Física - Magnitudes físicas

dilatación térmica al aumento de longitud, volumen o alguna otra dimensión métrica que sufre un cuerpo físico debido al aumento de temperatura que se provoca en él por cualquier medio. La contracción térmica es la disminución de propiedades métricas por disminución de la misma.

Dilatación lineal[editar]

Es aquella en la cual predomina la variación en una única dimensión, es decir, en el ancho, largo o altura del cuerpo. El coeficiente de dilatación lineal, designado por α_L, para una dimensión lineal cualquiera, se puede medir experimentalmente comparando el valor de dicha magnitud antes y después:

${\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\left({\frac {dL}{dT}}\right)_{P}=\left({\frac {d\ln L}{dT}}\right)_{P}\approx {\frac {1}{L}}\left({\frac {\Delta \ L}{\Delta \ T}}\right)_{P}.}$

Donde ${\displaystyle \Delta L}$, es el incremento de su integridad física cuando se aplica un pequeño cambio global y uniforme de temperatura ${\displaystyle \Delta T}$ a todo el cuerpo. El cambio total de longitud de la dimensión lineal que se considere, puede despejarse de la ecuación anterior:

${\displaystyle L_{f}=L_{0}[1+\alpha _{L}(T_{f}-T_{0})]\;}$

Donde:

α=coeficiente de dilatación lineal [°C^-1]

L₀ = Longitud inicial

L_f = Longitud final

T₀ = Temperatura inicial.

T_f = Temperatura final

Dilatación volumétrica[editar]

Animación: Dilatación y contracción volumétrica de un gas por variación de la temperatura.

Es el coeficiente de dilatación volumétrico, designado por α_V, se mide experimentalmente comparando el valor del volumen total de un cuerpo antes y después de cierto cambio de temperatura, y se encuentra que en primera aproximación viene dado por:

${\displaystyle \alpha _{V}\approx {\frac {1}{V(T)}}{\frac {\Delta V(T)}{\Delta T}}={\frac {d\ln V(T)}{dT}}}$

Experimentalmente se encuentra que un sólido isótropo tiene un coeficiente de dilatación volumétrico que es aproximadamente tres veces el coeficiente de dilatación lineal. Esto puede probarse a partir de la teoría de la elasticidad lineal. Por ejemplo si se considera un pequeño prisma rectangular (de dimensiones: L_x, L_y y L_z), y se somete a un incremento uniforme de temperatura, el cambio de volumen vendrá dado por el cambio de dimensiones lineales en cada dirección:

${\displaystyle {\begin{matrix}\Delta V=V_{f}-V_{0}=&((1+\alpha _{L}\Delta T)L_{x}\cdot (1+\alpha _{L}\Delta T)L_{y}\cdot (1+\alpha _{L}\Delta T)L_{z})-L_{x}L_{y}L_{z}=\\&=(3\alpha _{L}\Delta T+3\alpha _{L}^{2}\Delta T^{2}+\alpha _{L}^{3}\Delta T^{3})(L_{x}L_{y}L_{z})\approx 3\alpha _{L}\Delta TV_{0}\end{matrix}}}$

Esta última relación prueba que ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{V}\ \approx \ 3\alpha _{L}}$, es decir, el coeficiente de dilatación volumétrico es numéricamente unas 3 veces el coeficiente de dilatación lineal de una barra del mismo material.

Dilatación de área[editar]

Cuando un área o superficie se dilata, lo hace incrementando sus dimensiones en la misma proporción. Por ejemplo, una lámina metálica aumenta su largo y ancho, lo que significa un incremento de área. La dilatación de área se diferencia de la dilatación lineal porque implica un incremento de área.

El coeficiente de dilatación de área es el incremento de área que experimenta un cuerpo de determinada sustancia, de área igual a la unidad, al elevarse su temperatura un grado centígrado. Este coeficiente se representa con la letra griega gamma (γ). El coeficiente de dilatación de área se usa para los sólidos. Si se conoce el coeficiente de dilatación lineal de un sólido, su coeficiente de dilatación de área será dos veces mayor:

${\displaystyle \gamma _{A}\approx 2\alpha }$

Al conocer el coeficiente de dilatación de área de un cuerpo sólido se puede calcular el área final que tendrá al variar su temperatura con la siguiente expresión:

${\displaystyle A_{f}=A_{0}[1+\gamma _{A}(T_{f}-T_{0})]\;}$

Donde:

γ=coeficiente de dilatación de área [°C^-1]

A₀ = Área inicial

A_f = Área final

T₀ = Temperatura inicial.

T_f = Temperatura final

Causa de la dilatación[editar]

En un sólido las moléculas tienen una posición razonablemente fija dentro de él. Cada átomo de la red cristalina vibra sometido a una fuerza asociada a un pozo de potencial, la amplitud del movimiento dentro de dicho pozo dependerá de la energía total de átomo o molécula. Al absorber calor, la energía cinética promedio de las moléculas aumenta y con ella la amplitud media del movimiento vibracional (ya que la energía total será mayor tras la absorción de calor). El efecto combinado de este incremento es lo que da el aumento de volumen del cuerpo.

En los gases el fenómeno es diferente, ya que la absorción de calor aumenta la energía cinética media de las moléculas lo cual hace que la presión sobre las paredes del recipiente aumente. El volumen final por tanto dependerá en mucha mayor medida del comportamiento de las paredes.

La dilatación térmica es el proceso mediante el cual se calienta un cuerpo sólido, la energía cinética de sus átomos aumenta de tal modo que las distancias entre las moléculas crecen, expandiéndose así el cuerpo, o contrayéndose si es enfriado. Estas expansiones y contracciones causadas por variación de temperatura en el medio que le rodea. La temperatura es una magnitud asociada con la sensación de lo frio y caliente. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una temperatura mayor. Físicamente es una magnitud escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico. El calor es el proceso mediante el cual se transmite energía de un cuerpo de mayor temperatura a otro cuerpo de menor temperatura.

La dilatación térmica es el proceso por el cual los cuerpos aumentan su volumen cuando se aumenta su temperatura.

Cuando en lugar de aumentar, la temperatura disminuye, el volumen del cuerpo también lo hace, hablándose en estos casos de contracción térmica.

Estos fenómenos son especialmente importantes a la hora de fabricar determinadas estructuras como por ejemplo las vías de tren. Las industrias que fabrican los rieles los entregan con una longitud de unos 12 m. Es necesario unirlos (generalmente abulonados) para formar las vías. Durante el día la temperatura ambiente que pueden llegar a soportar ronda entorno a los 40° e incluso el acero puede alcanzar una temperatura muy superior. Dicha temperatura provoca dilataciones en las vías favoreciendo que en las uniones se provoquen deformaciones. Por esta razón,  justamente en dichas uniones se deja una separación de unos 5 mm denominado junta de dilatación. 

El problema de esta separación es que es incompatible con el desplazamiento de los trenes de alta velocidad (250 km/h) ya que generan mucho ruido al circular el tren por ellas y las ruedas y rieles sufrirían roturas. La tecnología moderna ha logrado soldaduras especiales que absorben las dilataciones, por lo tanto hay tramos de muchos kilómetros (varias decenas) sin separaciones aunque en las cercanías de las estaciones de ferrocarril se siguen utilizando ya que por esas zonas los trenes deben disminuir mucho su velocidad.

Distancia relativa entre dos campos escalares

Inspirado en el error relativo entre dos cantidades, el operador ${\displaystyle \Delta _{D}}$, relaciona dos campos escalares no negativos, que han de ser integrables en el sentido de Riemann¹​ en un conjunto ${\displaystyle D}$ que se supone abierto conexo. El operador ${\displaystyle \Delta _{D}}$ permite evaluar el comportamiento de una aproximación analítica frente a una solución numérica que sean soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. La principal ventaja de utilizar ${\displaystyle \Delta _{D}}$ en lugar de otras distancias dadas en la literatura es que el valor dado por ${\displaystyle \Delta _{D}}$ tiene una interpretación sencilla: un valor cercano a 0 significa relativamente cerca, pero un valor cercano a 1 significa muy lejano.²​

Definición: Sea ${\displaystyle S(D)}$ el conjunto de los campos escalares no negativos, integrables en ${\displaystyle {\mbox{D}}\subseteq {\mbox{R}}^{n}}$, siendo ${\displaystyle D}$ un conjunto abierto conexo. Si ${\displaystyle f,g\in S(D)}$ se define

${\displaystyle \Delta _{D}(f,g)={\begin{cases}{\frac {\int _{D}\vert f{\vec {(}}x)-g{\vec {(}}x)\vert dV}{\int _{D}\vert f{\vec {(}}x)+g{\vec {(}}x)\vert dV}}&{\mbox{si f o g}}\neq 0\\0{\mbox{ si f=g=0}}\end{cases}}}$ siendo ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n}){\text{ y }}dV=dx_{1}\cdot dx_{2}\cdot ...\cdot dx_{n}}$(1).

De la definición se deduce que

${\displaystyle \forall f\in S(D),f\neq 0\longrightarrow \Delta _{D}(f,0)=1}$ y

${\displaystyle \forall f\in S(D),f\neq 0\longrightarrow \Delta _{D}(f,f)=0}$

A partir de la definición se pueden demostrar los siguientes teoremas

Teorema 1

${\displaystyle \forall f,g\in S(D)}$ se cumple que ${\displaystyle 0\leqslant \Delta _{D}(f,g)\leqslant 1}$

Teorema 2

${\displaystyle S(D)}$ con la distancia ${\displaystyle \Delta _{D}(f,g)}$ definida anteriormente en (1), es un Espacio métrico, es decir cumple las siguientes propiedades

1. ${\displaystyle \Delta _{D}(f,g)\geq 0,\forall f,g\in S(D)}$
2. ${\displaystyle \Delta _{D}(f,g)=0,\forall f,g\in S(D)\longleftrightarrow f=g{\text{ en }}D}$
3. ${\displaystyle \Delta _{D}(f,g)=\Delta _{D}(g,f),\forall f,g\in S(D)}$
4. ${\displaystyle \Delta _{D}(f,g)\leqslant \Delta _{D}(f,h)+\Delta _{D}(g,h),\forall f,g,h\in S(D)}$

Aplicación a la aproximación para una EDO

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria dependiente de un parámetro ${\displaystyle \epsilon }$, ${\displaystyle F\left(\epsilon ,x_{1},x_{2},,...,x_{n},y,{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}},....,{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},....{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},...\right)=0}$ (1)

sujeta a las siguientes condiciones de contorno ${\displaystyle y({\vec {x}}_{s})=y_{s},{\vec {x}}_{s}\in {\mbox{D}}}$ Para cada valor de ${\displaystyle \epsilon }$ podemos calcular una solución numérica, que dependerá de ${\displaystyle {\vec {x}}}$ y de ${\displaystyle \epsilon }$ y que vamos a llamar ${\displaystyle y_{num}=y_{num}({\vec {x}},\epsilon )}$.

Si la ecuación diferencial es regular, podemos obtener ${\displaystyle y_{num}}$ con cualquier precisión deseada. Por otra parte consideremos el desarrollo en serie de Taylor, de F, sobre el parámetro ${\displaystyle \epsilon }$ en torno al punto ${\displaystyle \epsilon _{0}}$: ${\displaystyle F_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{k}}}|_{\epsilon =\epsilon _{0}}{\frac {(\epsilon -\epsilon _{0})^{k}}{k!}}}$

Sustituyendo ${\displaystyle F{\text{ por }}F_{n}}$ en (1), se obtiene una ecuación diferencial ordinaria ${\displaystyle F_{n}\left(\epsilon ,x_{1},x_{2},,...,x_{n},y,{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}},....,{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},....{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},...\right)=0}$ (2)

que debe ser similar a la original (1) para el parámetro ${\displaystyle \epsilon }$ cercano a ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ Considerando las mismas condiciones de contorno, a veces, para ciertos órdenes de aproximación n en el desarrollo de Taylor, podemos resolver (2) exactamente ${\displaystyle y_{n}=y_{n}({\vec {x}},\epsilon )}$

La pregunta que surge es qué tan buena es el aproximación analítica ${\displaystyle y_{n}}$ con respecto a la ${\displaystyle y_{num}}$ solución numérica, en ${\displaystyle D}$, para un valor dado de ${\displaystyle \epsilon }$. Para este propósito, se puede utilizar la distancia definida en (1) de la siguiente manera

${\displaystyle \Delta _{n}(\epsilon )=\Delta _{D}(y_{num},y_{n})}$

en donde hemos supuesto que ${\displaystyle y_{num}{\text{ y }}y_{n}}$ son campos escalares no negativos, con el fin de poder aplicar (1). Nótese también que ahora podemos dibujar ${\displaystyle \Delta _{n}(\epsilon )}$ para valores de ${\displaystyle \epsilon }$ cercanos a ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ y evaluar la bondad de la aproximación analítica n-ésima ${\displaystyle y_{n}}$ con respecto a la solución ${\displaystyle y_{num}}$

La dosis absorbida es una magnitud utilizada en radiología y protección radiológica, para medir la cantidad de radiación ionizante recibida por un material y más específicamente por un tejido o un ser vivo. La dosis absorbida mide la energía depositada en un medio por unidad de masa. La unidad en el Sistema Internacional es el J/kg, que recibe el nombre especial de gray (Gy).

Debe tenerse en cuenta que esta magnitud no es un buen indicador de los efectos biológicos de la radiación sobre los seres vivos, 1 Gy de radiación alfa puede ser mucho más nociva que 1 Gy de fotones, por ejemplo. Deben aplicarse una serie de factores para que los efectos biológicos sean reflejados, obteniéndose así la dosis equivalente.

El riesgo de efectos estocásticos debidos a la exposición a una radiación pueden ser medidos con la dosis efectiva, que es un promedio ponderado de la dosis equivalente de cada tejido expuesto, tomando en cuenta la radiosensibilidad de las poblaciones celulares que los forman.

La unidad de estas dos últimas magnitudes es el sievert.

Unidades antiguas[editar]

En la literatura se encuentran unidades más fáciles de recordar nemotécnicamente, pero actualmente en desuso. En concreto:

• rad era la unidad de dosis absorbida. Su equivalencia es 1 rad=0,01 Gy
• rem era la unidad de dosis equivalente y de dosis efectiva, equivalente a 1 rad para rayos gamma. 1 rem=0,01 Sv

También se empleaba mucho en Radiología el roentgen (R) para medir una magnitud distinta, la exposición, es decir, la cantidad de ionización en aire seco por unidad de masa, en condiciones estándar de temperatura y presión (SCTP).

El rad y el rem han sido sustituidos por el Gy (gray) y el Sv (sievert) respectivamente.