Física - Magnitudes físicas

aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa ${\displaystyle \alpha }$. Al igual que la velocidad tangencial , la aceleración angular tiene carácter vectorial.

Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s^-2, ya que el radián es adimensional.

Definición matemática[editar]

Aceleración angular. En el caso general, cuando el eje de rotación no manteniene una dirección constante en el espacio, la aceleración angular no tiene la dirección del eje de rotación.

Definimos el vector aceleración angular, y lo representamos por ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,}$, de modo que

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}}$

siendo ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del eje de rotación. Si denominamos por ${\displaystyle \mathbf {e} \,}$ el vector unitario asociado a dicho eje, de modo que sea ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {e} \,}$, podemos escribir

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\omega \mathbf {e} \right)={\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {e} \ +\ \omega {\frac {d\mathbf {e} }{dt}}}$

resultando que, en general, el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,}$ no está localizado sobre el eje de rotación.

En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimiento plano), entonces será ${\displaystyle {d\mathbf {e} }/{dt}=0}$ y el vector aceleración angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es,

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {e} =\alpha \,\,\mathbf {e} }$

de modo que el módulo de la aceleración angular, ${\displaystyle |{\boldsymbol {\alpha }}|=\alpha }$, es la derivada de la celeridad angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su dirección es la de ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, o ${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$ si disminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será ${\displaystyle {d\mathbf {e} }/{dt}\neq 0}$, aunque ${\displaystyle |\mathbf {e} |=1}$, ya que el vector unitario del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que ${\displaystyle \mathbf {e} }$ es un versor, su derivada será un vector perpendicular a ${\displaystyle \mathbf {e} }$, esto es, al eje instantáneo de rotación.

Así pues, en el caso más general, la aceleración angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ se expresará en la forma

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {e} \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}}$

siendo ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definido por ${\displaystyle \,\mathbf {e} }$) en el espacio.

En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes: una componente longitudinal ( i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es ${\displaystyle {d\omega }/{dt}\,}$ y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\,}$.

Así pues, en general,

• el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ no tendrá la misma dirección que el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$.
• el vector aceleración angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ no tendrá la dirección del eje de rotación.

La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio, esto es, en el movimiento plano.

Movimiento plano[editar]

En el movimiento plano del sólido rígido, la aceleración angular, al igual que la velocidad angular, tiene la dirección del eje de rotación y viene dada por:

${\displaystyle \alpha ={d^{2}\theta \over dt^{2}}={d\omega \over dt}}$

donde ${\displaystyle \theta \,}$ representa el ángulo girado en función de ${\displaystyle t}$ y ${\displaystyle \omega }$ la velocidad angular.

${\displaystyle \omega ={d\theta \over dt}}$

En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleración angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento.

La aceleración angular (α) es la variación que experimenta la velocidad angular (ω) respecto al tiempo. La aceleración angular en el instante (t₀) es:

La aceleración angular se expresa en radianes/segundo² (rad/s²).

Aceleración angular en el movimiento circular uniforme (MCU)

En el movimiento circular uniforme (MCU) la aceleración angular es cero, ya que la velocidad angular es constante.

Aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

ANUNCIOS

La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se representa como el incremento de velocidad angular ω desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

Magnitudes lineales y angulares

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

Derivando s=rq  respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial

Aceleración tangencial

Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial a_t y la aceleración angular.

Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.

Aceleración normal

El cálculo de la componente normal de la aceleración es algo más complicado. La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangencial ya que le módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su dirección y por tanto, tiene aceleración normal.

Supongamos un móvil que describe un movimiento circular uniforme.

• En el instante t la velocidad del móvil es v, cuyo módulo es v, y cuya dirección es tangente a la circunferencia.
• En el instante t' la velocidad del móvil v', que tiene el mismo módulo v, pero su dirección ha cambiado.

Calculemos el cambio de velocidad Dv=v’-v que experimenta el móvil entre los instantes t y t', tal como se ve en la figura. El vector Dv tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo y de color azul de la figura son isósceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relación

Donde la cuerda Δs es el módulo del vector desplazamiento entre los instantes t y t'

Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo Dt=t'-t

Cuando el intervalo de tiempo Dt tiende a cero, la cuerda Ds se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el módulo de la velocidad v del móvil,

La aceleración normal a_n tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes:

Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración normal que se basa en la identificación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunferencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí. Una deducción alternativa se proporciona en la página titulada "Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal"

Resumiendo

La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe.Un móvil tiene aceleración tangencial at siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial. Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, an ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe. La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.

Ejemplo

Una rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω₀=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene en 4s. Calcular

• La aceleración angular

ω=ω₀+αt

En el instante t=4 s la velocidad angular ω=0

α=-π rad/s²

El ángulo girado hasta este instante es

• En el instante t=1 s, la posición y la velocidad angular del móvil es

θ=7π/2=2π+3π/2 rad

ω=4π+(-π)·1=3π rad/s

La velocidad lineal

v=ω·r     v=0.3π m/s

La componente tangencial de la aceleración es at=α·r      at=-0.1π m/s2 La componente normal de la aceleración es an=v2/r    an=0.9π2 m/s2

Movimiento de una bicicleta

Una bicicleta de montaña dispone de tres platos y siete piñones de distinto radio lo que proporciona 21 cambios de marcha al ciclista.

Supondremos que el ciclista hace girar al plato con velocidad angular constante w₁. ¿Cuál es la velocidad v que adquiere el ciclista sobre la bicicleta?.

Supondremos que conocemos los datos relativos a la bicicleta:

• Radio del plato seleccionado, r₁
• Radio del piñón seleccionado, r₂
• Radio de la rueda trasera, r_a
• Radio de la rueda delantera, r_b

Aunque en la mayor parte de las bicicletas los radios de ambas ruedas son iguales, en algunas como las de competición contra-reloj son diferentes como en la simulación más abajo.

La figura representa un plato y un piñón unidos por una cadena. No es necesario saber Cinemática para establecer una relación entre sus respectivas velocidades angulares, y concluir que las velocidades angulares son inversamente proporcionales a sus radios respectivos.

La velocidad de la cadena v_c es la misma que la velocidad de un diente del plato

v_c=w₁·r₁

La velocidad de la cadena v_c es la misma que la velocidad de un diente del piñón

v_c=w₂·r₂

Tenemos de este modo, la relación entre las velocidades angulares w₁ y w₂

w₂·r₂=w₁·r₁

En el tiempo t un eslabón de la cadena se mueve de A a B. Un diente del plato gira un ángulo q₁ y uno del piñón gira un ángulo q₂. Tendremos entonces la siguiente relación

q₂·r₂= q₁·r₁

Ahora nos fijaremos en la rueda trasera. Si suponemos que el piñón es fijo, la velocidad angular del piñón w₂ es la misma que la velocidad angular de la rueda trasera.

De modo que, la velocidad v_a de un punto de la periferia de dicha rueda es

v_a= w₂·r_a

Esta es la velocidad v con que se mueve el ciclista sobre la bicicleta.

En el capítulo sólido rígido estudiaremos con más detalle la relación entre la velocidad de traslación y la velocidad de rotación de un sólido que rueda sin deslizar.

El ángulo girado por dicha rueda en el tiempo t será

q _a== w₂·t

El eje de la rueda delantera está unido al eje de la rueda trasera mediante la estructura rígida de tubos de la bicicleta. La velocidad de traslación de la rueda delantera es la misma que la de la rueda trasera. La velocidad angular de la rueda delantera será

v= w _b·r_b

El ángulo girado por dicha rueda en el tiempo t

q _b= w _b·t

Ejemplo:

Los datos siguientes están fijados en el programa interactivo

• El radio de la rueda trasera, r_a=30 cm
• El radio de la rueda delantera, r_b=20 cm
• Velocidad angular del plato, w₁=1.0 rad/s

Los radios del piñón y del plato se pueden cambiar

• Radio del plato seleccionado, r₁=7.0 cm
• Radio del piñón seleccionado, r₂=3.5 cm

Velocidades

Velocidad angular del piñón:  3.5·w₂=1.0·7.0       w ₂=2 rad/s

Esta es también la velocidad angular de la rueda trasera.

Velocidad del ciclista sobre la bicicleta:  v=2·30=60 cm/s=0.6 m/s

Velocidad angular de la rueda delantera:   60= w _b·20      w _b=3 rad/s

Desplazamientos

En el tiempo de t=1.0 s

La bicicleta se desplaza: x=v·t=60·1.0=60 cm=0.6 m

El ángulo girado por el plato:  q ₁= w₁·t=1.0·1.0=1.0 rad.

El ángulo girado por la rueda trasera:  q _a= w₂·t=2.0·1.0=2.0 rad.

El ángulo girado por la rueda delantera:  q _b= w _b·t=3·1.0=3 rad

Para trabajar con el programa interactivo

• Seleccionar el radio del plato, en el control selección Radio plato
• Seleccionar el radio del piñón, en el control selección Radio piñón

Los datos siguientes están fijados en el programa interactivo

• El radio de la rueda trasera, r_a=30 cm
• El radio de la rueda delantera, r_b=20 cm
• Velocidad angular del plato, w₁=1.0 rad/s