EPÓNIMOS

 Para otros usos de este término, véase Pitágoras (desambiguación).

Pitágoras
Busto de Pitágoras en los Museos Capitolinos.
Información personal
Nombre de nacimiento	Πυθαγόρας
Nombre en griego antiguo	Πυθαγόρας ὁ Σάμιος
Nacimiento	c. 570 a. C. Samos, Antigua Grecia
Fallecimiento	c. 490 a. C. Metaponto
Residencia	Samos y Crotona
Religión	Pitagóricos
Familia
Padres	Mnesarco y Pitaide
Cónyuge	Téano
Hijos	Myia
Educación
Alumno de	Anaximandro
Información profesional
Área	Filosofía, matemáticas, música, ética y astronomía
Conocido por	Teorema de Pitágoras Armonía de las esferas Afinación pitagórica
Alumnos	Filolao, Empédocles y Arignota de Samos
Movimiento	Pitagóricos y filosofía occidental
Obras notables	teorema de Pitágoras terna pitagórica sólido platónico
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Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας; Samos,^[1] c. 570^[2]-Metaponto, c. 490 a. C.^[3]), a menudo conocido simplemente como Pitágoras, fue un filósofo y polímata griego jonio, y fundador epónimo del pitagorismo.^[4] Sus enseñanzas políticas y religiosas fueron bien conocidas en la Magna Grecia e influyeron en las filosofías de Platón, Aristóteles y, a través de ellos, en Occidente en general. Lo que se sabe de su vida está envuelto por la leyenda y no hay consenso entre los académicos modernos respecto a su educación o influencias. Eso sí, coinciden en que, alrededor del 530 a. C., viajó a Crotona, en el sur de Italia, donde fundó una escuela ético-política en la que los iniciados hacían juramento de secreto y vivían un estilo de vida comunitario y ascético, con creencias y observancias comunes, entre las que se incluían normas prescriptivas (como la prohibición de comer legumbres o ciertas carnes), la preservación y búsqueda del conocimiento esotérico y la reverencia al propio fundador. Aunque de naturaleza religiosa, esta escuela formuló principios que influyeron en el pensamiento de Platón y Aristóteles y contribuyeron al desarrollo de las matemáticas y la filosofía racional occidental.

En la antigüedad, a Pitágoras se le atribuyeron muchos descubrimientos matemáticos y científicos, entre ellos el teorema de Pitágoras, la afinación pitagórica, los cinco sólidos regulares, la teoría de las proporciones, la de la esfericidad de la Tierra y la identidad de las estrellas de la mañana y de la tarde con el planeta Venus. Se decía que fue el primer hombre en autodenominarse filósofo («amante de la sabiduría»)^[5] y que fue el primero en dividir el globo en cinco zonas climáticas. Se creía tradicionalmente que Pitágoras había contribuido de manera significativa al avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas y aplicadas, por ejemplo, a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Los historiadores clásicos debaten si Pitágoras hizo realmente estos descubrimientos, y muchos de los logros que se le atribuyen probablemente se originaron antes o fueron realizados por colegas o sucesores suyos. Si bien algunos relatos mencionan que la filosofía asociada con Pitágoras estaba relacionada con las matemáticas y que los números eran importantes, se debate hasta qué punto contribuyó realmente a las matemáticas o a la filosofía natural, si es que lo hizo en absoluto.

Es el fundador de la Escuela pitagórica, una sociedad que, además de ser predominantemente religiosa, se interesaba en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente. Pitágoras influyó en Platón, cuyos diálogos, especialmente su Timeo, muestran enseñanzas pitagóricas.

La enseñanza que se identifica con mayor certeza con Pitágoras es la de la «transmigración de las almas» o metempsicosis, que sostiene que cada alma es inmortal y, al morir, entra en un nuevo cuerpo, con castigos y recompensas por el comportamiento en vidas anteriores. También es posible que Pitágoras haya ideado la doctrina de la musica universalis (o de la armonía de las esferas), que sostiene que los planetas se mueven según ecuaciones matemáticas y, por lo tanto, resuenan para producir una sinfonía musical inaudible. Respecto a la música, sus conceptos de I, IV y V fueron los pilares fundamentales en la armonización griega y son los utilizados hoy en día. Los académicos debaten si Pitágoras desarrolló las enseñanzas numerológicas y musicales que se le atribuyen, o si esas enseñanzas fueron desarrolladas por sus seguidores posteriores, en particular Filolao de Crotona. Tras la decisiva victoria de Crotona sobre Síbaris en torno al año 510 a. C., los seguidores de Pitágoras entraron en conflicto con los partidarios de la democracia, y las casas de reunión pitagóricas fueron incendiadas. Es posible que Pitágoras haya muerto durante esta persecución, o que haya escapado a Metaponto y muerto allí.

No se ha conservado escrito original alguno de Pitágoras. Sus discípulos —los pitagóricos— invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado de lado mensurable o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la Escuela pitagórica.^[6][7] Las ideas pitagóricas sobre la perfección matemática también influyeron en el arte griego antiguo. Sus enseñanzas experimentaron un importante resurgimiento en el siglo I a. C. entre los platónicos medios, coincidiendo con el auge del neopitagorismo. Pitágoras siguió siendo considerado un gran filósofo durante toda la Edad Media y su filosofía tuvo un gran impacto en científicos como Nicolás Copérnico, Johannes Kepler o Isaac Newton. El simbolismo pitagórico también se utilizó en todo el esoterismo europeo de principios de la era moderna, y sus enseñanzas, tal como se describen en Las metamorfosis de Ovidio, influirían más tarde en el movimiento vegetariano moderno.

Fuentes biográficas

Véase también: Filosofía presocrática

Pitágoras, detalle de La escuela de Atenas, de Rafael Sanzio.

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Los datos verificables sobre la vida de Pitágoras son escasos, dado que no existen textos de su autoría ni biografías firmadas por contemporáneos.

Los primeros escritos detallados, que datan de entre 150 y 250 años después de su muerte, se basan en historias transmitidas de manera oral y muestran grandes diferencias entre sí. Asimismo, muchos mitos y leyendas se forjaron en torno a su persona, motivados probablemente por el mismo Pitágoras, pero también debido a la naturaleza de la doctrina pitagórica y sus seguidores: una confraternidad hermética, regida por símbolos místicos y costumbres esotéricas.

En los siglos posteriores a su muerte, las anécdotas sobre Pitágoras y sus hazañas se vigorizaron, alimentadas por esta falta de información directa, pero también gracias a la influencia de la escuela pitagórica misma. En el siglo I a. C. era común representarlo como un ser sobrenatural. Algunos tratados incluso fueron escritos en su nombre y el de otros pitagóricos,^{[nota 1]} y muchas fábulas e invenciones fueron recogidas y exageradas por algunos filósofos neoplatónicos y neopitagóricos.^{[nota 2]}

La más extensa, detallada e influyente obra sobre la vida de Pitágoras y su pensamiento data del siglo III d. C., es decir, unos 800 años después de su muerte. Diógenes Laercio (ca. 200-250) y Porfirio (ca. 234-305) escribieron dos Vidas de Pitágoras, y Jámblico (ca. 245-325) Sobre la vida pitagórica. Estas biografías son, con algunas excepciones,^{[nota 3]} las únicas fuentes disponibles.^[8] Pertenecen a una época en que la figura de Pitágoras era vista de modo distorsionado y se basan, a su vez, en fuentes extraviadas, algunas de las cuales son de marcada tendencia neopitagórica y deliberadamente orientadas a ensalzar a Pitágoras, presentándolo como el origen de toda la verdad filosófica, cuyas ideas habrían sido plagiadas por Platón, Aristóteles y todos los filósofos posteriores.

Diógenes es más objetivo, mientras que Porfirio y Jámblico guardan poco rigor histórico. Jámblico cita como fuentes las obras de Nicómaco y de Apolonio de Tiana, incluye algunos datos biográficos pero se centra más en el estilo de vida de los pitagóricos. Aristóteles habría escrito un trabajo aparte,^[9] pero no se conserva; sus discípulos Dicearco de Mesina, Aristóxeno y Heráclides Póntico son, así de tardíos como resultan, las mejores fuentes en que se basan Porfirio y Jámblico.

Las referencias encontradas en los Diálogos de Platón, se hallan situadas dentro de una estructura literaria que no pretende demasiada veracidad histórica. Las que se encuentran en Aristóteles, aparentemente más fidedignas, enmascaran una gran parte de reinterpretación. Ambos coinciden, sin embargo, en destacar la enorme influencia que tuvo Pitágoras.^[7][10]

Biografía

El padre de Pitágoras se llamaba Mnemarco o Mnesarco, un mercader de Tiro, y su madre Pitaide, originaria de Samos, en Jonia. La mayoría de los historiadores concuerdan en que su vida pública surge hacia el año 532 a. C., en tiempos de Polícrates y de Tarquinio el Soberbio.^{[nota 4]}

Pitágoras vivió los primeros años de su vida en Samos y acompañó a su padre en muchos de sus viajes; era ciertamente instruido: aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Es posible que su padre lo llevara a Tiro y que allí recibiera instrucción de caldeos y hombres instruidos de Siria. Entre sus profesores, se menciona a tres filósofos: Ferécides de Siros, a quien a menudo se describe como el maestro de Pitágoras; Tales y el pupilo de este, Anaximandro. Según Jámblico, en su Vida de Pitágoras, a la edad de 18 o 20 años, Pitágoras visitó a Tales, en Mileto. Si bien Tales ya debía ser un anciano en ese entonces, habría causado una fuerte impresión en el joven Pitágoras, interesándolo por las matemáticas y la astronomía, y aconsejándole visitar Egipto para informarse más sobre estas cuestiones. Anaximandro impartía las enseñanzas de Tales, lecturas a las cuales asistió Pitágoras, y muchas de sus ideas sobre geometría y cosmología influyeron en su propia visión.

Ciudad de Crotona en la Magna Grecia, área de influencia de Pitágoras y los pitagóricos.

Fue creencia común en la Antigüedad que Pitágoras emprendió largos viajes con el propósito de recopilar la información científica asequible de su época directamente de las fuentes.^{[nota 5]} Con este fin habría visitado no solo Egipto, sino también Arabia, Fenicia, Babilonia e incluso la India. El paso de Pitágoras por Egipto puede ser visto como más que probable; Polícrates había establecido una alianza y existían fuertes lazos entre la isla de Samos y Egipto en ese momento. En 525 a. C. Cambises II, rey de Persia, invadió Egipto. La alianza con Polícrates se rompió y, tras la Batalla de Pelusium, Cambises se apoderó de Heliópolis y Memphis. Según Jámblico, Pitágoras fue conducido a Babilonia como prisionero de guerra por los seguidores de Cambises. Allí, se asociaría con los «magos», instruyéndose en sus ritos sagrados y los «cultos mistéricos de los dioses», así como las ciencias matemáticas cultivadas por los babilonios. No está claro cómo obtiene su libertad, si bien las muertes de Polícrates y de Cambises —ambas acaecidas en 522 a. C.— pueden haber sido factores determinantes para que Pitágoras emigrara al sur de Italia y se estableciera en la ciudad de Crotona.

No existe ninguna certeza acerca del tiempo que Pitágoras pasó en Egipto o en Oriente, ni de sus vicisitudes en Samos u otras ciudades griegas antes de su llegada a Italia. Tampoco hay evidencia directa del tipo y la cantidad de conocimientos que pudo haber adquirido, ni de cómo llegó a sus conclusiones filosóficas definitivas. Algunos relatos sugieren que visitó los templos y participó en discusiones con los sacerdotes, iniciándose en los ritos y creencias que luego impondría a la sociedad que fundó en Italia. Entre las nuevas costumbres que Pitágoras adoptó, pueden mencionarse el secretismo, el vegetarianismo, el rechazo a vestir ropas hechas de piel de animales y su empecinamiento en la pureza. Sin embargo, es difícil determinar hasta qué punto Pitágoras es tributario de los sacerdotes egipcios, o siquiera si les debe algo del todo; estas características solo exhiben lo que fácilmente podría haber sido desarrollado por una mente griega expuesta a las influencias ordinarias de su tiempo. Incluso las fuentes más antiguas apuntan a resultados similares al intentar conectar las peculiaridades religiosas y ascéticas de Pitágoras con los misterios órficos o de Creta,^[11] o con el oráculo de Delfos. Porfirio señala que Pitágoras aprendió geometría de los egipcios, pero dado el carácter meramente práctico del cultivo de esta ciencia por los matemáticos egipcios, la influencia directa a partir de las enseñanzas de Tales y de Anaximandro parece más probable. De las visitas que realizara a varios lugares en Grecia —Delos, Esparta, Fliunte, Creta y otros con los que se le relaciona—, Pitágoras aparece comúnmente retratado en su carácter de religioso o de legislador.

Las razones por las que eligió Crotona como centro de sus actividades son fuente de especulación. Según Diógenes, lo hizo para escapar de la tiranía de Polícrates, aunque es más probable que fuera debido al escaso éxito con que fueron acogidas sus enseñanzas en su ciudad natal, además de que se le exigía que participase de los asuntos públicos y de política. También se menciona la fama de esta ciudad en el cultivo de la medicina como posible influencia.

En Crotona fundó una escuela filosófica y religiosa que rápidamente cobró notoriedad y atrajo numerosos seguidores. Pitágoras fue la cabeza de esta sociedad dentro de un restringido círculo de adeptos conocidos como matematikoi. Según algunos relatos, se casó con Téano, de Crotona, y tuvieron una hija —Damo— y un hijo —Telauges—; otros dicen que fueron dos hijas —Damo y Myia—; otros dan noticia de que ya tenía esposa y una hija cuando llegó a Italia.

La evidencia sobre el lugar y el año de la muerte de Pitágoras es incierta. Unas fuentes indican que murió en 532 a. C., pero realmente, en 508 a. C. la sociedad pitagórica de Crotona fue violentamente atacada y Pitágoras escapó a Metaponto, lugar donde terminaría sus días (algunos autores afirman que se dejó morir de hambre). Jámblico refiere la siguiente versión de los hechos: Cilón, un ciudadano noble de Crotona, líder por nacimiento, rico y poderoso, pero también violento y tiránico, deseaba ansiosamente participar del modo de vida de los pitagóricos. Se acercó a Pitágoras, para entonces un hombre mayor, pero fue rechazado en virtud de los defectos de carácter antes mencionados. Cilón decidió tomar venganza y juró perseguir a los pitagóricos hasta el último hombre. Esta es la versión mayoritariamente aceptada por los historiadores, pero Jámblico la discute, arguyendo que el ataque de Cilón fue un asunto menor y que Pitágoras regresó a Crotona. Ciertamente, la sociedad pitagórica prosperó por muchos años después de este acontecimiento y se propagó a otras ciudades italianas.^{[nota 6]}

Su tumba fue exhibida en Metaponto en tiempos de Cicerón.

La hermandad pitagórica

Artículo principal: Pitagóricos

Pitagóricos celebrando el amanecer. Óleo de Fyodor Bronnikov.

Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotona, al sur de Italia, que tuvo numerosos seguidores. Se llamaban a sí mismos matemáticos (matematikoi), vivían en el seno de esta sociedad de forma permanente, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos. Hasta 300 seguidores llegaron a conformar este grupo selecto, que oía directamente las enseñanzas de Pitágoras y debía observar estrictas reglas de conducta. Sus máximas pueden sintetizarse así:

• en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática;
• la filosofía puede usarse para la purificación espiritual;
• el alma puede elevarse para unirse con lo divino;
• ciertos símbolos son de naturaleza mística;
• todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo.

En la Hermandad Pitagórica eran aceptados tanto hombres como mujeres. Aquellos que no pertenecían al núcleo central del grupo, eran llamados acusmáticos (akousmatikoi). Estos vivían en sus propias casas, se les permitía tener posesiones personales y no se les imponía el vegetarianismo; solo asistían como oyentes durante el día. Según Krische,^[7] las mujeres pertenecían a este grupo; no obstante, muchas pitagóricas fueron después reconocidas filósofas y matemáticas.

La escuela practicaba el secretismo y la vida comunal de manera muy estricta, y sus miembros solían atribuir todos sus descubrimientos a su fundador. De darles crédito, el alcance y la cantidad de trabajo de Pitágoras tendría una extensión inverosímil;^[7] aunado a esto, no se conserva ningún escrito de Pitágoras propiamente dicho, por lo que resulta difícil la distinción entre sus trabajos y los de sus seguidores. Las contribuciones de los pitagóricos y su enorme influencia fueron determinantes para el desarrollo de las matemáticas, la astronomía y la medicina, entre otras ciencias naturales, y es razonable dar crédito a Pitágoras por muchos de sus hallazgos.^[12]

Con respecto a las prácticas y estructura interna de la hermandad, solo algunos trazos característicos pueden ser considerados fidedignos, como la práctica del ascetismo y la metempsicosis. Todas las narraciones sugieren que sus miembros guardaban absoluto hermetismo sobre lo que allí se hacía, y era una máxima conocida el que «no todo debe revelarse a todos» (Diógenes, Aristóteles). Las especulaciones filosóficas, religiosas y políticas más profundas eran posiblemente discutidas entre los miembros más selectos, mientras que los estudios científicos ordinarios —matemáticas, música, astronomía, etc.— estaban abiertos a todos los discípulos. Tenían, al parecer, símbolos convencionales establecidos, que les permitían identificarse como miembros de la hermandad aún sin haberse visto anteriormente.^{[nota 7]} Escuelas similares se abrieron en Síbari, Metaponto, Tarento y otras ciudades de la Magna Grecia.^[7]

Se sabe que los pitagóricos se expandieron rápidamente después de 500 a. C., que la sociedad tomó tintes políticos y que más tarde se dividió en facciones. En 460 a. C. fueron atacados y suprimidos, sus casas de encuentro saqueadas y quemadas; se menciona en particular la "casa de Milo" en Crotona, donde más de 50 pitagóricos fueron sorprendidos y aniquilados. Aquellos que sobrevivieron, se refugiaron en Tebas y otras ciudades.^[12]

Cosmovisión

Modelo de los cinco sólidos platónicos. Mysterium Cosmographicum.

La filosofía de Pitágoras guarda estrecha relación con la Escuela jónica, en cuanto a que busca resolver por medio de un principio primordial el origen y la constitución del universo visto como un todo. Pero al igual que Anaximandro, abandona la hipótesis de Tales y Anaxímenes, suplantando el terreno de lo físico por el de la metafísica.^[7]

El sistema filosófico post-aristotélico suele atribuirle a Pitágoras (o los pitagóricos) la adopción del monismo, principios incorpóreos de los que surgen primero «el número», después «el plano» y las «figuras sólidas» y finalmente los «cuerpos del mundo sensible».^[13] Esta es la tradición que se encuentra por ejemplo en Sexto Empírico (siglo II d. C.) o en Aecio. Aristóteles deja en claro, sin embargo, que este era el sistema pitagórico que Platón había desarrollado, y que el principio de la «díada indefinida» pertenece a Platón.^[14]

En lo que tanto Platón como Heródoto llaman «el modo de vida de los pitagóricos», Pitágoras es visto como el formador de un grupo selecto y privado, que abraza ideas religiosas, cuestiones éticas y gérmenes de ideas científicas. Las evidencias más tempranas dejan claro que, sobre todas las cosas, Pitágoras tuvo éxito promulgando una nueva y optimista mirada sobre el destino del alma después de la muerte y un modo de vida atractiva por su rigor y disciplina que le valió numerosos seguidores.^[10] Dicearco (siglo IV a. C.) confirma enfáticamente la evidencia a favor de un pensamiento cercano a la metempsicosis o a la reencarnación, según el cual las almas humanas renacían en otros cuerpos después de la muerte, en primer lugar al señalar las dificultades de determinar con exactitud el pensamiento de Pitágoras, y después al aseverar que la más reconocida de sus doctrinas era que «el alma es inmortal y que transmigra a otros animales».^[15]

La observación de múltiples relaciones numéricas o analogías al número en los fenómenos del universo, eran la convicción de que en los números y en sus relaciones «armoniosas» los pitagóricos encontrarían los principios absolutamente certeros del conocimiento. Aristóteles enuncia la máxima fundamental de los pitagóricos de varias maneras, como por ejemplo: «los números son cosas en sí».^[14]

«Pitágoras más que nadie parece haber honrado y avanzado en el estudio de los números, arrebatándoles su uso a los mercaderes y equiparando todas las cosas a los números» afirma Jenócrates.

Para los pitagóricos, el elemento fuego era el más dignificado e importante,^{[nota 8]} era el principio vivificador del universo. Ocupaba la posición más honorable del universo —el extremo—. Alrededor de este fuego central llevaban a cabo su danza circular los cuerpos celestes, la esfera de las estrellas fijas y (en orden) el Sol, la Luna, la Tierra y la Antitierra —el «complemento» de la Tierra—.^{[nota 9]}

La idea pitagórica del 'cosmos' fue desarrollada en una dirección más científica y matemática por sus sucesores en la tradición pitagórica: Filolao y Arquitas.

Astronomía

Artículo principal: Sistema astronómico pitagórico

Pitágoras enseñaba que la Tierra estaba situada en el centro del universo, y que la órbita de la Luna estaba inclinada hacia el ecuador de la Tierra; fue de los primeros en revelar que el «Lucero del alba» era el mismo planeta que el «Lucero de la tarde», Venus.^[16] Sin embargo, según Teofrasto, fue Parménides quien descubrió la esfericidad de la Tierra^[13] así como la identidad del Lucero del alba;^[13] la autoría de Pitágoras parece provenir de un poema dedicado a él, así como de la tradición que sitúa a Parménides como alumno de Pitágoras.

Filolao afirmaba que la Tierra se movía, pero no sobre su propio eje, sino alrededor del «fuego central», concepto que no equivalía al Sol, sino que para él era una fuerza situada en el centro del mundo. El descubrimiento de la rotación de la Tierra alrededor de su eje se atribuye al pitagórico Hicetas de Siracusa,^[17] idea que también enseñaban Ecfanto de Siracusa y Heráclides Póntico.^[18] La teoría de un movimiento combinado de la Tierra alrededor de su propio eje y también alrededor del Sol, en cambio, no fue obra de los pitagóricos sino que fue enunciada por primera vez por Aristarco de Samos, astrónomo aristotélico.

Aristóteles fue el primero en criticar la noción pitagórica de las armonía de las esferas celestes. Los pitagóricos creían que el movimiento de los planetas debe producir un sonido, pero explican que no es perceptible a causa de que ese sonido llega a nuestros oídos desde el momento mismo de nuestro nacimiento. Él consideró esa idea como ingeniosa y muy poética, pero imposible.^[19]

Música

Monocordio. Instrumento usado por Pitágoras para investigar la equivalencia entre números, pesos y sonidos.

Se le adjudica a Pitágoras el descubrimiento de las leyes de los intervalos musicales regulares, es decir, las relaciones aritméticas de la escala musical.^[20] Diógenes Laercio le atribuye la invención del monocordio, un instrumento musical de una sola cuerda. Ilustra la ley según la cual «la altura del sonido es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda». Los principios de la música fueron sin duda tan importantes para el sistema pitagórico como los principios matemáticos mismos, o las nociones sobre «números». La expresión de la Naturaleza en términos matemáticos —como las proporciones y las razones— es una idea clave dentro de la filosofía desarrollada por los pitagóricos. «Estos filósofos notaron que todos los modos de la armonía musical y las relaciones que la componen se resuelven con números proporcionales».^[14]

La afinación pitagórica es una gama musical construida sobre intervalos de quintas perfectas de razón 3/2. Las frecuencias pitagóricas de la nota «do» son las siguientes: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048.^[21]

Para los pitagóricos la música poseía además un valor ético y medicinal, «[Pitágoras] hacía comenzar la educación por la música, por medio de ciertas melodías y ritmos, gracias a los cuales sanaba los rasgos de carácter y las pasiones de los hombres, atraía la armonía entre las facultades del alma».^[22] La idea del orden y de que las relaciones de armonía regulan incluso todo el universo, se encuentran presentes en todo el sistema pitagórico. La armonía del cuerpo y la armonía del cosmos eran vistas por igual, dentro de un sistema unificador. Platón dirá que música y astronomía son «ciencias hermanas» (cf. «la música planetaria» o «armonía de las esferas).^[23]

Pitágoras habría establecido que las distancias entre las órbitas del Sol, de la Luna y de las estrellas fijas corresponden a las proporciones octava, quinta y cuarta,^[24] de «la voz de los siete planetas de la esfera de las [estrellas] fijas» y de «la esfera encima de nosotros que llamamos Anti-Tierra», hacía las nueve Musas.^[25][26] Los intervalos (espaciales) entre los cuerpos celestes se disponían de acuerdo con las leyes y relaciones de la «armonía musical».^[27] Los cuerpos celestes en su movimiento no podían no ocasionar un cierto sonido o incluso notas, dependiendo de sus distancias y velocidades, determinadas por las leyes de los intervalos armónicos (musicales), las notas en conjunto formaban una escala musical regular o armoniosa; «esta música no la podemos oír, ya sea porque siempre hemos estado acostumbrados a ella y no la podemos distinguir, o porque el sonido es tan potente que escapa a nuestras capacidades auditivas» (Aristóteles, Porfirio). «Pitágoras tendía su oído y fijaba su intelecto sobre los acordes celestes del universo. Él solo, por lo que parece, escuchaba y comprendía la armonía y el unísono universales de las esferas [planetarias] y de los astros».^[28]

Matemáticas

Tetraktys.

La «ciencia matemática» practicada por Pitágoras y los mathematikoi^[29] difiere del tratamiento de esta ciencia que se lleva a cabo en universidades o instituciones modernas. Los pitagóricos no estaban interesados en «formular o resolver problemas matemáticos», ni existían para ellos «problemas abiertos» en el sentido tradicional del término. El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la matemática, «el concepto de número», «el concepto de triángulo» (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de «prueba». Como señala Brumbaugh,^[30] Es difícil para nosotros hoy en día, acostumbrados como estamos a la abstracción pura de las matemáticas y el acto mental de la generalización, el apreciar la originalidad de la contribución pitagórica.

Pitágoras reconocía en los números propiedades tales como «personalidad», «masculinos y femeninos», «perfectos o imperfectos», «bellos y feos».^[30] El número diez era especialmente valorado, por ser la suma de los primeros cuatro enteros [1 + 2 + 3 + 4 = 10], los cuales se pueden disponer en forma de triángulo perfecto: la «tetraktys», un triángulo formado por puntos (o cualquier objeto) que es equilátero, es decir, los tres lados tienen la misma longitud, que es el número de puntos: en este caso, cuatro.. Para los pitagóricos, «las cosas son números»,^[14] y observaban esta relación en el cosmos, la astronomía o la música.

Entre los descubrimientos matemáticos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras se encuentran:

Teorema de Pitágoras.

• El teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo: «la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa». Si bien este resultado y las ternas pitagóricas eran conceptos ya conocidos y utilizados por los matemáticos babilonios y de la India desde mucho tiempo, fueron los pitagóricos los primeros que enunciaron una demostración formal del teorema; esta demostración es la que se encuentra en Los elementos de Euclides. También demostraron el inverso del teorema: si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es rectángulo.^[31] Debe hacerse hincapié además, en que «el cuadrado de un número» no era interpretado como «un número multiplicado por sí mismo», como se concibe actualmente, sino en términos de los lados de un «cuadrado geométrico».^[16]

Dodecaedro.

• Sólidos perfectos. Los pitagóricos demostraron que solo existen 5 poliedros regulares.^[31] Se cree que Pitágoras sabía cómo construir los tres (o cuatro) primeros,^[16] pero fue Hipaso de Metaponto (470 a. C.) quien descubrió el dodecaedro.^{[nota 10]} Se debe a Teeteto la demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.
• Ángulos interiores de un triángulo. Encontraron que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, así como la generalización de este resultado a polígonos de n - lados.^[16]
• Un triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. Proposición de origen pitagórico (según Diógenes).
• Construcción de figuras dada un área determinada. Por ejemplo la resolución de ecuaciones como a•(a-x)=x² por métodos geométricos.^[16]
• La irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros.^[31] Este evento marca el descubrimiento de los números irracionales,^[16] si bien en la época, solo podía entenderse en términos de inconmensurabilidad de magnitudes [números] «enteras», o «proporciones geométricas».^{[nota 11]} Un método de aproximación (aproximación diofántica) posiblemente desarrollado por Arquitas, utiliza el algoritmo de Euclides, y está presente en Los Elementos.^[32]
• El descubrimiento de los Números perfectos y los Números amigos.^{[nota 12]} Jámblico atribuye a Pitágoras el haber descubierto el par de números amigos (220, 284).^[31]
• Medias. Los pitagóricos examinaron exhaustivamente las razones y proporciones entre los números enteros; la media aritmética, la media geométrica y la media armónica y las relaciones entre ellas.^[31]

Véase también: Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

• El descubrimiento de los Números poligonales. Un número es «poligonal» (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de puntos se pueden acomodar formando el polígono correspondiente (ver figura).
• Tetraktys. Se atribuye a Pitágoras el haber ideado la «tetraktys», la figura triangular compuesta por diez puntos ordenados en cuatro filas. Fue un símbolo de especial importancia para los pitagóricos, que solían juramentar en su nombre.

EPÓNIMO :

En las matemáticas, el teorema de Pitágoras es una relación en geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Afirma que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos (los otros dos lados que no son la hipotenusa). Este teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados 'a', 'b' y 'c'. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.^[1] El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo recto, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, y la medida de la hipotenusa es ${\displaystyle c}$, entonces se cumple la siguiente relación:

(1)${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$

De esta ecuación se deducen tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

${\displaystyle a=\sqrt{c^2-b^2}}$

${\displaystyle b=\sqrt{c^2-a^2}}$

${\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}}$

El teorema de Pitágoras se ha demostrado en numerosas ocasiones por muchos métodos diferentes, posiblemente el mayor número de teoremas matemáticos. Las pruebas son diversas, e incluyen tanto pruebas geométricas como algebraicas, y algunas se remontan a miles de años atrás.

El teorema se puede generalizar de varias maneras: a espacios de mayor dimensión, a espacios que no son euclidianos, a objetos que no son triángulos rectos y a objetos que no son triángulos en absoluto, sino sólidos n. El teorema de Pitágoras ha despertado interés fuera de las matemáticas como símbolo de abstracción matemática, mística o poder intelectual; abundan las referencias populares en la literatura, obras de teatro, musicales, canciones, sellos y dibujos animados.

Historia

El teorema de Pitágoras fue comprobado en el siglo VI a. C. por el filósofo y matemático griego Pitágoras, pero se estima que pudo haber sido previo a su existencia, o demostrado bajo otra denominación.

Respecto de los babilonios hay esta nota:

Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitágoras" y de sus consecuencias numéricas.

^[2]

Existe un debate sobre si el teorema de Pitágoras se descubrió una vez, o muchas veces en muchos lugares, y la fecha del primer descubrimiento es incierta, al igual que la fecha de la primera demostración. Los historiadores de las matemáticas mesopotámicas han llegado a la conclusión de que la regla pitagórica tuvo un uso generalizado durante el período babilónico antiguo (siglo XX al siglo VI a. C.), más de mil años antes del nacimiento de Pitágoras.^[3][4][5][6]

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.^[7] La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Designaciones convencionales

Triángulos — Resumen de convenciones de designación

Vértices	${\displaystyle \text{A}}$	${\displaystyle \text{B}}$	${\displaystyle \text{C}}$
Lados (como segmento)	${\displaystyle \text{BC}}$	${\displaystyle \text{AC}}$	${\displaystyle \text{AB}}$
Lados (como longitud)	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
Ángulos	${\displaystyle \hat{\alpha }=\hat{a}=\hat{A}=\widehat{BAC}}$	${\displaystyle \hat{\beta }=\hat{b}=\hat{B}=\widehat{ABC}}$	${\displaystyle \hat{\gamma }=\hat{c}=\hat{C}=\widehat{ACB}}$

Demostraciones

El teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".^{[cita requerida]}

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Por ejemplo, el matemático estadounidense E. S. Loomis catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.^{[cita requerida]}

Demostración gráfica del teorema de Pitágoras- Taller escolar.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; las geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; las dinámicas, a través de las propiedades de fuerza, masa, y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.^{[cita requerida]}

China: El Zhoubi Suanjing y el Jiuzhang Suanshu

Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.

Prueba animada del teorema de Pitágoras.

El Zhoubi Suanjing es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que se escribió entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Jiuzhang Suanshu, parece que es posterior; está fechado en torno al año 250 a. C.

El Zhou Bi demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

${\displaystyle (a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2}$

Ya que ${\displaystyle (b-a{)}^2=(a-b{)}^2}$.

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

${\displaystyle c^2=4\cdot \left(\frac{a\cdot b}{2}\right)+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2}$

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.^[8]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia, dichos triángulos son semejantes.

• De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

${\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{b}}$

${\displaystyle b^2=b^{\prime }c}$

• De la semejanza entre ABC y BHC:

${\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}=\frac{c}{a}}$

${\displaystyle a^2=a^{\prime }c}$

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto.

Sumando:

${\displaystyle a^2+b^2=a^{\prime }c+b^{\prime }c=c\left(a^{\prime }+b^{\prime }\right)}$

Pero ${\displaystyle \left(a^{\prime }+b^{\prime }\right)=c}$, por lo que finalmente resulta:

${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema.

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

${\displaystyle \frac{r}{u}=\frac{s}{v}=r}$

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

${\displaystyle S_{PQR}=\frac{1}{2}\left(rs\right)}$

${\displaystyle S_{PST}=\frac{1}{2}\left(uv\right)}$

obtenemos después de simplificar que:

${\displaystyle \frac{S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac{rs}{uv}=\frac{r}{u}\cdot \frac{s}{v}}$

pero siendo ${\displaystyle \frac{r}{u}=\frac{s}{v}=r}$ la razón de semejanza, está claro que:

${\displaystyle \frac{S_{PQR}}{S_{PST}}={\left(\frac{r}{u}\right)}^2={\left(\frac{s}{v}\right)}^2}$

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

${\displaystyle \frac{S_{ACH}}{S_{BCH}}={\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da:

${\displaystyle \frac{S_{ACH}}{b^2}=\frac{S_{BCH}}{a^2}=\frac{S_{ACH}+S_{BCH}}{b^2+a^2}}$ (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

${\displaystyle \frac{S_{ACH}}{S_{ABC}}={\left(\frac{b}{c}\right)}^2}$

${\displaystyle \frac{S_{ACH}}{b^2}=\frac{S_{ABC}}{c^2}}$

pero según (I) ${\displaystyle \frac{S_{ACH}}{b^2}=\frac{S_{ACH}+S_{BCH}}{b^2+a^2}}$, así que:

${\displaystyle \frac{S_{ACH}+S_{BCH}}{b^2+a^2}=\frac{S_{ABC}}{c^2}}$

y por lo tanto:

${\displaystyle b^2+a^2=c^2}$

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

• Uno de ellos –centro– está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
• El otro cuadrado –derecha– lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (${\displaystyle c^2}$) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (${\displaystyle b^2+a^2}$), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

Figura Euclides 1: La proposición I.41^[9] de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.

Figura Euclides 2: La proposición I.36^[10] de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.

Figura Euclides 3: La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.41^[9] de Los Elementos.

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.^[11] De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.47^[12] de Los Elementos:

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Euclides (proposición I.47)

Basándose en la proposición I.41^[9] de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).

Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:

• Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo los lados AD y AC iguales y perpendiculares; y siendo AB y AK también iguales y formando igual ángulo que AD y AC, necesariamente el ángulo DAB es igual al ángulo CAK, por lo que BD=KC. Sus tres lados son iguales.
• Triángulos ABG y CBI: análogamente, BA=BI, y BG=BC, así que AG=IC. Sus tres lados son asimismo iguales.

Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ABD en ACK. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.

Véase (en la Figura Euclides 3) que:

1. Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto, de acuerdo con la proposición I.41^[9] de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK, (véase Figura Euclides 1).
2. Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciéndose razonamientos similares con los triángulos ABg y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que estos últimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: «la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa».

Demostración de Pappus

La proposición I.36^[10] de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.

La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.

Unos 625 años después que Euclides, Pappus^[13] parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposición I.36^[10] de Los Elementos de Euclides:

Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.

Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.

Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquel dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:

• Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
• El lado CI es igual al lado CB

En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.

1. Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
2. Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n– resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.

De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.

Análogamente:

1. CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
2. CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.

De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.

El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Bhaskara

Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.

Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, dio la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).

Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.

Se ha demostrado gráficamente que ${\displaystyle c^2=a^2+b^2}$

Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:

${\displaystyle c^2=4\cdot \frac{ab}{2}+(a-b{)}^2}$

expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado ${\displaystyle c^2=a^2+b^2}$, y el teorema queda demostrado.

Demostración de Leonardo Da Vinci

El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.

Leonardo da Vinci también encontró una demostración para este teorema.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

1. Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
2. Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

• De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
• Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
  • A de ADGB y A de CIJA
  • B de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales– las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Garfield

El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo presidente de los Estados Unidos,^[14] desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:

(g.1)${\displaystyle S_{\text{trapecio}}=\frac{a+b}{2}\cdot (a+b)}$

como corresponde a la superficie del trapecio, pero asimismo tenemos una figura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:

(g.2)${\displaystyle S=2\cdot \frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}}$

igualando la ecuación (g.2) con la (g.1) obtenemos:

${\displaystyle (ab)+\frac{c^2}{2}=\frac{1}{2}(a+b)\cdot (a+b)}$

multiplicando ambos lados por ${\displaystyle 2}$ y simplificando...

${\displaystyle 2ab+c^2=(a+b{)}^2}$

expandiendo el miembro derecho...

${\displaystyle 2ab+c^2=a^2+2ab+b^2}$

restando ${\displaystyle 2ab}$ a ambos miembros, finalmente nos da:

${\displaystyle c^2=a^2+b^2}$

y el teorema está demostrado.

Prueba mediante un geoplano

Es posible, más que una demostración de carácter genérico, la comprobación de la justeza de la proposición mediante un geoplano, únicamente para casos especiales y concretos, previamente conocidos.^[15]

Proposición recíproca del teorema de Pitágoras

Si en un triángulo ABC, siendo el lado mayor a se cumple que ${\displaystyle a^2=b^2+c^2}$ entonces el triángulo es rectángulo.^[16]

Usos del teorema en la matemática

Triples pitagóricos

Artículo principal: Terna pitagórica

Un triple pitagórico tiene tres enteros positivos a, b y c, tales que a² + b² = c².. En otras palabras, un triple pitagórico representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo en el que los tres lados tienen longitudes enteras.^[1] Este triple se suele escribir (a, b, c). Algunos ejemplos conocidos son (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

Un triple pitagórico primitivo es aquel en el que a, b y c son coprimos, es decir, que el máximo común divisor de a, b y c es 1.

La siguiente es una lista de triples pitagóricos primitivos con valores inferiores a 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Teorema de Pitágoras recíproco

Dado un triángulo rectángulo con lados ${\displaystyle a,b,c}$ y altitud ${\displaystyle d}$ (una recta del ángulo recto y perpendicular a la hipotenusa ${\displaystyle c}$). El teorema de Pitágoras tiene,

${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$

mientras que el teorema pitagórico recíproco ^[17] o el teorema de Pitágoras al revés ^[18] relaciona las dos catetos ${\displaystyle a,b}$ con la altitud ${\displaystyle d}$,^[19]

${\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{d^2}}$

La ecuación se puede transformar en, ${\displaystyle \frac{1}{(xz{)}^2}+\frac{1}{(yz{)}^2}=\frac{1}{(xy{)}^2}}$ donde ${\displaystyle x^2+y^2=z^2}$ para cualquier real no nulo ${\displaystyle x,y,z}$. Si los ${\displaystyle a,b,d}$ han de ser enteros, la solución más pequeña es entonces ${\displaystyle \frac{1}{{20}^2}+\frac{1}{{15}^2}=\frac{1}{{12}^2}}$ utilizando el triple pitagórico más pequeño ${\displaystyle 3,4,5}$. El teorema de Pitágoras recíproco es un caso especial de la ecuación óptica

${\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}}$

donde los denominadores son cuadrados y también para un triángulo heptagonal cuyos lados ${\displaystyle p,q,r}$ son números cuadrados.

Los Pitagóricos

Una de las más conocidas herencias del pitagorismo, a las matemáticas, lo constituye el teorema de la hipotenusa, más conocido como el Teorema de Pitágoras. No está claramente establecido si éste fue obra del Maestro o de sus discípulos, ya que los pitagóricos fueron grandes matemáticos que acostumbraban a atribuir a Pitágoras todos sus descubrimientos.^[20]

Otros ejemplos de uso

• Para calcular la longitud e de una escalera; se conoce la altura h del muro a alcanzar; la distancia p desde la línea suelo muro al pie de la escalera. Se cumple la ecuación ${\displaystyle e^2=h^2+p^2}$; se despeja el valor de e, mediante ${\displaystyle e=\sqrt{h^2+p^2}.}$^[21]

• En la geometría analítica plana, para hallar la distancia entre los puntos ${\displaystyle C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)}$ con la igualdad ${\displaystyle C{D}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2.}$^[22]

• En trigonometría para demostrar la identidad fundamental ${\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}$entre el seno y coseno.^[23]
• En la geometría para calcular la altura de un triángulo equilátero en función del lado; para obtener la altura del tetraedro regular usando la arista. Para hallar el apotema de un triángulo equilátero y de un hexágono regular inscritos, conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.^[24]

• En teoría algebraica de números para analizar si un entero gaussiano es primo gaussiano. Por ejemplo ${\displaystyle \alpha =1+4i}$, cuya norma es ${\displaystyle N(\alpha )=1^2+4^2=17.}$^[

• ^[