EPÓNIMOS

 Para otros usos de este término, véase Pascal.

Blaise Pascal
Copia de un retrato de Blaise Pascal c.1690.
Información personal
Nacimiento	19 de junio de 1623 Clermont-Ferrand, Auvernia, Puy-de-Dôme, Francia
Fallecimiento	19 de agosto de 1662 (39 años) París, Francia
Sepultura	Iglesia de Saint-Étienne-du-Mont
Residencia	Clermont-Ferrand, París, Ruan y París
Religión	Jansenismo
Lengua materna	Francés
Familia
Padres	Étienne Pascal Antoinette Begon
Educación
Supervisor doctoral	Marin Mersenne
Información profesional
Área	Matemática, física, filosofía y religión
Conocido por	Principio de Pascal Triángulo de Pascal Teorema de Pascal Apuesta de Pascal Pascalina
Seudónimo	Louis de Montalte, Amos Dettonville y Salomon de Tultie
Obras notables	Pensées Lettres provinciales apuesta de Pascal Principio de Pascal Regla de Pascal teorema de Pascal Pascalina
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Blaise Pascal (pronunciación en francés: /blɛz paskal/; Clermont-Ferrand, 19 de junio de 1623-París, 19 de agosto de 1662) fue un matemático, físico, filósofo, teólogo católico y apologista francés. Sus contribuciones a la matemática y a la historia natural incluyen el diseño y construcción de calculadoras mecánicas, aportes a la teoría de la probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío. Después de un trastorno depresivo y una experiencia religiosa profunda en 1654, Pascal se dedicó también a la filosofía y a la teología.^[1]

Se le recuerda por ser el autor de las Lettres provinciales (1657) y Pensées (1670). En este último, publicado póstumamente, su tema central es la paradójica naturaleza humana y la debilidad del hombre, que es como una «caña débil», pero también una «caña que piensa» gracias a la razón, pero esta, por sí sola, se enreda en una maraña de inteligibilidad, siendo imposible probar la existencia de Dios, la inmortalidad del alma o el sentido de la vida. Fue un crítico del racionalismo, decía que la razón debe seguir las «razones del corazón» por medio de la gracia divina y en la fe cristiana para encontrar aquellas respuestas.^[2][3]

En un sentido amplio, es considerado también como un precursor temprano del «existencialismo»,^[4] por sus temas como la responsabilidad individual como en su apuesta monoteísta, la idea de que el hombre no está hecho, sino que tiene que hacerse y la invocación del hombre concreto a la existencia influyó considerablemente a Søren Kierkegaard y Friedrich Nietzsche; autores que sentaron las bases del existencialismo.

Pascal ofreció además su famosa «apuesta», argumentando que al no poder saber con la razón si Dios existe, tiene más sentido apostar por su existencia, porque tenemos toda una felicidad eterna que ganar y poco o nada que perder, mientras que si no creemos, nos arriesgamos a una condena eterna.

Entre sus descubrimientos e invenciones destacan: el triángulo de Pascal, el principio de Pascal, la pascalina. La unidad de presión «pascal» lleva su nombre en honor a sus contribuciones en hidrodinámica, hidrostática y sus experimentos de la presión y el vacío con un barómetro.^[5][6]

Biografía

Infancia y juventud

Nació el 19 de junio de 1623 en el seno de una familia noble en Clermont (hoy en día Clermont-Ferrand) en la zona de Auvernia, del Macizo Central francés. Su padre, Étienne Pascal, tras haber recibido una formación como jurista en París, era un magistrado de alto rango (maître des requêtes)^[7] que se desempeñaba como juez vicepresidente de la oficina de recaudación tributaria de Auvernia en Clermont. Por otra parte, Étienne Pascal destacaría más tarde como matemático.

Su madre, Antoinette Begon, provenía de una familia burguesa de comerciantes acomodados que también aspiraba a la Noblesse de robe. Blaise Pascal tenía dos hermanas, Gilberte y Jacqueline. A la primera, tres años mayor que Blaise, se le conoce más, puesto que más tarde sería ella la administradora del legado de su hermano y autora de la primera biografía publicada: La Vie de Monsieur Pascal.^[8] Al nacer Jacqueline, su hermana dos años menor, la madre no logró recuperarse de aquel parto complicado y el puerperio, de modo que Pascal perdió a su madre a la temprana edad de tres años.

En 1631, Étienne Pascal se trasladó con su familia a París, conservando en Clermont su puesto en la oficina de recaudación de impuestos. También llevó a una niñera que estaba a cargo del cuidado de sus tres hijos huérfanos de madre.^[9] Blaise tenía para entonces ocho años y el objetivo de su padre era abrirle en la capital francesa mayores posibilidades que las existentes en la provincia para su educación y despliegue de capacidades, a todos los hijos, pero particularmente para Blaise, quien llamaba mucho la atención por sus facultades mentales, superiores a las promedio.

Resulta sorprendente que Pascal no haga ninguna mención de esta temprana pérdida. Al respecto, su hermana Gilberte Périer escribirá en la biografía:

...al morir mi madre en 1626, cuando mi hermano no tenía más que tres años, mi padre, al quedarse solo, se entregó con mayor dedicación al cuidado de la familia; y como Blaise era su único hijo varón, esta cualidad y las demás que en él observó [las grandes pruebas de inteligencia que observó en él] le llenó hasta tal punto de afecto paternal que decidió no encargar a nadie la tarea de su educación y tomó la resolución de instruirle él mismo, como en efecto hizo, pues mi hermano no tuvo nunca otro maestro que mi padre...^[10]

Estancia en Normandía

Pascalina del año 1652.

En 1640, su padre fue nombrado Comisario Real y jefe de la recaudación de impuestos para Normandía con asiento en Ruan. Aquí, en 1642, Pascal inventó para él la roue pascaline, «rueda de pascal» o Pascalina, considerada como una de las calculadoras más antiguas. Inicialmente sólo permitía realizar adiciones, pero en el curso de los diez años siguientes añadió mejoras, siendo finalmente capaz de hacer restas. Pascal la hizo patentar, pero no se cumplieron sus expectativas de hacerse rico comercializando su invento por medio de una pequeña empresa de su propiedad. Las máquinas, trabajosamente confeccionadas una a una y a mano, eran demasiado caras como para poder venderse en volúmenes mayores y solo llegó a fabricar cincuenta, de las que subsisten nueve.^[11]

En Ruan, ciudad con universidad, corte de justicia (Parlement) y ricos comerciantes, la familia Pascal pertenecía a la sociedad, aunque el padre se había hecho enemigos por su rigor en el ejercicio de su cargo. Pascal y su hermana menor Jacqueline, con dotes literarias, cuyos intentos poéticos fueron apoyados por el dramaturgo Pierre Corneille, se movían en este ambiente elegante. Su hermana Gilberte se casó en 1641 con un pariente joven, Florin Périer, traído desde Clermont-Ferrand por el padre para que fuera su ayudante.

En 1646, durante la convalecencia del padre después de un accidente, la familia, que hasta entonces no había sido muy religiosa, entró en contacto con las enseñanzas del obispo reformista neerlandés Jansenio, que defendía en el seno de la Iglesia católica una noción de gracia divina basada en San Agustín, similar a las ideas de Calvino. El padre, el hijo y las hijas se hicieron devotos y Jacqueline incluso decidió hacerse monja, mientras que Pascal, que sufría fenómenos de parálisis en las piernas con permanentes dolores, interpretó su enfermedad como signo divino y empezó a llevar una vida ascética.

A principios de 1645 demostró el fervor de su nueva devoción forzando al arzobispo de Ruan a castigar a un seminarista, que ante él y amigos suyos había defendido una visión de la religión que les había parecido demasiado racionalista.

Sin embargo, el propio Pascal nunca consideró que su devoción fuera un obstáculo para seguir dedicándose a sus estudios en ciencias naturales y matemática. Así, por ejemplo, ya en 1648 repitió con éxito los ensayos que Evangelista Torricelli había realizado en 1643 para demostrar la existencia del vacío, la que hasta entonces se había considerado como imposible, publicando en 1647 sus resultados en el tratado Traité sur le vide (Tratado sobre el vacío)

El periodo parisino

Blaise Pascal.

A partir de mayo de 1647 volvió a vivir con Jacqueline, y poco después también con su padre, principalmente en París, donde contactó a los principales jansenistas, pero también continuó con sus investigaciones. Sus ideas no fueron bien recibidas por numerosos teólogos e investigadores, entre ellos Descartes, con el que se reunió repetidas veces en París a fines de septiembre de 1647. Por ello, a partir de entonces formuló sus especulaciones sobre el vacío y el éter de una forma más indirecta, particularmente en un tratado sobre la presión atmosférica, demostrando su dependencia de la altura del lugar en cuestión, por medio de experimentos que hizo realizar a su cuñado Périer en el Puy de Dome en 1648. También en 1648, en otro tratado, fundamentó la ley de los vasos comunicantes.

Pocos años antes (en 1644), Torricelli había publicado su experimento por el que el peso del aire de la atmósfera mantenía el mercurio en un tubo, con vacío en su parte superior, demostrando que el aire ejerce una presión debido a su peso. Pascal no estaba convencido de esa teoría, y seguía siendo partidario de la teoría del Horror vacui. Para confirmarlo, pidió a su cuñado que escalase el volcán Puy de Dôme hasta su cima, y se comprobó que el mercurio sube más en la base de la montaña que en su cima. Tras el experimento, Pascal abandonó la teoría del Horror vacui y se convirtió a la teoría de la causa mecanicista.^[12]

Cuando, en la primavera de 1649, los desórdenes de la Fronda dificultaron la vida en París, los Pascal se refugiaron hasta otoño de 1650 en casa de los Périer en Auvernia.

En otoño de 1651 murió Pascal padre. Poco después, y contraviniendo los deseos tanto del fallecido como también de Blaise, Jacqueline se incorporó al convento estrictamente jansenista de Port Royal en París.

Ahora, Pascal por primera vez dependía nada más que de sí mismo. Ya que, si bien no era rico, sí tenía una situación acomodada y era noble, comenzó a frecuentar la sociedad de París, trabando amistad con el joven duque de Roannez, con el que compartía el interés por la filosofía. Este lo llevó de viaje en 1652, junto a algunos de sus amigos librepensadores, entre ellos Antoine Gombaud, conocido como el «caballero de Méré», oportunidad en la que Pascal se introdujo en la filosofía moderna, aprendiendo además el arte de las conversaciones sociales.

Gracias a que frecuentaba el salón esteta de Madame de Sablé, se compenetró también con las «bellas letras» de su época.^[13] Incluso llegó brevemente a pensar en comprar un cargo y en casarse. Sin embargo, una obra que se le adjudicó por mucho tiempo, al amoldarse en cierto sentido a esta fase mundana de su vida, el anónimo Discours sur les passions de l’amour (Discurso acerca de las Pasiones del Amor), no es de su autoría.

En 1653 escribió un tratado sobre la presión atmosférica, en el que por primera vez en la historia de la ciencia se hace una descripción completa de la hidrostática.

Junto a sus nuevos conocidos, especialmente con el Chevalier de Méré, Pascal también tenía discusiones acerca del modo de ganar en los juegos de azar, un pasatiempo típicamente de nobles. Esto lo llevó en 1653 a dedicarse a la teoría de la probabilidad, estudiándola en 1654 en su intercambio epistolar con el juez de Toulouse y destacado matemático Pierre de Fermat. Analizaron principalmente los juegos de dados. Al mismo tiempo, Pascal se ocupó de otros problemas matemáticos, publicando diversas obras en 1654: el Traité du triangle arithmétique acerca del llamado triángulo de Pascal y los coeficientes binomiales, en el que también por primera vez formuló explícitamente el principio de la demostración por inducción matemática,^[14] el Traité des ordres numériques acerca de los órdenes de los números y Combinaisons sobre combinaciones de números.

En el entorno de Port-Royal

En el otoño de 1654, Pascal sufrió un trastorno depresivo. Volvió a acercarse a Jacqueline, visitándola con frecuencia en el convento y se mudó a otro barrio para alejarse de sus amigos mundanos. Sin embargo, siguió trabajando en cuestiones matemáticas y otros asuntos científicos. El 23 de noviembre, posiblemente después de un accidente con su carroza del que, sin embargo, no existen testimonios fidedignos, tuvo una experiencia religiosa de renacimiento que intentó registrar esa misma noche en una hoja de papel que aún se conserva, el así llamado Memorial. La hoja, fechada «en el año de gracia de 1654, lunes 23 de noviembre, a partir de las diez y media de la noche aproximadamente hasta cerca de media hora después de la medianoche» comienza con la palabra feu (fuego) escrita en grandes letras mayúsculas, y relata una visión que ha experimentado. Incluye los fragmentos «¡Dios de Abraham, Dios de Isaac, Dios de Jacob, no el de los filósofos y los sabios!» y añade más adelante «El Dios de Jesucristo: solo por los caminos que enseña el Evangelio se le puede hallar».^[15]

Después se retiró por completo de la sociedad parisina para dedicarse por completo a su devoción. Sus únicas relaciones humanas pasaron a ser los «ermitaños» jansenistas (solitaires); se trataba de sabios y teólogos que se habían establecido en el entorno del convento Port-Royal des Champs y a los que visitaba con frecuencia. Alrededor de 1655 desarrolló aquí el diálogo legendario con su nuevo confesor A. Le Maître de Sacy (Conversation avec M. de Saci sur Épictète et Montaigne), en el que, entre los dos polos del escepticismo de Montaigne y la ética estoica de Epicteto, ya ofrece un esbozo de la antropología, que posteriormente desarrollaría en los Pensées.

La sanación, ocurrida en 1656, de su sobrina Marguerite Périer, que después de visitar Port Royal se había curado de un absceso en el ojo, contribuyó más a fortalecer la fe de Pascal. Al mismo tiempo, en docto diálogo con los solitaires, especialmente con Antoine Arnauld y Pierre Nicole, empezó a redactar escritos de motivación religiosa y teológica. A la par, como siempre, también se dedicaba a cuestiones prácticas, así por ejemplo en 1655 a la didáctica del aprendizaje de la lectura, para la escuela que mantenían los solitaires.

En el momento de su conversión (como indica el Mémorial), Pascal se vio implicado en una situación, en la que la devoción ortodoxa y el moralismo riguroso de los jansenistas se habían convertido en una molestia para los jesuitas, más relajados y conciliadores, pero también conscientes de su poder. Cuando en 1655 se desató abiertamente el conflicto, porque a Arnauld, en su calidad de jansenista, se lo expulsó de la facultad de teología de la Sorbonne en París, Pascal tomó partido y en 1656/57 redactó una serie de folletos satíricos polémicos anónimos. Estos tuvieron una resonancia explosiva y en 1657 incluso fueron publicados en Holanda en forma de libro, bajo el título de Lettres provinciales, ou Lettres de Louis de Montalte à un provincial de ses amis et aux R. R. PP. Jésuites sur la morale et la politique de ces pères (Cartas provincianas, o cartas de L. de M. a un provinciano amigo así como a los RR. PP. jesuitas sobre la moral y la política de estos padres). Se trata de dieciocho cartas supuestamente escritas por un personaje ficticio de nombre Montalte de viaje en París, de las que las primeras diez están dirigidas a un amigo ficticio en su provincia de origen, las siguientes seis a los padres jesuitas de París, mientras que las últimas dos se dirigen en especial al padre confesor del rey. En estas cartas, Montalte, primero en el papel de joven noble, ingenuo y no versado en teología, describe como los jesuitas le explican su teología de manera sabihonda y desdeñosa; después, aprendida la «lección», empieza a discutir con ellos, reduciendo al absurdo sus enseñanzas de manera aguda e hilarante. Pascal ridiculizó y atacó así la teología en cierto sentido amistosa y práctica, pero tendencialmente oportunista y muchas veces capciosa —la famosa casuística— de los jesuitas y desenmascara sus ansias de poder sumamente terrenales. Las Lettres provinciales tuvieron un éxito notorio y durable, aunque fueron prohibidas a partir de la número cinco, puestas en el índice al aparecer como libro y hasta quemadas por el verdugo en 1660, señalando a largo plazo el principio del fin de la omnipotencia jesuita, al menos en Francia. Por su claridad y precisión se las considera entre las obras maestras de la prosa francesa, que otorgaron a su autor un lugar entre los clásicos de la literatura francesa.

Fueron menos divulgados los cuatro escritos polémicos, con los que Pascal (junto a Arnauld y Nicole) intervino en 1658 en un conflicto entre párrocos parisinos de orientación jansenista y los jesuitas.

Lápida de Blaise Pascal en la iglesia de Saint-Étienne-du-Mont (París).

En lo inmediato, sin embargo, los jesuitas mantuvieron el control de la situación con la ayuda del Rey y del Papa, lo que ensombreció los siguientes años para Pascal. Porque mientras muchos de sus correligionarios cedían bajo la presión de las represalias que tomaba la autoridad o daban pasos tácticos, él permaneció indoblegable.

En medio de esta situación, en 1658 empezó a trabajar de manera más sistemática en una gran apologética de la religión cristiana. Con este fin había escrito unas primeras notas en 1656. Sus líneas principales se pueden encontrar en el escrito redactado en 1657, pero no terminado Écrits sur la grâce (Escritos sobre la Gracia), en el que explica la forma jansenista de la noción de gracia de San Agustín como término medio entre la noción casi fatalista de predestinación del calvinismo y la noción optimista de gracia de los jesuitas, asignándole a la libre voluntad del hombre el decidir sobre su salvación. Porque para Pascal rige: «Aquel que nos creó sin nuestro concurso, no puede salvarnos sin nuestra participación».

Aparte de su trabajo en los Pensées, volvió a emprender también estudios matemáticos. Así, en 1658, calculó la superficie de la cicloide con los métodos de Cavalieri, así como el volumen del sólido de rotación que resulta de una rotación de la ciclode alrededor del eje de las x. Después de haber hallado la solución él mismo, ofreció un premio a quien resolviese el problema, lo que le significó recibir numerosas propuestas (insuficientes) así como desarrollar una intensa polémica con un descontento.

En 1659 apareció su escrito Traité des sinus des quarts de cercle (Tratado de los senos de los cuadrantes circulares). Cuando Gottfried Leibniz leyó esta obra en 1673 en París, recibió de ella un impulso decisivo para desarrollar el cálculo infinitesimal considerando el razonamiento específico por parte de Pascal, que Leibniz empleó de manera más general, interpretando el círculo de Pascal como círculo de curvatura en determinados puntos de una función o curva cualquiera. Leibniz dice que en ello había visto una luz que el propio autor no vio. De allí se origina el concepto de triángulo característico.^[16]

Su salud deteriorada empeoró cada vez más deprisa en esos años, probablemente a consecuencia de su modo de vida extremadamente ascético, que lo debilitaba más. Por ejemplo, en 1659, no pudo trabajar durante numerosas semanas. A pesar de ello, en ese año fue miembro de un comité que trataba de poner en marcha una nueva traducción de la Biblia. En 1660 pasó varios meses de convalecencia en un palacete perteneciente a su hermana mayor y a su cuñado cerca de Clermont.

A principios de 1662, junto a su amigo Roannez, fundó la empresa Les carrosses à cinq sous («Las carrozas de cinco sueldos»), marcando el comienzo del transporte público local en París.

En agosto de 1662 enfermó gravemente, hizo vender sus enseres domésticos donándolos para fines de caridad y murió, a la edad de 39 años, en intenso dolor después de que un tumor maligno en su estómago se le extendiera al cerebro.^[17]

Un año antes, había muerto su hermana Jacqueline, en casa de los Périer en París.^[17]

Contribuciones científicas

Matemáticas

Pascal en su Traité du triangle arithmétique («Tratado sobre el triángulo aritmético») de 1653 describió una conveniente presentación tabular para coeficientes binomiales, ahora llamada triángulo de Pascal. El triángulo también se puede representar:

Cada número es la suma de los dos directamente encima de él. El triángulo muestra muchas propiedades matemáticas además de mostrar coeficientes binomiales.

En 1654, demostró la identidad de Pascal relacionando las sumas de las potencias p de los primeros n enteros positivos para p = 0, 1, 2, ..., k.^[18] El trabajo realizado por Fermat y Pascal en el cálculo de probabilidades se convierte en un importante trabajo preliminar para Leibniz formulación del «cálculo».

Física

Artículo principal: Principio de Pascal

Una ilustración del experimento del barril de Pascal.

El trabajo de Pascal en los campos del estudio de la hidrodinámica e hidrostática se centró en los principios de los fluidos hidráulicos. Sus inventos incluyen la prensa hidráulica (que usa presión hidráulica para multiplicar la fuerza) y la jeringa. Él demostró que la presión hidrostática no depende del peso del fluido, sino de la diferencia de elevación.

El barril de Pascal es el nombre de un experimento hidrostático presuntamente realizado por Blaise Pascal en 1646. En el experimento, Pascal supuestamente insertó un tubo vertical largo en un barril lleno de agua. Cuando se vertió agua en el tubo vertical, el aumento de la presión hidrostática causó la explosión del barril.^[19][20]

El experimento no se menciona en ninguna parte de las obras conservadas de Pascal y puede ser apócrifo, atribuido a él por autores franceses del siglo XIX, sin embargo, el experimento sigue asociado con Pascal.

En 1647, Pascal se enteró de la experimentación de Evangelista Torricelli con barómetros. Después de replicar un experimento que involucraba colocar un tubo lleno de mercurio al revés en un recipiente con mercurio, Pascal cuestionó qué fuerza mantenía algo de mercurio en el tubo y qué llenaba el espacio sobre el mercurio en el tubo. En ese momento, la mayoría de los científicos sostuvieron que, en lugar de un vacío, había algo de materia invisible presente. Esto se basó en la noción aristotélica de que la creación era una cuestión de sustancia, ya sea visible o invisible; y que esta sustancia siempre estuvo en movimiento. Además, «Todo lo que está en movimiento debe ser movido por algo», declaró Aristóteles.^[21]

Pascal, en su respuesta a Estienne Noel, hizo una de las principales declaraciones del siglo XVII sobre el método científico que las teorías científicas se caracterizan, anticipando la idea de falsabilidad popularizada por Karl Popper:^[22][23]

Para hacer evidente una hipótesis, no es suficiente que se produzcan todos los fenómenos, mientras que si se sigue algo contrario a uno de los fenómenos, eso es suficiente para garantizar de su falsedad.

Su insistencia en la existencia del vacío también condujo al conflicto con otros científicos prominentes, incluido Descartes.

Pensamiento apologético

Artículo principal: Pensamientos (obra de Pascal)

A consecuencia de su temprano deceso, Pascal no pudo terminar la gran Apologética que tenía planeada. Solo dejó notas y fragmentos, alrededor de 1000 papeles en unos 60 fajos, que en 1670 fueron la base para la publicación por amigos jensenistas de una edición titulada Pensées sur la religion et autres sujets («Pensamientos sobre la religión y otros temas»).

Pensées

Las circunstancias de la edición, según Macias Fattoruso, fueron las siguientes: «El pensador había vivido sus últimos años y había agonizado hasta pocas semanas antes de su muerte en los dos establecimientos de Port-Royal; estuvo en París y también en la provincia, y en ambos lugares participó activamente de la suerte y de las muchas y animadas polémicas que tenían lugar en su seno en torno a los temas que vinculaban la devoción religiosa con los problemas y desafíos del mundo exterior. Por eso su sobrina, que lo acogió en las últimas semanas de vida y fue su ejecutora testamentaria, atendió a la propuesta de Arnauld y entregó esos preciosos papeles un tanto dispersos para que fueran articulados conforme a lo que Pascal había conversado y convenido con Le Sacy, con Nicole y con Arnauld acerca de la necesidad de formular una robusta defensa racional de la religión cristiana y de la santidad de su causa».^[24]

Esta primera edición tiene gran mérito, ya que los editores —algo poco usual en esa época— trataban de publicar y hacer asequible una obra pese a estar inconclusa. Sin embargo, resulta problemática porque los editores no se guiaron por el texto original, pese a que este se encontraba disponible como manuscrito autógrafo, si bien solo en forma de fajos de papeles, sino que usaron una de las dos copias que los Périer habían mandado hacer de los fajos poco después de la muerte de Pascal. Resulta más problemática aún por el hecho de que los textos conservados fueron abreviados con arreglo a diversos criterios y que —a diferencia de la copia utilizada, que había conservado básicamente el orden de los papeles y los fajos— se introdujo un orden nuevo, supuestamente más lógico, de los fragmentos.

Pascal por Augustin Pajou, 1785, Louvre.

Las ediciones modernas son el resultado de una paciente labor filológica en los siglos XIX y XX. Esta comienza en 1842, cuando el filósofo Victor Cousin, en un informe dirigido a la Academia francesa, hiciera ver la necesidad de una nueva edición de los Pensées, en vista de las evidentes deficiencias de la primera edición, que hasta entonces todos los editores habían reproducido en lo esencial, aunque casi siempre con abreviaciones y reestructuraciones adicionales. De hecho, aún en 1844, Prosper Faugère intentó por primera vez realizar una edición completa basada en los papeles originales de Pascal, reordenándolos, sin embargo, libremente en capítulos y secciones de acuerdo a criterios de contenido. Este principio se continuó aplicando y supuestamente perfeccionando por parte de otros editores posteriores, llegando a ser el más conocido de ellos Léon Brunschvicg con su edición de 1897–1904.

Alrededor de 1930, los investigadores abandonaron el prejuicio establecido de que los papeles de Pascal en último término no habían tenido orden alguno. En cambio, reconocieron que al menos 27 fajos (es decir, alrededor de 400 papeles) correspondían a otros tantos capítulos en las intenciones de Pascal y ciertamente mostraban un orden interno. También otros fajos se evidenciaron como más homogéneos y más ordenados de lo que hasta entonces se había pensado, de modo que se pasó (especialmente Louis Lafuma, 1952) a ediciones cuyo texto corresponde al original autógrafo y cuya estructura se orienta en gran medida según las copias, o mejor dicho según la mejor de ellas (en 1710–1711 el sobrino de Pascal, Louis Périer, con la mejor de las intenciones, había reordenado todos los papeles, pegándolos en grandes pliegos).

Sin embargo, aun las ediciones más recientes no son más que aproximaciones hipotéticas. Necesariamente sigue sin responder la pregunta de cómo habría sido la obra si Pascal la hubiera podido terminar (y de si la hubiera podido terminar en vida).

Los 28 capítulos mencionados muestran el camino que Pascal quería seguir en la argumentación de su apologética del cristianismo. La apologética se divide en dos: «Primera parte: La miseria del hombre sin Dios. Segunda parte: La felicidad del hombre con Dios» (Laf. 6). Primero, los capítulos bajo los títulos de «Vanidad», «Miseria», «Aburrimiento», «Contradicciones», «Distracción», etc., presentan una imagen dramática del estado de la humanidad, ejecutada con brillantes formulaciones paradójicas e irónicas, dedicándose a continuación a los filósofos en la búsqueda del «más alto bien» para encontrar la solución de las aporías de la existencia humana en el cristianismo. En esta parte, la demostración utiliza ampliamente la exégesis de los padres de la Iglesia, transmitida por Port-Royal —si bien en una forma «moderna», muy historizante— por lo que no pertenece al ámbito de la investigación histórica crítica moderna. El objetivo de la apologética de Pascal es la conversión de los ateos o dudosos.

En el material anexo de los Pensées, es decir, en los demás fajos de papeles, hallamos los grandes textos antropológicos elaborados «Desproporción del ser humano» (Laf. 199) acerca de la situación del ser humano entre lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, «Dispersión» (Laf. 136) acerca de la evasión del pensar sobre la situación real, caracterizada por la miseria y la muerte, entre otros. La unidad del pensamiento de Pascal, desde sus escritos matemáticos hasta sus escritos teológicos, se expresa plenamente en el famoso fragmento acerca de los tres órdenes de los cuerpos, del espíritu y del amor o la santidad (Laf. 308).

Visión del hombre

En su obra Pensamientos, Pascal realiza una reflexión sobre el ser humano, de la que explica lo siguiente:

Yo no sé quién me ha puesto en este mundo, ni qué es el mundo, ni qué soy yo; me encuentro en una terrible ignorancia de todas estas cosas; no sé lo que es mi cuerpo, ni mis sentidos, ni mi alma, ni siquiera esta parte de mi yo que piensa lo que digo, que reflexiona sobre todo y sobre sí misma y que no se conoce a sí misma mejor que el resto. Veo estos terribles espacios del universo que me envuelven, y me encuentro atado a un rincón de esta vasta extensión, sin que sepa por qué estoy situado en este lugar y no en otro, ni por qué este poco de tiempo que me ha sido concedido para vivir me ha sido asignado en este momento y no en otro de toda la eternidad que me ha precedido y de toda la que me sigue. No veo más que infinitudes por todas partes que me envuelven como a un átomo y como a una sombra que no dura más que un instante sin retorno. Todo lo que yo sé es que debo morir pronto; pero lo que más ignoro es, precisamente, esa muerte que no sabré evitar. Como no sé de dónde vengo, tampoco sé a dónde voy; y solo sé que al salir de este mundo caeré para siempre o en la nada, o en las manos de Dios irritado, sin saber a cuál de estas dos condiciones debo estar eternamente sujeto. He aquí mi estado, lleno de debilidad e incertidumbre.

Pascal, B: Pensamientos, 427

EPÓNIMO :

Pascal
Una lectura del manómetro en psi (escala roja) y kPa (escala negra)
Estándar	Unidades derivadas del Sistema Internacional
Magnitud	Presión
Símbolo	Pa
Nombrada en honor de	Blaise Pascal
Equivalencias
Unidades básicas del SI	1 Pa = kg /(m⋅s2)
Unidades derivadas del SI	1 Pa = N/m2 = J/m3
Otras unidades	1 Pa = 10-5 bar = 9,86923·10–6 atm = 1,01971621·10-4 mca
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El pascal (símbolo Pa) es la unidad de presión del Sistema Internacional de Unidades. Se define como la presión que ejerce una fuerza de 1 newton sobre una superficie de 1 metro cuadrado normal a la misma.^[1] Es la unidad de presión derivada del SI que se utiliza para cuantificar la presión interna, la tensión, el módulo de Young y la resistencia máxima a la tracción.

La unidad de medida llamada atmósfera estándar (atm) se define como 101 325 Pa.^[2] Las observaciones Meteorológicas suelen informar de la presión atmosférica en hectopascales según la recomendación de la Organización Meteorológica Mundial, por lo que una atmósfera estándar (atm) o presión atmosférica típica a nivel del mar es de aproximadamente 1013 hPa. En Estados Unidos se suelen utilizar pulgadas de mercurio^[3] o milibares (hectopascales).^[4][5] En Canadá estos informes se dan en kilopascales.^[6]

Etimología

La unidad lleva el nombre de Blaise Pascal, conocido por sus contribuciones a la hidrodinámica y la hidrostática, y sus experimentos con un barómetro. El nombre pascal fue adoptado para la unidad SI newton por metro cuadrado (N/m²) por la 14.ª Conferencia General de Pesos y Medidas en 1971.^[7][8]

Las observaciones meteorológicas generalmente informan la presión atmosférica en hectopascales según la recomendación de la Organización Meteorológica Mundial, por lo tanto, una atmósfera estándar (atm) o una presión atmosférica típica a nivel del mar es de aproximadamente 1013 hPa (pronunciado "diez trece"). Los informes en los Estados Unidos suelen utilizar pulgadas de mercurio^[9] o milibares (hectopascales).^[10][11] En Canadá, estos informes se dan en kilopascales.^[12]

Historia

Blaise Pascal (1623-1662) fue un filósofo y científico francés que, entre otras cosas, se ocupó del comportamiento de los fluidos y desarrolló fundamentos como el concepto de presión y vacío. Ya en la 5.ª Conferencia General de Pesos y Medidas en 1913, se propuso el nombre “pascal” para una unidad de presión, que debía tener el valor 10 N/cm² (esta es la presión que luego se denominó 1 bar).^[13] Sin embargo, no se tomó la decisión correspondiente.

Incluso cuando se introdujo el sistema SI en 1960, todavía no había un nombre separado para la unidad de presión; uno usó "newtons por metro cuadrado". Sin embargo, este nombre largo resultó difícil de manejar, especialmente porque 1 N/m² es una presión muy pequeña.^[14] En la industria europea, la unidad bar (1 bar = 10⁵ N/m²), que corresponde bastante a la presión de una atmósfera, se usaba cada vez más, y en meteorología la unidad milibar era común. Para evitar múltiplos decimales como 10⁵ como factores de conversión en el sistema SI, la unidad derivada N/m² recibió el nombre de pascal en la 14.ª Conferencia General sobre Pesos y Medidas en octubre de 1971.^[14][8]

La unidad se estableció como unidad legal en Alemania ya en 1969.^[15][16] En meteorología, el pascal se introdujo el 1 de enero de 1984.^[ 

Triángulo de Pascal para n=10.

En las matemáticas, el triángulo de Pascal o de Tartaglia es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma de triángulo. Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1652, en su Tratado del triángulo aritmético.^[1] Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo las conocieron matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos antes del triángulo de Pascal, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.^[2]

El triángulo de Tartaglia se puede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal.^[3]

Historia

Triángulo aritmético chino

La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra,^[4] un libro antiguo indio de prosodia del sánscrito escrito por Pingala alrededor del año 200 a. C.^[5]

Las propiedades del triángulo fueron discutidas por los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029)^[6] y Omar Khayyám (1048–1131); de aquí que en Irán sea conocido como el triángulo Khayyam-Pascal o simplemente el triángulo Khayyam. Se conocían también muchos teoremas relacionados, incluido el teorema del binomio.

En China, este triángulo era conocido desde el siglo XI por el matemático chino Jia Xian (1010–1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triángulo aritmético, equivalente al triángulo de Tartaglia, de aquí que en China se le llame triángulo de Yang Hui.^{[7][8][9][10]}

Petrus Apianus (1495–1552) publicó el triángulo en el frontispicio de su libro sobre cálculos comerciales Rechnung^[11] (1527). Este es el primer registro del triángulo en Europa. En Italia, se le conoce como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–1577). También fue estudiado por Michael Stifel (1486-1567)^[12] y por François Viète (1540-1603).

En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero sin demostración. Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una versión acabada de inducción matemática. Demuestra la relación entre el triángulo y la fórmula del binomio. Fue bautizado Triángulo de Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó: Tabla del Sr. Pascal para las combinaciones, y por Abraham de Moivre (1730) quien lo llamó: "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (del latín: "Triángulo aritmético de Pascal"), que se convirtió en el nombre occidental moderno.^[13]

Construcción

El triángulo de Tartaglia se construye siguiendo un patrón como el que se muestra en la figura de abajo. Se comienza desde la cúspide con el número «1» hacia abajo(infinito), a modo de "árbol"; se clasifica en filas, empezando por la fila cero(el «1» de la cúspide). Este "árbol" tiene nodos, que son cada número que compone el triángulo. Si sumamos dos nodos nos dará de resultado el nodo situado debajo de estos dos, y así sucesivamente.

Las diagonales que empiezan desde el «1» situado en la cabeza del triángulo valen siempre 1.

Uso general

Este triángulo fue ideado para desarrollar las potencias de binomios. Las potencias de binomios vienen dadas por la fórmula: ${\displaystyle (a+b{)}^n}$, dónde a y b son constantes cualesquiera y n el exponente que define potencia. Esta expresión se denomina binomio de Newton.

Esta fórmula del binomio de Newton desarrolla los coeficientes de cada fila en el triángulo de Tartaglia. Es por esto que existe una estrecha relación entre el triángulo de Tartaglia y los binomios de Newton.

Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de él.

Vínculo entre el triángulo de Tartaglia y el binomio de Newton

Todas las cifras escritas en cada fila del triángulo corresponden a los coeficientes del desarrollo de las potencias del binomio de Newton. Unos ejemplos de la serie que describe este comportamiento son:

${\displaystyle (a+b{)}^2=1a^2+2ab+1b^2}$

${\displaystyle (a+b{)}^3=1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3}$

${\displaystyle \dots }$

Con estos ejemplos se concluye que la serie de la expresión general que los desarrolla es:

${\displaystyle (a+b{)}^n=a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}{b}^2...+b^n}$

De esta forma, los coeficientes desarrollados de la forma (a+b)n se encuentran en la fila «n+1» del Triángulo de Pascal.

También se puede generalizar este resultado para cualquier valor de ${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$ por inducción matemática.

Si a cada nodo de este triángulo en cada fila lo denominamos z, nos quedaría la serie que describe la expresión general del modo:

${\displaystyle (a+b{)}^n=z_1{a}^n+z_2{a}^{n-1}b+z_3{a}^{n-2}{b}^2...+z_n{b}^n}$

En esta serie ${\displaystyle z_j\in \mathbb{N}}$, dónde j va desde 1 hasta n.

Combinatoria en el triángulo de Tartaglia

La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada regla de Pascal) combinatoria. Esta fórmula o regla explica que los coeficientes (nodos del "árbol") de una fila dada del triángulo, se pueden calcular con la fórmula combinatoria de combinaciones de ${\displaystyle n}$ elementos de ${\displaystyle k}$ en ${\displaystyle k}$; expresado matemáticamente: ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$, dónde ${\displaystyle n}$ es la fila - 1 y ${\displaystyle k}$ la posición en la fila.

Todo esta propuesta de correlato entre combinatoria y el triángulo de Tartaglia viene dada por la regla general antes mencionada:

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k\text{para todo}0\le k\le n;n,k\in \mathbb{N}$

Por ejemplo, para el binomio ${\displaystyle (a+b{)}^3}$, tendríamos lo siguiente:

• Quedarían cuatro nodos (elementos compuestos por a, b y coeficiente correspondientes) en la ecuación desarrollada del binomio, número el cual se refiere a la fila en la que se encuentra:

${\displaystyle (a+b{)}^3=\mathbf{1}{a}^3+\mathbf{3}{a}^{2}b+\mathbf{3}a{b}^2+\mathbf{1}{b}^3}$

• Si expresamos los coeficientes del triángulo de la forma combinatoria quedaría lo siguiente:

• Cuyo triángulo correspondiente sería:

• Desarrollando los binomios de Newton:

${\displaystyle (a+b{)}^0=1}$

${\displaystyle (a+b{)}^1=a+b}$

${\displaystyle (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2}$

${\displaystyle (a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3}$

${\displaystyle (a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4}$

${\displaystyle (a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5}$

${\displaystyle \dots }$

Propiedades

Triángulo de Pascal con algunas casillas coloreadas. Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje vertical. Los valores de las casillas de ambos lados (en amarillo, verde y rojo) tienen el mismo valor debido a la propiedad de simetría ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-p})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})}$. Las casillas exteriores (en azul), tienen valor nulo, y las casillas en violeta, proporcionan un ejemplo de la regla de Pascal.

Una vez sentadas las bases del intrínseco correlato existente entre estos dos campos de las matemáticas, véanse las propiedades de estos.

Esta imagen representa el triángulo de Pascal matricialmente, y además aplicable a combinatoria. Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión de una potencia de sumas. Concretamente, el número de la fila n y la columna p, corresponde a ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})}$, o también denotado como ${\displaystyle {\mathbf{C}}_n^p}$ (${\displaystyle \mathbf{C}}$ por "combinación") y se dice «n sobre p», «combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p». Las casillas vacías corresponden a valores nulos (0). Usando las propiedades de los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de cualquier triángulo de Pascal con todo rigor:

• Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-p})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}).}$

• Los valores correspondientes a la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto que ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})=0}$ cuando .

• Y claro, la regla de Pascal de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p+1}).}$

Una consecuencia interesante del triángulo de Pascal es que la suma de todos los valores de una fila cualquiera del triángulo es una potencia de 2. Esto se debe a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de ${\displaystyle (1+1{)}^n=2^n}$ es

${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=2^n,}$

que corresponde precisamente con la suma de todos los valores de la n-ésima fila de un triángulo de Pascal.

Aproximación al triángulo de Sierpinski obtenida coloreando de negro las casillas del Triángulo de Pascal que contienen un número par y de gris aquéllas que contienen un número impar.

Otras interpretaciones o representaciones

Triángulo rectángulo

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.

La ilustración al comienzo del artículo muestra el triángulo de Pascal dibujado como un triángulo equilátero. Es posible «enderezarlo» de tal forma que su dibujo quede como un triángulo rectángulo. De esta forma, a la izquierda queda una columna de números «1». La siguiente columna deja un lugar vacío en la primera fila y sigue con la sucesión de números naturales: ${\displaystyle 1,2,3,4,\dots ,n,\dots }$ La tercera columna deja dos filas vacías y comienza con la sucesión de los números triangulares: ${\displaystyle 1,3,6,10,15,\dots }$ Dibujado de esta manera es fácil ver que:

• Cada número en una columna cualquiera es igual a la suma parcial de los elementos de la columna anterior (a la izquierda) hasta la fila anterior en orden descendente.
• La tercera columna es la sucesión de los números triangulares; la cuarta, la de los números tetraédricos; la quinta, la de los números pentaédricos, y así sucesivamente.

Potencias en base 2

También se pueden encontrar las potencias en base 2 de la forma ${\displaystyle 2^n,n\in \mathbb{N}}$ como las sumas sucesivas de los coeficientes de las filas, siendo n la fila en la que se encuentra la potencia ${\displaystyle 2^n}$:

${\displaystyle 2^0=1}$

${\displaystyle 2^1=1+1}$

${\displaystyle 2^2=1+2+1}$

${\displaystyle 2^3=1+3+3+1}$

${\displaystyle 2^4=1+4+6+4+1}$

${\displaystyle \dots }$

Sucesión de Fibonacci

Relación entre el triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci

En el triángulo de Pascal se puede apreciar una relación entre un modo de sumar las diagonales y la sucesión de Fibonacci. Los primeros términos de esta sucesión son: ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55\dots }$

Como se puede apreciar en la imagen de la derecha, las sumas sucesivas de las diagonales desde arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda componen la sucesión de Fibonacci.

Números primos

Existe una propiedad sobre el triángulo de Pascal que indica que si el primer elemento de una fila (sin contar los «1») es un número primo, entonces todos los demás elementos de la fila serán divisibles por él.

Ejemplo:

${\displaystyle \text{En la fila 11 }\to 11155165330462462330165551}$;

El 55, 165, 330 y 462 son divisibles por 11.

Generalizaciones

Ejemplo combinacional de coeficiente trinomial.

En vez de considerar las potencias de a + b, se puede considerar las del trinomio a + b + c. De esta manera, (a + b + c)ⁿ es una suma de monomios de la forma λ_{p, q, r} ·a^p·b^q·c^r, con p, q y r positivos, p + q + r = n, y λ_{p, q, r} un número natural que se llama coeficiente trinomial.^[14][15] Los cálculos son similares a los del coeficiente binomial, y se dan mediante la siguiente expresión:

${\displaystyle {\lambda }_{p,q,r}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p,q,r})=\frac{n!}{p!q!r!}}$,

en subconjuntos de p, q y r elementos.

Pirámide de Pascal. Se han dibujado las primeras secciones a partir de la cumbre.

Estos coeficientes se pueden considerar como la analogía tridimensional del triángulo de Pascal. De hecho, a la distribución de estos coeficientes al estilo piramidal se le conoce como pirámide de Pascal; es también infinita, con secciones triangulares, y el valor en cada casilla es la suma de los valores de las tres casillas encima de ella.

En esta pirámide se observa una invariante por rotación de 120 grados alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice. El triángulo de Pascal aparece en las tres caras de la pirámide.

De igual manera, todo esto se puede generalizar a dimensiones finitas cualesquiera, pero sin la posibilidad de hacer dibujos explicativos sencillos.

El triángulo de Pascal en programación

Los siguientes códigos del triángulo de Pascal se basan en la propiedad: ${\displaystyle n=C(fila,posicion)}$, teniendo en cuenta que n es un valor perteneciente al triángulo de Pascal, fila es el número de nivel (altura) que nos encontramos del triángulo de Pascal, se empezaría por "1 1", el cual sería la fila 1, y la posición se refiere al índice del dato en la fila, leído de izquierda a derecha. Así pues, en la segunda fila del triángulo de Pascal tenemos: ${\displaystyle 2=C(2,1)}$, ya que se encuentra en la posición 1 (empezamos por la posición 0) y se encuentra en el nivel 2. Teniendo en cuenta que C hace referencia a combinatoria, por lo que se sigue la siguiente fórmula para hallarlo: ${\displaystyle C(x,y)={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y})}=\frac{x!}{y!(x-y)!}}$. Y teniendo en cuenta que se hace uso del factorial.

Por otro lado, en el código de Java el factorial se realiza mediante un bucle, siguiendo la definición: ${\displaystyle x!=x(x-1)...1}$

En cambio, en el código de Python se realiza mediante la recursividad, siguiendo la siguiente definición: ${\displaystyle x!=x(x-1)!}$