Física - Magnitudes físicas

El área es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión de una superficie, expresada en matemáticas como unidades de medida denominadas unidades de superficie. El área es un concepto métrico que requiere la especificación de una medida de longitud.

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos —es decir, cualquier polígono— puede triangularse, y se puede calcular su área como suma de las áreas de los triángulos en que se descompone. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general —que es un concepto métrico—, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana.

Historia[editar]

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométricaproviene de la antigüedad. En el antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.¹​

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva genera más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como método exhaustivo de Eudoxo, consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,²​ así como el cálculo aproximado del número π.

Área de figuras planas[editar]

Artículo principal: Figura geométrica

Área de un triángulo[editar]

Áreas en un plano cuadriculado.

• El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:³​

${\displaystyle A={\frac {b\cdot h}{2}}}$

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

• Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

${\displaystyle A={\frac {a\cdot b}{2}}}$

donde a y b son los catetos.

• Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

• Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

${\displaystyle A={\frac {{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}{4}}}$

donde a es un lado del triángulo.

Área de un cuadrilátero[editar]

Trapezoide.

• El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.

${\displaystyle A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\cdot \sin \theta }{2}}}$

El área también se puede obtener mediante triangulación:

${\displaystyle A={\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}}$

Siendo:

${\displaystyle \alpha \,}$ el ángulo comprendido entre los lados ${\displaystyle a\,}$ y ${\displaystyle d\,}$.

${\displaystyle \gamma \,}$ el ángulo comprendido entre los lados ${\displaystyle b\,}$ y ${\displaystyle c\,}$.

• El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:³​

${\displaystyle A={a\cdot b\,}}$

• El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

${\displaystyle A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}}$

• El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:³​

${\displaystyle A=a\cdot a\,=a^{2}}$

• El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:³​

${\displaystyle A=b\cdot h\,}$

• El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):³​

${\displaystyle A={\frac {a+b}{2}}\cdot h}$

Área del círculo y la elipse[editar]

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:⁴​

${\displaystyle A=\pi r^{2}\,}$

El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:⁵​

${\displaystyle A={\ \pi ab}}$

Área delimitada entre dos funciones[editar]

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

${\displaystyle {\text{Area}}(a,b)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx}$

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: ${\displaystyle f(x)\,}$y ${\displaystyle g(x)[<f(x)]\,}$ en el intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$.

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función ${\displaystyle f(x)=4-x^{2}}$ en el intervalo ${\displaystyle [-2;2]}$, se utiliza la ecuación anterior, en este caso: ${\displaystyle g(x)=0}$ entonces evaluando la integral, se obtiene:

${\displaystyle A(-2,2)=}$ ${\displaystyle \int _{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=}$ ${\displaystyle 2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=}$ ${\displaystyle 2\left[4x-{\cfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}=}$ ${\displaystyle 2\left[8-\left({\cfrac {2^{3}-0}{3}}\right)\right]=}$ ${\displaystyle {\cfrac {32}{3}}}$

Por lo que se concluye que el área delimitada es ${\displaystyle 32/3}$.

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

Relación área-perímetro[editar]

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

${\displaystyle {\frac {A}{L^{2}}}\leq {\frac {1}{4\pi }}}$

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.

Área de superficies curvas[editar]

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.

• Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
• Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.

Superficie de revolución[editar]

Una superficie de revolución generada por un tramo de la curva y=2+cos x rotada alrededor del eje x.

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar una curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

${\displaystyle A_{r}(a,b)=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} x}$

Ejemplos particulares de superficies de revolución son:

• El área de esfera de radio R que viene dada por ${\displaystyle 4\pi R^{2}\,}$
• El área de un cono de radio R y de altura h viene dada por ${\displaystyle \pi Rh{\sqrt {1+R^{2}/h^{2}}}}$
• El área lateral de un cilindro de radio R y altura h es simplemente ${\displaystyle 2\pi Rh\,}$

Cálculo general de áreas[editar]

Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

${\displaystyle A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:

${\displaystyle A(\Omega )=\iint _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ \mathrm {d} u\mathrm {d} v}$

Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superficie en las coordenadas paramétricas u y v.

En una variedad de Riemann de dimensión n > 1 puede definirse el área de ciertas subvariedades cuya dimensión sea 2. Para ello se define un conjunto de dos coordenadas (u, v) que parametricen la subvariedad y se construye un atlas para subvariedad, entonces el área es la integral de una 2-forma sobre dicha variedad. Esta definición coincidiría con la definición de áreas dada a partir de la primera forma fundamental.

Unidades de medida de superficies[editar]

Artículo principal: Unidades de superficie

Sistema Internacional de Unidades[editar]

Según el Sistema Internacional de Unidades, las unidades cuadradas son las que se listan a continuación:

Múltiplos

• Kilómetro cuadrado: 10⁶ metros cuadrados
• Hectómetro cuadrado o hectárea: 10⁴ metros cuadrados
• Decámetro cuadrado o área: 10² metros cuadrados

Unidad básica

• metro cuadrado: unidad derivada del SI
• Elenio: litro/centímetro
• Piornio: (candela·estereorradián)/lux

Submúltiplos

• Decímetro cuadrado: 10⁻² m² (una centésima de metro cuadrado)
• Centímetro cuadrado: 10⁻⁴ m² (una diezmilésima de metro cuadrado)
• Milímetro cuadrado: 10⁻⁶ m² (una millonésima de metro cuadrado)
• barn: 10⁻²⁸ m² (metro cuadrado)

Sistema anglosajón de unidades[editar]

Las unidades más usadas del sistema anglosajón son:

• pulgada cuadrada
• pie cuadrado
• yarda cuadrada
• acre

Un área (o decámetro cuadrado) es una unidad de superficie que equivale a 100 metros cuadrados. Fue la unidad de superficie implantada por el Sistema Métrico Decimal originario. Se sigue empleando con frecuencia su múltiplo: la hectárea; y a veces su submúltiplo: la centiárea, que equivale a un metro cuadrado.

El Sistema Internacional de Unidades no incluye ya esta unidad, pues toma a la hectárea como base para las superficies agrarias. El Sistema Internacional de Unidades la recoge, pero únicamente como nota.

El área es la superficie de un cuadrado de 10 metros de lado. Si un área se divide en 100 partes iguales; cada una de ellas es una centiárea, o metro cuadrado.

Perímetro y área

Perímetro: es la suma de los lados de una figura geométrica. Es su contorno.

Ejemplos:

Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm. y 5 cm.

10 cm

10 cm

El perímetro del rectángulo lo obtenemos sumando todos sus lados:

Perímetro = 10 cm + 5 cm + 10 cm + 5 cm  = 30 cm

Por lo tanto, el perímetro del rectángulo es 30 cm.

Respecto al cuadrado , el perímetro (la longitud de su contorno) se obtiene sumando sus cuatro lados

Ver: PSU: Matematica,

Pregunta 17_2010

Pregunta 11_2005

Pregunta 05_2005Geometría

En la figura, los lados del triángulo miden 4 m.

Para obtener el perímetro sumamos sus lados:

Perímetro = 4 m + 4 m + 4 m  = 12 m

El perímetro del triángulo es 12 m

Área: es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior.

Área de un rectángulo

El área del rectángulo corresponde a la medida de la región verde, y se obtiene multiplicando la base por la altura.

Área = base · altura

Ejemplo:

Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm. y 5 cm.

10 cm. La altura de este rectángulo mide 5 cm.

10 cm. La base de este rectángulo mide 10 cm.

Área = 10 · 5 = 50 cm 2

el área del rectángulo es 50 cm 2

El centímetro cuadrado (cm 2 ) es una unidad que nos permite medir áreas. También pueden ser metros cuadrados (m 2 ), milímetros cuadrados (mm 2 ), etc.

Área del cuadrado

El área de un cuadrado es igual al producto de lado por lado.

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual a la mitad de su base por la altura.

Ejemplos:

Si la base de un triángulo mide 10 cm y su altura mide 5 cm., entonces el área del triángulo es 25 cm 2