aproximadamente el 20% de los días de un año determinado).

En economía, el índice de Pareto, nombrado en honor del economista y sociólogo italiano Vilfredo Pareto, es una medida de la amplitud de la distribución de los ingresos. Es uno de los parámetros que especifican la distribución Pareto e incorpora el principio de Pareto, que consistía en la observación de que el 20 por ciento de los miembros de la sociedad italiana poseían el 80 por ciento de la riqueza.

Una de las caracterizaciones más simples de la distribución de Pareto, cuando se usa para modelar la distribución de riqueza, dice que la proporción de la población cuya riqueza excede cualquier número positivo x > x_m es:

${\displaystyle {\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{x}\right)}^{\alpha }}$

donde x_m es la riqueza de la gente más pobre (el subíndice m significa mínimo). El índice de Pareto es el parámetro α. Cuanto más grande sea el índice de Pareto, más pequeña será la proporción de gente muy rica.

Dado ${\displaystyle p+q=1}$, con , el índice de Pareto se da por:

${\displaystyle \alpha ={\log }_{p/q}1/q=\log (1/q)/\log (p/q)=\log (q)/\log (q/p).}$

Si ${\displaystyle q=1/n}$, esto se simplifica en

${\displaystyle \alpha ={\log }_{n-1}(n).}$

Alternativamente, en términos de razones, X:Y

${\displaystyle \alpha ={\log }_{X/Y}(X+Y)/Y,}$

así X:1 queda

${\displaystyle \alpha ={\log }_X(X+1).}$

Por ejemplo, la regla 80-20 (4:1) se corresponde con α = log(5)/log(4) ≈ 1.16, 90–10 (9:1) se corresponde con α = log(10)/log(9) ≈ 1.05, y 99–1 se corresponde con α = log(100)/log(99) ≈ 1.002, mientras que al regla 70–30 se corresponde con α = log(0.3)/log(0.3/0.7) ≈ 1.42 y la 2:1 (67–33) se corresponde con α = log(3)/log(2) ≈ 1.585.

Regla 80/20

Esta regla mide el porcentaje de desequilibrio entre la entrada y la salida. La regla 80/20, o Principio de Pareto, no es una ley, sino una regla genérica que puede aplicarse para muchos aspectos de la vida. Uno de los ejemplos en negocios más usado comúnmente es cuando el 80 por ciento del beneficio de una compañía es generado por el 20 por ciento de sus clientes.