Física - Magnitudes físicas

física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física. Los campos escalares se usan en física, por ejemplo, para indicar la distribución de la temperatura o la presión de un gas en el espacio.

Como expresión matemática, un campo escalar es una función de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. Esto quiere decir que asocia cada punto de un espacio vectorial con un número o escalar ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$. Esta función también es conocida como función de punto o función escalar.

Campos escalares en física[editar]

En mecánica de fluidos la presión puede ser tratada como un campo escalar. la distribución de temperatura sobre un cuerpo es otro campo escalar. Todos estos campos son clasificados como campos escalares por motivo de la descripción matemática necesaria. Una construcción que caracteriza los campos escalares son las superficies equipotenciales que son los conjuntos de puntos sobre los cuales la función toma un mismo valor.

En física relativista, un campo escalar es aquel para el cual la ley de transformación entre los valores medidos por dos observadores diferentes satisfacen una relación tensorial de invariancia. En ese sentido el potencial eléctrico que en electromagnetismo clásico se trata como un escalar, en mecánica clásica no es un escalar sino la componente temporal de un cuadrivector potencial que generaliza el potencial vectorial clásico.

En física cuántica, se usa el término "campo escalar" de una forma más restringida, se aplica a describir el campo asociado a partículas de espín nulo (p.ej. los piones).

Campos escalares en geometría diferencial[editar]

Dada una variedad diferenciable ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ y dado un atlas de la misma:

${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })|\quad U_{\alpha }\subset {\mathcal {M}},\ \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}\}}$

Un campo escalar diferenciable, ${\displaystyle \Psi :{\mathcal {M}}\to R}$ es cualquier función tal que:

${\displaystyle \forall \alpha ,\quad (\Psi \circ \phi _{\alpha }^{-1}):\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Es campo escalar diferenciable en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Campo escalar : :

El concepto de campo escalar data del siglo XIX y su aplicación está orientada a la descripción de fenómenos relacionados con la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, las presiones en el interior de fluidos, el potencial electrostático, la energía potencial en un sistema gravitacional, las densidades de población o de cualquier magnitud cuya naturaleza pueda aproximarse a una distribución continua.

Definición de campo escalar

Físicamente un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar.

Matemáticamente un campo escalar es una función escalar de las coordenadas cuya representación física se muestra en la Figura 17 .

Figura 17 Campo escalar en .

Las representaciones de estos campos en un espacio tridimensional requieren cuatro dimensiones, por lo que graficarlas resulta imposible en tres dimensiones pero pueden usarse como herramientas de optimización para modelado de casos donde intervienen distintas variables.

Representación de un campo escalar

Los campos escalares se representan mediante la función que los define o mediante líneas o superficies equipotenciales.

Una superficie o línea equipotencial se define como el lugar geométrico de los puntos tales que:

En un mapa de relieve por ejemplo se tiene un campo escalar correspondiente a elevación sobre el nivel del mar como función de las coordenadas latitud y longitud geográfica. Este caso corresponde a un campo escalar definido en dos dimensiones matemáticas.

En este caso, las superficies equipotenciales se denominan curvas de nivel, y como se deduce de la definición, todos los puntos pertenecientes a una curva de nivel tienen la misma elevación sobre el nivel del mar.

En los mapas de temperatura, las líneas o superficies que unen los puntos de igual temperatura se llaman isotermas, mientras en la electrostática, las líneas o superficies que unen los puntos de igual potencial electrostático se denominan líneas o superficies equipotenciales.

Figura 18 Curvas de nivel de un campo escalar definido en .

La diferencia entre superficies y líneas equipotenciales radica en el número de variables independientes involucradas en la función. Si se representa el campo en función de dos variables, entonces se forman líneas equipotenciales en caso de que se usen tres variables independientes entonces se habla de superficies equipotenciales.

De acuerdo con la definición de superficie equipotencial, el diferencial total entre dos puntos de la misma vecindad de una superficie equipotencial es cero.

Esta propiedad, a la luz de las propiedades del gradiente expresadas en la Ecuación 19 y de la definición del diferencial vectorial de superficie expresada en la Ecuación 23 implica que el gradiente de un campo escalar apunta siempre en dirección perpendicular a las líneas o superficies equipotenciales, como se muestra en la Figura 19 .

Figura 19 Representación del gradiente de un campo escalar y su relación con la superficie equipotencial.

 cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica, la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Históricamente, el concepto se remonta a Galileo Galilei. En su obra Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton en Principia Mathematica usa el término latino motus¹​ (movimiento) y vis motrix (fuerza motriz). Momento y momentum son palabras directamente tomadas del latín mōmentum, término derivado del verbo mŏvēre 'mover'.

La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra: en mecánica newtoniana se define para una partícula simplemente como el producto de su masa por la velocidad, en la mecánica lagrangiana o hamiltoniana se admiten formas más complicadas en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más compleja aun cuando se usan sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere el uso de operadores autoadjuntos definidos sobre un espacio vectorial de dimensión infinita.

En mecánica newtoniana, la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con las leyes de Newton. No obstante, tras el desarrollo de la física moderna, esta manera de operar no resultó ser la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental. El defecto principal es que esta definición newtoniana esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos másicos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo.

Ejemplo de colisión elástica (m1 = 4 kg, u1 = 5 m/s, m2 = 4 kg, u2 = 0 m/s) de dos cuerpos de la misma masa: todo el momento lineal es transferido del primero al segundo.

Ejemplo de colisión elástica (m1 = 1000 kg, u1 = 5 m/s, m2 = 0,1 kg, u2 = 0 m/s) de un objeto muy pesado contra otro muy ligero, existe una pequeña transferencia de momento al más ligero que sale disparado a mayor velocidad, mientras que el primer cuerpo apenas sufre una ligera deceleración v1 = 4,999 m/s, v2 = 9,999 m/s

Cantidad de movimiento en mecánica clásica[editar]

Mecánica newtoniana[editar]

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana[editar]

En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o momentos conjugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.

Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q₁,q₂,...,q_N) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada q_i viene dado por:²​

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

Cuando la coordenada q_i es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

Cantidad de movimiento de un medio continuo[editar]

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal:

${\displaystyle \mathbf {p} =\int \mathbf {v} \ dm=\int _{V}\mathbf {v} \ \rho dV}$

Cantidad de movimiento en mecánica relativista[editar]

La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada como F=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada es F=dp/dt.

El principio de relatividad establece que las leyes de la física conserven su forma en los sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este principio en la ley F=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo percibido por una partícula que se mueve con respecto a un observador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observador inercial y la fuerza medida por él no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a la dilatación de tiempoexperimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:³​

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\cfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma m\mathbf {v} }$

donde ${\displaystyle v^{2},c^{2}}$ son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y ${\displaystyle \gamma }$ es el factor de Lorentz.

Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso sólo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

${\displaystyle \mathbf {P} =(P^{0},P^{1},P^{2},P^{3})=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorentz.

Cantidad de movimiento en mecánica cuántica[editar]

La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable ${\displaystyle m\,}$ le corresponde un operador lineal autoadjunto ${\displaystyle {\hat {m}}}$, llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para una partícula el espacio de Hilbert ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ y usar una representación de los estados cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\qquad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\qquad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}}$

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el espacio de funciones absolutamente continuas de ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento, salvo que nos limitemos a ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$, no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.

Conservación[editar]

Mecánica newtoniana[editar]

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {r} }}_{i})=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}}$

Donde ${\displaystyle \mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {r} }}_{i}}$ son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana[editar]

En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano con n grados de libertad y su lagrangiano no depende de una de ellas. Por ejemplo, la primera de ellas, es decir:

${\displaystyle L:U\subset \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ,\qquad (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\mapsto L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=\sum _{i,j}{\dot {q}}_{i}{\frac {g_{ij}(q_{2},...,q_{n})}{2}}{\dot {q}}_{j}\ -\ V(q_{2},...,q_{n})}$

En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada ${\displaystyle p_{1}\,}$ que viene dada por:

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{1}}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}\right)\ -\ 0\Rightarrow p_{1}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}}=\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}={\mbox{constante}}}$

Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el tensor métrico es la delta de Kronecker ${\displaystyle g_{ij}(q_{2},...,q_{n})=\delta _{ij}}$ y la cantidad ${\displaystyle p_{1}\,}$ coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla para determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

${\displaystyle {\frac {df(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}{dt}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)=\{f,H\}_{pq}}$

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede ver:

${\displaystyle 0={\frac {dp_{j}}{dt}}=\{p_{j},H\}_{pq}=\sum _{i}\left(0\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}+\delta _{ij}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}}$

Mecánica del medio continuo[editar]

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal:

${\displaystyle \mathbf {p} =\int \mathbf {v} \ dm=\int _{V}\mathbf {v} \ \rho dV}$

Si se introduce el tensor de tensiones que caracteriza las fuerzas internas en el interior de un medio continuo la ecuación de balance de la cantidad de movimiento en términos de las fuerzas exteriores se puede expresar como:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \cdot \sigma }}+\rho \mathbf {f} =\rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$

donde:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ es el tensor de tensiones de Cauchy.

${\displaystyle \rho \,}$ es la densidad de materia.

${\displaystyle \mathbf {f} }$ la densidad de fuerza sobre el cuerpo.

${\displaystyle \mathbf {v} }$ la velocidad en cada punto del medio continuo.

Mecánica relativista[editar]

En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

${\displaystyle P^{\alpha }=mU^{\alpha }\ =m{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad generalla situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta derivada se anula si y sólo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:⁴​

${\displaystyle {\frac {dP^{\alpha }}{d\tau }}=U^{\beta }\nabla _{\beta }P^{\alpha }=U^{\beta }\left[m{\frac {dU^{\alpha }}{dx^{\beta }}}+m\Gamma _{\gamma \beta }^{\alpha }U^{\gamma }\right]=m\left[{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\gamma \beta }^{\alpha }{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\right]}$

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

Mecánica cuántica[editar]

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando como espacio de Hilbert del sistema de una partícula dentro de un potencial una representación de tipo ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$. Se tiene que:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {p}}_{i}}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {p}}_{i},{\hat {H}}]=-{\boldsymbol {\nabla }}V(x_{i})}$

Por tanto, si el potencial no depende de las coordenadas ${\displaystyle x_{i}}$, entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que éste es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).