Física - Magnitudes físicas

radio clásico del electrón, también conocido como radio de Lorentz o longitud de difusión Thomson, se basa en un modelo relativista clásico del electrón (es decir, no cuántico). Su valor se calcula como

${\displaystyle r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{e}c^{2}}}=2.8179402894(58)\times 10^{-15}\mathrm {m} }$

donde ${\displaystyle e}$ y ${\displaystyle m_{e}}$ son la carga eléctrica y la masa del electrón, ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz, y ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ es la permitividad del vacío o espacio libre.

En unidades CGS, esto se simplifica

${\displaystyle r_{\mathrm {e} }={\frac {e^{2}}{m_{e}c^{2}}}=2.8179402894(58)\times 10^{-13}\mathrm {cm} }$

y expresándolo con (hasta tres cifras significativas)

${\displaystyle e=4.80\times 10^{-10}\mathrm {esu} }$

${\displaystyle m=9.11\times 10^{-28}\mathrm {g} }$

${\displaystyle c=3.00\times 10^{10}\mathrm {cm/sec} }$

Deducción[editar]

Aplicando la electrostática clásica, la energía necesaria para cargar una esfera de densidad de carga constante, de radio ${\displaystyle r_{e}}$ y de carga ${\displaystyle e}$ es:

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}\;{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\;{\frac {e^{2}}{r_{\mathrm {e} }}}}$

Si la carga está en la superficie, la energía es

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\;{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\;{\frac {e^{2}}{r_{\mathrm {e} }}}}$

Haciendo caso omiso de los factores de 3/5 o 1/2, si esto se iguala a la energía relativista del electrón (${\displaystyle E=mc^{2}}$) y se resuelve para ${\displaystyle r_{e}}$), se obtiene el anterior resultado.

En términos simples, el radio clásico del electrón es aproximadamente el tamaño que necesitaría tener el electrón para que su masa fuese debida por completo a su energía potencial electrostática - sin tener en cuenta la mecánica cuántica. Ahora sabemos que la mecánica cuántica, por ejemplo la teoría cuántica de campos, es necesaria para entender el comportamiento de los electrones en escalas de tan corta distancia, por lo tanto el radio clásico del electrón ya no se considera como el tamaño real de un electrón. Sin embargo, el radio clásico del electrón se utiliza como límite en las modernas teorías clásicas sobre el electrón, tales como la dispersión de Thomson no-relativista y la fórmula de Klein-Nishina relativista. Además, el radio clásico del electrón es más o menos la longitud de escala a la que la renormalización se hace importante en electrodinámica cuántica. Marca una cota inferior de validez de la electrodinámica clásica.¹​

El radio clásico del electrón es una de las tres constantes físicas relacionadas con la longitud, siendo las otras dos el radio de Bohr ${\displaystyle a_{0}}$ y la longitud de onda Compton del electrón ${\displaystyle \lambda _{e}}$. El radio clásico del electrón se deduce a partir de la masa del electrón ${\displaystyle m_{e}}$, la velocidad de la luz ${\displaystyle c}$ y la carga del electrón ${\displaystyle e}$. El radio de Bohr se deduce a partir de ${\displaystyle m_{e}}$, ${\displaystyle e}$ y la constante de Planck ${\displaystyle h}$. La longitud de onda Compton se deduce a partir de ${\displaystyle m_{e}}$, ${\displaystyle h}$ y ${\displaystyle c}$. Cualquiera de estas tres longitudes se puede escribir en términos de cualquier otra usando la constante de estructura fina ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle r_{e}={\cfrac {\alpha \lambda _{e}}{2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}}$

Extrapolación[editar]

Extrapolando a partir de la ecuación inicial, a cualquier masa ${\displaystyle m_{0}}$ se le puede asociar un radio electromagnéticasemejante al radio clásico del electrón.

${\displaystyle r={\frac {k_{C}\;e^{2}}{m_{0}\;c^{2}}}={\frac {\alpha \;\hbar }{m_{0}\;c}}}$

donde ${\displaystyle k_{C}}$ es la constante de la ley de Coulomb, ${\displaystyle \alpha }$ es la constante de estructura fina y ${\displaystyle \hbar }$ es la constante de Planck.

Radio de Bohr

En el modelo atómico de Bohr de la estructura del átomo, desarrollado por Niels Bohr en 1913, los electronesgiran alrededor de un núcleo central. En este modelo los electrones orbitan sólo a determinadas distancias del núcleo, dependiendo de su energía. En el átomo más simple, el hidrógeno, solamente orbita un electrón, siendo la órbita de menor radio o radio de Bohr, la correspondiente a la situación de menor energía.

De acuerdo con los datos de 2006 CODATA, el radio de Bohr del hidrógeno vale 5.291 772 0859(36)×10⁻¹¹ m (es decir, aproximadamente 52.9 pm o 0.529 angstroms).¹​²​ Este valor se puede obtener de la relación entre otras constantes físicas (que se obtiene cuando n = 1 en la cuarta hipótesis de los postulados de Bohr) y representa la unidad atómica de longitud:

${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}={\frac {\hbar }{m_{\mathrm {e} }\,c\,\alpha }}}$

donde:

${\displaystyle \varepsilon _{0}\ }$ es la permitividad del vacío

${\displaystyle \hbar \ }$ es la constante de Planck reducida

${\displaystyle m_{e}\ }$ es la masa del electrón en reposo

${\displaystyle e\ }$ es la carga elemental

${\displaystyle c\ }$ es la velocidad de la luz en el vacío

${\displaystyle \alpha \ }$ es la constante de estructura fina

Un átomo tiene una dimensión del orden de 10^-9 m. Está compuesto por un núcleo relativamente pesado (cuyas dimensiones son del orden de 10^-14 m) alrededor del cual se mueven los electrones, cada uno de carga –e (1.6 10^-19 C), y de masa m_e (9.1·10^-31 kg).

El núcleo está compuesto por protones y neutrones. El número Z de protones coincide con el número de electrones en un átomo neutro. La masa de un protón o de un neutrón es aproximadamente 1850 veces la de un electrón. En consecuencia, la masa de un átomo es prácticamente igual a la del núcleo.

Sin embargo, los electrones de un átomo son los responsables de la mayoría de las propiedades atómicas que se reflejan en las propiedades macroscópicas de la materia.

El movimiento de los electrones alrededor del núcleo se explica, considerando solamente las interacciones entre el núcleo y los electrones (la interacción gravitatoria es completamente despreciable).

Consideremos dos electrones separados una distancia d, y comparemos la fuerza de repulsión eléctrica con fuerza de atracción entre sus masas.

La intensidad de la interacción gravitatoria es despreciable frente a la interacción electromagnética.

Modelo atómico de Bohr

El modelo de Bohr es muy simple y recuerda al modelo planetario de Copérnico, los planetas describiendo órbitas circulares alrededor del Sol. El electrón de un átomo o ión hidrogenoide describe también órbitas circulares, pero los radios de estas órbitas no pueden tener cualquier valor.

Consideremos un átomo o ión con un solo electrón. El núcleo de carga Ze es suficientemente pesado para considerarlo inmóvil,

Si el electrón describe una órbita circular de radio r, por la dinámica del movimiento circular uniforme

En el modelo de Bohr, solamente están permitidas aquellas órbitas cuyo momento angular está cuantizado.

n es un número entero que se denomina número cuántico, y h es la constante de Planck 6.6256·10^-34 Js

Los radios de las órbitas permitidas son

donde a₀ se denomina radio de Bohr. a₀ es el radio de la órbita del electrón del átomo de Hidrógeno Z=1 en su estado fundamental n=1.

La energía total es

En una órbita circular, la energía total E es la mitad de la energía potencial

La energía del electrón aumenta con el número cuántico n.

La primera energía de excitación es la que lleva a un átomo de su estado fundamental a su primer (o más bajo) estado excitado. La energía del estado fundamental se obtiene con n=1, E₁= -13.6 eV y la del primer estado excitado con n=2, E₂=-3.4 eV. Las energías se suelen expresar en electrón-voltios (1eV=1.6 10^-19 J)

La frecuencia f de la radiación emitida cuando el electrón pasa del estado excitado E₂ al fundamental E₁ es